爱华网专题复习：立体几何
二. 高考要求：
了解：柱、锥、台、球及其简单组合体；三视图与直观图；柱、锥、台、球的表面积和体积；平面及其基本性质；
理解：直线与平面平行、垂直的判定与性质；两平面平行、垂直的判定与性质
三. 基本内容：
1、空间基本元素：直线与平面之间位置关系的小结。如下表：
条件
结论
线线平行
线面平行
面面平行
垂直关系
线线平行
如果a∥b，b∥c，那么a∥c
如果a∥α，aβ，β∩α＝b，那么a∥b
如果α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，那么a∥b
如果a⊥α，b⊥α，那么a∥b
线面平行
如果a∥b，aα，bα，那么a∥α
——
如果α∥β，aα，那么α∥β
——
面面平行
如果aα，bα，cβ，dβ，a∥c，b∥d，a∩b＝P，那么α∥β
如果aα，bα，a∩b＝P，a∥β，b∥β，那么α∥β
如果α∥β，β∥γ，那么α∥γ
如果a⊥α，a⊥β，那么α∥β
条件
结论
线线垂直
线面垂直
面面垂直
平行关系
线线垂直
三垂线定理及逆定理
如果a⊥α，bα，那么a⊥b
如果三个平面两两垂直，那么它们的交线两两垂直
如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c
线面垂直
如果a⊥b，a⊥c，bα，cα，b∩c＝P，那么a⊥α
——
如果α⊥β，α∩β＝b，aα，a⊥b，那么a⊥β
如果a⊥α，b∥a，那么b⊥α
面面垂直
定义（二面角等于90°）
如果a⊥α，aβ，那么β⊥α
——
——
2、空间元素位置关系的度量
（1）角：异面直线所成的角，直线和平面所成的角，二面角，都化归为平面几何中两条相交直线所成的角。
异面直线所成的角：通过平移的变换手段化归，具体途径有：中位线、补形法等。
直线和平面所成的角：通过作直线射影的作图法得到。
二面角：化归为平面角的度量，化归途径有：定义法，三垂线定理法，棱的垂面法及面积射影法。
（2）距离：异面直线的距离，点面距离，线面距离及面面距离。
异面直线的距离：除求公垂线段长度外，通常化归为线面距离和面面距离。
线面距离，面面距离常化归为点面距离。
3、棱柱、棱锥是常见的多面体。在正棱柱中特别要运用侧面与底面垂直的性质解题，在正棱锥中，要熟记由高PO，斜高PM，侧棱PA，底面外接圆半径OA，底面内切圆半径OM，底面正多边形半边长OM构成的三棱锥，该三棱锥四个面均为直角三角形。
4、球是由曲面围成的旋转体。研究球，主要抓球心和半径。
5、立体几何的学习，主要把握对图形的识别及变换（分割，补形，旋转等），因此，既要熟记基本图形中元素的位置关系和度量关系，也要能在复杂背景图形中“剥出”基本图形。
【典型例题】
例1. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，O为AC与BD的交点（如图），求证：（1）EG∥平面BB1D1D；（2）平面BDF∥平面B1D1H；（3）A1O⊥平面BDF；（4）平面BDF⊥平面AA1C。
解析：（1）欲证EG∥平面BB1D1D，需在平面BB1D1D内找一条与EG平行的直线，构造辅助平面BEGO′及辅助直线BO′，显然BO′即是。
（2）按线线平行线面平行面面平行的思路，在平面B1D1H内寻找B1D1和O′H两条关键的相交直线，转化为证明：B1D1∥平面BDF，O′H∥平面BDF。
（3）为证A1O⊥平面BDF，由三垂线定理，易得BD⊥A1O，再寻A1O垂直于平面BDF内的另一条直线。猜想A1O⊥OF。借助于正方体棱长及有关线段的关系计算得：A1O2＋OF2＝A1F2A1O⊥OF。
（4）∵ CC1⊥平面AC ∴ CC1⊥BD 又BD⊥AC ∴ BD⊥平面AA1C
又BD平面BDF ∴ 平面BDF⊥平面AA1C
例2. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为DD1中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，求直线OP与直线AM所成的角。
解析：取P点的特殊点A1，连OA1，在底面上过O作OE⊥AD于E，连A1E
∵ OE⊥平面ADD1A1，AM⊥A1E
根据三垂线定理，得：AM⊥OA1，故直线OP与直线AM所成的角为
评注：化“动”为“定”是处理“动”的思路
例3. 如图，三棱锥D—ABC中，平面ABD、平面ABC均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠BAD＝90°，其腰BC＝a，且二面角D—AB—C＝60°。
（1）求异面直线DA与BC所成的角的度数；
（2）求异面直线BD与AC所成的角的余弦值；
（3）求D到BC的距离；
（4）求异面直线BD与AC的距离。
解析：（1）在平面ABC内作AE∥BC，从而得∠DAE＝60°
∴ DA与BC成60°角
（2）过B作BF∥AC，交EA延长线于F，则∠DBF为BD与AC所成的角
由△DAF易得AF＝a，DA＝a，∠DAF＝120°
∴ DF2＝a2＋a2－2a2·（）＝3a2 ∴ DF＝a
在△DBF中，BF＝AC＝a∴ cos∠DBF＝∴ 异面直线BD与AC所成角的余弦值为
（3）∵ BA⊥平面ADE ∴ 平面DAE⊥平面ABC
故取AE中点M，则有DM⊥平面ABC；取BC中点N，有MN⊥BC，根据三垂线定理，DN⊥BC
∴DN是D到BC的距离，在△DMN中，DM＝a，MN＝a，∴ DN＝a
（4）∵ BF平面BDF，AC平面BDF，AC∥BF
∴ AC∥平面BDF又BD平面BDF
∴ AC与BD的距离即AC到平面BDF的距离
∵ ，
∴
由，即异面直线BD与AC的距离为
评注：三棱锥的等体积变换求高，也是求点到面距离的常用方法。
例4. 如图，在60°的二面角α—CD—β中，ACα，BDβ，且∠ACD＝45°，tg∠BDC＝2，CD＝a，AC＝x，BD＝x，当x为何值时，A、B的距离最小？并求此距离。
解析：作AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，则EF为异面直线AE、BF的公垂线，AE与BF成60°角，可求得|AB|＝，当x＝时，|AB|有最小值。
评注：转化为求异面直线上两点间距离的最小值。
例5. 如图，斜三棱柱ABC—A′B′C′中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b，侧棱AA′与底面相邻两边AB、AC都成45°角，求此三棱柱的侧面积和体积。
解析：
在侧面AB′内作BD⊥AA′于D，连结CD
∵ AC＝AB，AD＝AD，∠DAB＝∠DAC＝45° ∴ △DAB≌△DAC
∴ ∠CDA＝∠BDA＝90°，BD＝CD，∴ BD⊥AA′，CD⊥AA′
∴ △DBC是斜三棱柱的直截面，在Rt△ADB中，BD＝AB·sin45°＝
∴ △DBC的周长＝BD＋CD＋BC＝（＋1）a，△DBC的面积＝
∴ S侧＝b（BD＋DC＋BC）＝（＋1）ab， ∴ V＝·AA′＝
评注：求斜棱柱的侧面积有两种方法，一是判断各侧面的形状，求各侧面的面积之和，二是求直截面的周长与侧棱的乘积，求体积时同样可以利用直截面，即V＝直截面面积×侧棱长。
例6. 在三棱锥P—ABC中，PC＝16cm，AB＝18cm，PA＝PB＝AC＝BC＝17cm，求三棱锥的体积VP－ABC。
解析：取PC和AB的中点M和N
∴
在△AMB中，AM2＝BM2＝172－82＝25×9，
∴ AM＝BM＝15cm，MN2＝152－92＝24×6
∴ S△AMB＝×AB×MN＝×18×12＝108（cm2），
∴ VP－ABC＝×16×108＝576（cm3）
评注：把一个几何体分割成若干个三棱锥的方法是一种用得较多的分割方法，这样分割的结果，一方面便于求体积，另一方面便于利用体积的相关性质，如等底等高的锥体的体积相等，等底的两个锥体的体积的比等于相应高的比，等等。
例7. 在直角梯形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB＝AD＝a，S D＝，在线段SA上取一点E（不含端点）使EC＝AC，截面CDE与SB交于点F。
（1）求证：四边形EFCD为直角梯形；
（2）求二面角B－EF－C的平面角的正切值；
（3）设SB的中点为M，当的值是多少时，能使△DMC为直角三角形？请给出证明。
解：（1）∵ CD∥AB，AB平面SAB ∴CD∥平面SAB
面EFCD∩面SAB＝EF，
∴CD∥EF ∵
又面
∴平面SAD，∴又
为直角梯形
（2）平面∥平面SAD
即为二面角B—EF—C的平面角
中
而且
为等腰三角形，
（3）当时，为直角三角形。
，
平面平面。
在中，为SB中点，。
平面平面为直角三角形。
例8. 如图，几何体ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA＝AB＝2a，DC＝a，F、G分别为EB和AB的中点。
（1）求证：FD∥平面ABC；
（2）求证：AF⊥BD；
解：（1）∵F、G分别为EB、AB的中点，
∴FG＝EA，又EA、DC都垂直于面ABC，FG＝DC，
∴四边形FGCD为平行四边形，∴FD∥GC，又GC面ABC，
∴FD∥面ABC。
（2）∵AB＝EA，且F为EB中点，∴AF⊥EB ① 又FG∥EA，EA⊥面ABC
∴FG⊥面ABC ∵G为等边△ABC，AB边的中点，∴AG⊥GC。
∴AF⊥GC又FD∥GC，∴AF⊥FD ②
由①、②知AF⊥面EBD，又BD面EBD，∴AF⊥BD。
例9. 如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，P、Q分别是线段AD1和BD上的点，且D1P∶PA＝DQ∶QB＝5∶12.
（1）求证PQ∥平面CDDC；
（2）求证PQ⊥AD；
（3）求线段PQ的长.
解：（1）在平面AD内，作PP∥AD与DD交于点P，在平面AC内，作QQ1∥BC交CD于点Q，连结PQ。
，PP1QQ。
由四边形PQQP为平行四边形，知PQ∥PQ，而PQ平面CDDC，
所以PQ∥平面CDDC
（2）AD⊥平面DDCC，∴AD⊥PQ，又∵PQ∥PQ，∴AD⊥PQ。
（3）由（1）知PQPQ，
，而棱长CD＝1。∴DQ＝。 同理可求得 PD＝。
在Rt△PDQ中，应用勾股定理，
得P1Q1＝。
作为本题的深化，我们提出这样的问题：P，Q分别是BD，上的动点，试求的最小值，请应用函数方法计算，并与如下2002年全国高考试题作一对照，可以得到一些启示。
例10. 如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝，。
（1）求MN的长；
（2）当为何值时，MN的长最小；
（3）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的余弦值。
解析：立体几何知识是复习耗时较多，而考试得分偏低的题型。只有放低起点，依据课本，熟化知识，构建空间思维网络，掌握解三角形的基本工具，严密规范表述，才能突破解答立几考题的道道难关。
解：（1）作∥交于点，∥交于点，连结，依题意可得∥，且，即是平行四边形。
∴
由已知，
∴，
（2）由（1）
所以，当时，
即当、分别为、的中点时，的长最小，最小值为
（3）取的中点，连结、，
∵，为的中点
∴，即即为二面角的平面角
又，所以，由余弦定理有，
故所求二面角的余弦值为
例11. 在边长为a的正三角形的三个角处各剪去一个四边形。这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图①。若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图②。则当容器的高为多少时，可使这个容器的容积最大，并求出容积的最大值。
图① 图②
解：设容器的高为x。则容器底面正三角形的边长为，
。
当且仅当 。
故当容器的高为时，容器的容积最大，其最大容积为
三角函数的最值问题用导数求解最方便，不妨一试. 另外，本题的深化似乎与2002年全国高考文科数学压轴题有关. 类似的问题是：
某企业设计一个容积为V的密闭容器，下部是圆柱形，上部是半球形，当圆柱的底面半径r和圆柱的高h为何值时，制造这个密闭容器的用料最省（即容器的表面积最小）。
例12. 如图所示，等腰的底边，高，点是线段上异于点的动点，点在边上，且，现沿将折起到的位置，使，记，表示四棱锥的体积.
（1）求的表达式；
（2）当为何值时，取得最大值？
（3）当取得最大值时，求异面直线与所成角的余弦值.
解：（1）由折起的过程可知，PE⊥平面ABC，，
V（x）＝（）
（2），所以时，，V（x）单调递增；时，，V（x）单调递减；因此x＝6时，V（x）取得最大值；
（3）过F作MF//AC交AD于M，则，PM＝，
，
在△PFM中，，∴异面直线AC与PF所成角的余弦值为。
【模拟试题】
1. 如下图中“斜二测”直观图所示的平面图形是
2. 设，，均为直线，其中，在平面内，“”是“”且“”的______________________条件。
3. 设表示三条直线，表示三个平面，给出下列四个命题，其中真命题是___________。
①若，则； ②若是在内的射影，，则；
③若，则； ④若，则.
4. 已知某个几何体的三视图如下（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是 cm3.
5. 已知正方形所在的平面，垂足为，连结，则互相垂直的平面有 对。
6. 下列命题中正确的个数有
（1）平行于同一直线的两个平面平行；
（2）平行于同一平面的两个平面平行；
（3）垂直于同一直线的两直线平行；
（4）垂直于同一平面的两直线平行.
7. 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线BD1与过A1、D、C1的平面交于点M，则BM：MD1＝________________.
8. 直三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA和CC1上，AP＝C1Q，则四棱锥B—APQC的体积为
9. 下面命题中，正确结论有
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等；
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；
④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行.
10. 下面条件中，能判定直线的有
①与平面内的两条直线垂直
② 与平面内的无数条直线垂直
③与平面内的某一条直线垂直
④ 与平面内的任意一条直线垂直
11. 在正四面体P—ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的有
①BC//平面PDF ②DF⊥PAE
③平面PDF⊥平面ABC ④平面PAE⊥平面ABC
12. 如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G，这样，有下列五个结论：
（1）SG平面EFG；（2）SD平面EFG；（3）GF平面SEF；
（4）EF平面GSD；（5）GD平面SEF。
正确的有
13. 如图，矩形所在平面，分别是和的中点.
（1）求证：平面
（2）求证：
（3）若，求证：平面
14. 已知△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且
（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？
【试题答案】
1. 直角梯形
2. 充分不必要
3. ①②
4.
5. 7
6. 2
7. 2∶1
8.
9. ②③④
10. ④
11. ③
12. ①④
13. （1）证明：取PD中点E，连结AE，NE，则∥，∥，
∴∥，＝，∴四边形AMNE为平行四边形，故∥，又
（3）当时，则
14. （Ⅰ）证明，∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，又∠BCD＝90°∴CD⊥面ABC，
∴EF⊥面ABC，∴平面BEF⊥平面ABC。
（Ⅱ）当时，平面BEF⊥平面ACD。
∵△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，∴，又∠ADB＝60°，AB⊥平面BCD
，又，∽
∴BE⊥AC，又EF⊥面ABC，BE⊥EF，∴BE⊥面ABC，∴平面BEF⊥平面ACD。
