爱华网作者：张宗喜
宁夏教育 1996年02期
小学生形成数学概念，要经历一个“具体形象→典型表象→本质抽象”的复杂认识心理活动过程，即要经历把外部形象的感知材料经过头脑的思维加工，转化为内部心理的认识过程。这一“内化”的认知心理活动的程序是： 在这一过程中，教师要通过直观形象引入概念，帮助学生抽象概括形成概念，再通过运用、巩固和深化理解概念三个阶段，促进学生在认识结构上从已知向新知转化，在认识结构上从形象思维向抽象思维转化。因而，概念教学的实质就是根据这一认知规律为学生搭好两个“转化”的桥。为此，教师在教学时，要紧紧把握住“适境”、“适时”、“适速”、“适度”这四个基本要素。 一、适境 认知心理学的研究表明，小学生在获得数学概念的过程中，由于年龄和心理特征的影响，他们感知和比较的能力薄弱，加之知识与经验贫乏，对概念的抽象概括往往带有片面性。因此，教师为学生提供的感性材料要有足够的数量和一定的代表性，要精心创设有利于学生进行抽象概括的最佳情境，使学生“感而思”、“思而知”。这种情境，应该是知识准备、心理状态、板书设计、演示、学习环境等各种因素有机、和谐的统一。例如一年级教学《乘法的初步认识》时，是通过三幅图的观察教学之后，再配合实例演示并分别用加法算式和语言表达的：一竖排有2朵花，三竖排有6朵花；一竖排有3个正方形，四竖排有12个正方形；一组有4个圆，五组有20个圆。板书写出： 用加法算式表示：用说的方法表示： 2+2+2=6， 三个2是6； 3+3+3+3=12， 四个3是12； 4+4+4+4+4=20，五个4是20。 这一教学情境突出了“相同加数”这个特征，再引导学生在观察中比较两种表示方法，让他们亲身感受相同加数的个数越多，用加法表示就越不如用乘法表示简便。接着根据说法写出相应的乘法算式。这样就能及时引导学生抛去花、正方形、圆这些非本质的东西，在乘法与加法的比较中得出具有普遍意义的结论：“求几个相同加数的和，用乘法计算比较简便。” 创设抽象概括的典型情境，最重要的是要有意识地烘托出概念的本质属性，诱使学生成为概念本质的“发现者”。例如，要形成“反比例”的概念，关键在于让学生从两种变量的变化规律中发现“隐蔽”的其“积”一定。创设什么样的情境以突出这一本质呢？倘若把看表格思考改为配合实物演示，让学生自己观察填表，这一情境的效果会更好些。如：在笔筒里放上若干支铅笔，每次拿10支，2次拿完；每次拿5支，4次拿完；每次拿4支，几次拿完呢？每次拿2支，几次拿完呢？然后让学生根据题意填表。由于创设了变“静”为“动”的演示情境，把本来“隐蔽”的定量（铅笔的总支数20支）变为“明显”，促使学生的思维集中去领悟铅笔的总数一定，也就是“每次拿的支数”与“需要拿的次数”的“积”一定，这就为学生概括反比例的意义创造了条件。 二、适时 通过创设情境，在学生积累了丰富的感性认识和形成表象的时候，教师要善于根据教学中的信息反馈，审时度势，不失时机地进行抽象概括。譬如，在教学简易方程的概念时，根据“等式”、“含有末知数”这两个本质属性，通过复习原有知识，以及利用天平的平衡现象和观察教材的封面和“篮球图”的图意，形成如下的板书： 进而分两个层次引导学生分析比较，先寻找大集合框里六个式子的共性（等式），再寻找小集合框里三个等式的个性（等式中含有未知数）。经过类比和迁移与原有知识结构中的有关概念（等式）进行表象联系，新旧知识的本质特征在学生头脑中得到了精确分化，形成了突出主要因素的典型表象。这时及时引导学生逐步用语言概括出“方程”这一概念的本质属性——含有未知数的等式叫做方程。 如果教师不能把握住抽象概括的最佳时机，就不能帮助学生形成准确鲜明的概念。如认识“圆”的概念时，尽管把钟面、车轮、硬币等的具体形象展现在学生面前，但作为几何图形的“圆”有什么特征的典型表象，在学生头脑里尚未形成时，学生的感性认识还趋于表面。此时若仓促进行抽象概括，学生的认识将难于产生从感性到理性的飞跃，对“圆”的认识很难摆脱形象思维，甚至会错误地认为“圆”就是车轮，就是硬币。倘若教师引导学生思考：这些物体的形状具有什么共同特点？并且用一根线系住粉笔头在空中迅速甩动，形成一个半抽象半具体，似圆非圆的形象作为唤起表象的“催化剂”。由于它显示了圆的本质特点，孕伏着圆规画圆的成分，抓住这一时机，教师一边用圆规在黑板上画圆，一边启发学生用语言逐步进行抽象概括，便能有效地帮助学生形成清晰、准确的概念。 三、适速 从小学生的心理活动规律来看，由感性认识上升到理性认识的基本过程，就是由形象思维活动到抽象思维活动的循序转化。而这种摆脱形象思维，转入抽象思维需要一定的过程，而且其转化速度也因人而异。因此，引导学生抽象概括的速度必须根据学生的智力水平来决定，既要注意面向大多数学生的共性，又要兼顾优生较快和差生较慢的个性，尽可能使每个学生都能明理“开窍”。在引导学生认识“0和任何数相乘都得0”时，必须先结合演示，围绕特定的目的，提供系统的感性材料，按特定程序成系列地给出，使学生形成一系列的知觉表象。通过实物演示→0+0+0=0→ 0×3=0→0×5=0→0×9=0…… ↓ ↓↓ 3×0=0→5×0=0→9×0=0…… 至此，作为转化“枢纽”的表象已基本形成，抽象的时机已经成熟。但是教师切不可急于求成，而应启发学生通过实例的观察，比较这些算式有什么相同的地方，注意到算式中虽然有的数字不同，但却蕴藏着相同的运算（×），相同的因数(0)和相同的结果(0)，使学生看出不同中有“相同”。抓住这一知觉现象中有思考意义的共同因素作为“转化点”，要求学生对照例题自己再举实例进行印证。这样不仅在数量上丰富了形象思维的内容，而且使表象更具有鲜明性、系统性、典型性和深刻性，以帮助学生摆脱具体形象思维活动，上升为新的概念作准备。接着，教师鼓励学生先“粗炼”出一种有一定形象成分的具体想法，尽可能多地给学生充分表露的机会，并以儿童化、形象化的语言进行粗略的概括，展开议论，交换自己发现的“秘密”。如：“0和什么数相乘都得(0) ”；“乘号两边只要有0就得0”；“随便哪个数和0乘，都得0”；“0不管和几相乘，等号后面就写"0"；……借助这种不完整、不准确的直观性描述，把知觉形象进行初步概括，并在此基础上对学生的表述进行“精炼”，准确地完成由特殊到一般的抽象概括。 四、适度 教师在引导学生对概念进行抽象概括时，既要注意概念本身严密的逻辑性和科学性，更要考虑到学生的年龄特点及所能接受的抽象概括程度的可能性，正确处理形成概念的连续性与阶段性的关系，恰如其分地确定抽象概括的水平。例如，对于“乘法”的概念，教学第二册时只要求凭借图形让学生初步认识“求几个相同加数的和，用乘法计算比较简便”即可；教学第六册时则要理解严格的定义：“求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法”；教学第七册小数乘法时要通过实例对乘法的意义进行深化，初步领悟一个数乘以小于1的小数时是表示求这个数的几分之几；教学第九册分数乘法时，要求学生深刻理解“一个数乘以分数的意义，就是求这个数的几分之几是多少”。又如，减法的概念严格地说应该是在加法的基础上通过逆运算关系来建立的，但是，鉴于一年级学生的思维过程是处于“前运算阶段”，他们的思维过程是不可逆转的，只能是由A顺想到B，而不能由B逆思到A。因此我们这时进行减法概念的教学不能违背这一儿童思维发展的规律，只能从感性中让他们初步认识减法有“去掉”的意思，所以教师可以先利用图画，如：“机场上有3架飞机，飞走了1架，还剩几架？”引导学生从具体的图画中先看出还剩2架飞机，再启发学生怎样列式计算。这时，学生还没有减法的概念，只感到与过去“加法”的问题有点不太一样。为了解开这个“谜”，他们会自然地从各个角度去想，可能有的学生会从旧知识“加法”想到先把两个数加起来：3+1=4。这种想法对不对呢？教师启发学生思考，让他们发现：一共只有3架飞机，飞走1架怎么还会剩4架呢？这答数一方面不合理，另一方面与图上看到的结果不相同，于是，学生从教师的演示中想到应该从3架飞机中去掉1架还剩2架。但怎样用式子求出表示剩下的2架呢？这时教师提出“减法”概念的时机已成熟，便可以引入“3-1=2”的减法算式。这样学生以具体感知粗略地对“减法”的意义有了较低的抽象水平，只认知到减法是用来“求剩余”的。过一段时期，到了一年级下学期再让他们认识减法还可用来“求两个数相差多少”。到三年级上学期时，儿童的思维进入“具体运算阶段”，可以进行逆转的思维了，教师再通过实例从逆运算的角度，引导学生抽象出“已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法”。这样，通过三次螺旋式上升的教学，随着逐步提高抽象水平，分阶段完成“减法”概念的形成。
为了把握抽象概括的水平，首先，教师应认真掌握好教材中数学概念给出的五种形式：(1)原型法——通过提供概念所反映的全部本质属性的事物作为概念的原型，引导学生观察其数量关系或空间形式，从而使学生领悟概念的内涵和外延，而不作文字说明。如第一册中教学10以内数的认识。(2)描述法——就是对概念的内涵作出适当的描述性的说明。如第七册“角”的概念是这样描述的：“从一点引出两条射线，就组成一个角。”(3)举例法——利用若干实例，形象地显示概念的本质。如第四册“小数的初步认识”是结合元、角、分的实例给出小数的概念的。(4)依附法——把具体的概念依附于某个事物中出现。例如第二册中大于号和小于号是配合实物图依附于数的大小比较给出的。(5)定义法——用准确而简练的数学语言揭示概念的本质属性对概念下定义。如分数的意义是“把单位‘1’平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数，叫做分数”。 其次，教师在教学中不能超越学生的知识和智力所能达到的高度，确定不切实际的抽象概括水平。在进行“求两数相差多少”的减法应用题教学时，教材的例题是：“学校里养了12只白兔，7只黑兔。白兔比黑兔多几只？”在对照图形列出算式“12-7=5（只）”后，如果一个劲地追问：“12只减去7只是什么兔？”教师想要求学生说出“从12只白兔里，减去和黑兔同样多的7只白兔。”显然，教师的要求水平超越了一年级小学生的实际可能，结果只能导致学生乱猜。
作者介绍：张宗喜 平罗县向前小学
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