爱华网第一章 随机事件和概率
重点题型归纳
题型1 事件的关系和运算
【例1】设X(i),i?1,2,3,4为4个随机变量，且满足P(X(1)?X(2)?X(3)?X(4))?1， A表示至少两个随机变量不小于某固定常数a，则事件A可表示为（ ）
（A）{X(1)?a}
（C）{X(3)?a} （B）{X(2)?a} （D）{X(4)?a}
【例2】设A和B是任意两个概率不为0的事件，则(A?B)?(?)表示（ ）
（A）必然事件
（C）A，B不能同时发生 （B）不可能事件 （D）A，B恰有一个发生 注意：(A?B)?(?)??，不要错选C，应选D
【练习1】A和B是两个概率不为0的互不相容事件，则下列肯定正确的是：
（A）A与B不相容
（C）P(AB)?P(A)P(B) （B）A与B相容。 （D）P（A-B）=P（A） 注：
题型2 概率的性质
【例1】设随机事件A,B,C两两互不相容，且P(A)?0.2,P(B)?0.3,P(C)?0.4，求P?(AB)?C?.
分析：通过概率的性质和事件的关系来判断.
解
P?(AB)?C??P()?P()?P()?P()
?P(A?AC)?P(B?BC)?0?P(A)?P(AC)?P(B)?P(BC)
?0.5
11【例2】设事件A,B,C满足条件：P(AB)?P(AC)?P(BC)?，P(ABC)?，816
则A,B,C至多有一个发生的概率为（ ）
解 记D?｛A,B,C至多有一个发生｝，则
P(D)?1?P()?1?P(AB?AC?BC)?1?[P(AB)?P(AC)?P(BC)?2P(ABC)]?3
4
【例3】（2014，1）设随机事件A、B相互独立，且P(B)?0.5,P(A?B)?0.3，则 P(B?A)?（ 0.2 ）
【练习1】已知随机事件A的概率P(A)?0.5,随机事件B的概率P(B)?0.6及条件概率P(B|A)?0.8,则和事件AB的概率P(A?B)?
【练习2】甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为____________.
解 A?｛甲中｝，B?{乙中}，C?｛命中目标｝，则A,B独立，且C?A?B，所求概率为 P(A|C)?P(AC)P(A)P(A)???P(C)P(A?B)P(A)?P(B)?P(A)P(B)3? 4
【练习3】设P(A)?0.3,P(B)?0.4,P(AB)?0.2，求下列概率：（1）P(B)；（2）P()；（3）P(B)。
分析：熟练掌握事件的性质是解决这类问题的关键.
解（1）P(?)?P(AB)?1?P(AB)?0.8
（2）P(AB)?P(B?A)?P(B)?P(AB)?0.2
（3）P(?B)?P(?AB)?P()?P(AB)?1?P(A)?P(AB)?0.9
【练习4】设随机事件A，B及其和事件A?B的概率分别是0.4, 0.3和0.6，若B表示B的对立事件，那么积事件AB的概率P（AB）。
【练习5】设P(A)?P(B)?P(C)?1/4，P(AB)?0，P(AC)?P(BC)?1/16，求下列事件的概率：(1)A,B,C全不发生；(2)A,B,C至少有一个事件发生.
分析：利用推广的加法公式.并注意P(AB)?0?P(ACB)?0(由单调性). 解 P()?P(ABC)?1?P(ABC)
?1??P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(CA)?P(ABC)?
?11111?3?1???????? ?4441616?8
P(ABC)?1?P()?5 8
【练习6】设事件A,B,C满足条件：
11P(A)?P(B)?P(C)?,P(AB)?0,P(AC)?P(BC)? 46
7则事件A,B,C都不发生的概率为（ ）答案： 12
题型3 古典概型与几何概型
【例1】从5双不同的鞋中任取4只，求4只鞋子中至少两只能配成一双的概率。
【例2】甲乙两船驶向一个不能同时停靠两只船的码头，它们在一昼夜到达的时间是等可能的，如果甲船停泊的时间是1小时，乙船停靠时间是2小时，求任意一只船都不需要等待的概率。
解 设甲乙两船到达时刻分别为x,y，则样本空间G?{(x,y)|0?x,y?24}，从而 甲先到，乙船不需等待的充要条件是：0?x?x?1?y?24；
乙先到，甲船不需等待的充要条件是：0?y?y?2?x?24； 1(232?222)1013于是两船都不需要等待的概率为p? ?2241152
【练习1】将一枚骰子重复掷n次，试求掷出的最大点数为5的概率。
【练习2】在顶点为（0,0），（0,1），（1,0），（1,1）的正方形中任意投入一点记为M(?,?),求方程x2??x???0有实根的概率。
分析：考察几何概型问题的计算。
解：样本空间为??{(?,?)|0??,??1}，A?{(?,?)|(?,?)??,?2?4??0}，从而P(A)?SA3? S?4
评注：（1）应熟悉几何概型的一般计算步骤；
（2）几何概型的问题通常都可以转化为随机变量的方法来解决，请试用随机变量的方法来解决此题。
【练习3】随机地向半圆0?y?a为正常数)内掷点，落在半圆内任何 区域的概率与区域的面积成正比,求原点和该点的连线与x轴的夹角小于
?的概4率。答案（2??） 2?
题型4 四大重要公式
四大重要公式是指条件概率公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式
【例1】已知P(A)?0.5,P(B)?0.6,P(AB)?0.4，求下列概率：（1）P(AB)；（2）
（3）P()。 P(B)；
分析：根据条件概率的公式和概率的性质.
解（1）P(A|B)?P(AB)0.42?? P(B)0.63
1 3（2）P(|B)?1?P(A|B)?
（3）P(|)?P()1?P(A)?P(B)?P(AB)3?? P()1?P(B)4
11,P(C)?,23【例2】（2012，1）设A,B,C是随机事件，A,C互不相容，P(AB)?
