爱华网二项式定理
二. 本周教学重、难点：
掌握二项式定理和展开式的性质，并能用它们计算，证明一些问题
【典型例题】
[例1] （1）求的展开式中的常数项。
（2）求展开式中的有理项。
解：（1），
令 ∴
（2）
令即，
∴ 或9
当时，，
当时，，
[例2] 求展开式中的系数
解：因为的通项为，
的通项为，，令，则
，，，
所以的系数为
[例3] 求展开式中含项的系数
解：
而其中的通项为，的通项为
所以的通项为，其中，且
由已知，，所以，从而
当时，，这时；
当时，，这时；
当时，，这时；
所以展开式中含项的系数为
[例4] 求的展开式中项。
解：方法一：原式
的通项，
∴
当时 ∴ ∴ 或
∴ 含项：
方法二：2个，1个
4个
∴
[例5] （1）求展开式中系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项。
解：（1）设项系数最大，则有
即
解得 又∵ ∴
∴ 系数最大项为
（2）展开式中共有8项，系数最大项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得，又因括号内两项中后项系数绝对值大于前项系数的绝对值，故系数最大项必在中间或偏右，故只需要比较和两项系数大小即可。
∴ 系数最大的项是第五项，
[例6] 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项。
解：
∴ ，即
∴ 解得
∴ 展开式中二项式系数最大的项是中间一项
[例7] 若，求
（1）；
（2）；
（3）。
解：（1）令，则
令，则①
∴
（2）令，则②
由，得
（2）由，得
[例8] 求证：能被64整除
证明：∵
又是整数
∴ 能被64整除
[例9] 求证：有。
证：∵
∴ 左
右
[例10] 求
解：原式
[例11] 若，，展开按m的降幂排列第二项不大于第三项，求m的取值范围。
解： ∴
又∵ ∴
【模拟试题】
一. 选择题
1. 在的展开式中，含项的系数是（ ）
A. B. 5 C. D. 10
2. 在的展开式中的系数是（ ）
A. B. 14 C. D. 28
3. 若展开式中含的项的系数等于含x的项的系数的8倍，则n等于（ ）
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
4. 若展开式中存在常数项，则n等于（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 12
5. 的展开式中有且仅有5个有理项，则最小自然数n等于（ ）
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
6. 若，则等于（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
7. 设二项式的展开式的各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S。若有P+S=272，则n等于（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
8. 展开式中整理后的常数项是（ ）
A. 32 B. C. 70 D. 38
二. 解答题
1. 设函数（为实常数），若的展开式中的系数为，求的值。
2. 已知展开式中常数项为1120，为常数，求展开式中各项系数的和。
【试题答案】
1. C
解析：项的系数为，选C。
2. B
解析：由 ∴ 的系数为14
3. A
解析：含项的系数为，含x项的系数为，由题意得
或（舍）
4. C
解析：本题考查二项式定理，展开式中的第项为
由题意可知
∵ ∴ 为3的倍数 ∴ n为5的倍数
5. B
解析：∵ ，设为有理项，则，且，
∴ 要求n的最小值，只要求出r的最大值即可
又∵ 只有5个有理项 ∴
∴ ，从而
故选B
6. D
解析：令，得，令，得
∴
7. A
解析：若，有，，令，得，又
或（舍去）
∴ ，故选A
8. D
解析：展开式的通项
由，得，故展开式中常数项为
同理，可求的展开式中的常数项为70
∴ 所求常数项为
二.
1. 解析：
由 ∴
∵ ∴
2. 解析：
∴ 当时，为常数项
∴ ∴ ∴
∴ 展开式中各项系数之和为：
① 时，令 ∴
② 时，令 ∴
