一元二次方程教学设计 不同的设元方法　不同的方程

小李、小明两人分别从A、B两地相向而行，若两人同时出发，则经过4小时相遇；若小李先出发3小时后，小明再出发，则经过2小时两人相遇．问小李、小明两人单独走完这段路程各需几小时？

分析：由于对未知量的设元不同，就可得到不同的解题方法．

解法1  设小李、小明两人单独走完这段路程各需x、y小时，依题意得

．解得．

经检验，是原方程组的解．

所以单独走完这段路程，小李需6小时，小明需12小时．

评注：解法1是行程问题，巧用工程类问题的解法，将A、B这段路程当做整体1，那么甲每小时走全程的，乙每小时走全程的．小李、小明两人同时出发，经过4小时相遇，则有．第二个方程也同理．

解法2  设小李的速度为x千米/时，小明的速度为y千米/时，依题意得

4x+4y=(2+3)x+2y．解得x=2y．

则小李走完全种所需时间：=6(小时)；

小明走完全种所需时间：=12(小时)．

答：(略，下同)．

评注：解法2虽设出两个未知量x、y，但只列出一个二元一次方程，求解出x与y的关系式，然后利用代数式及关系式求出小李、小明走完全程所需的时间．

解法3  小李、小明二人同时出发4小时相遇，若小李先走3小时后，只需再走2小时就与小明相遇，由此可知：小李先走3小时的路程恰好走完全程的一半，即小李走完全程的一半用3小时，那么他走完全程需6小时．

又由题意可知：小李走5小时，小明走2小时可走完全程，又知小李走完全程需6小时．这样，小李走1小时的路程而小明却需2小时走完．由此可得：小李走完全程需6小时，那么小明走完全程就需12小时．

评注：解法3是利用逻辑推理的方法求解的．运用此方法需完全掌握题目中各数量间的动态和静态关系．它是培养和训练学生逻辑思维能力和逻辑推理能力的一道好习题．

解法4  设小李的速度为x千米/时，小明的速度为y千米/时，全程为s千米．依题意意得．以y为主元，解得．

∴小李走完全程所需时间为：=6(小时)；

小明走完全程所需时间为：=12(小时)．

评注：本解法是通过设辅助未知量，并通过这个辅助未知数架起所求未知量与已知量的关系桥，从而得出结论．

解法5  设小李的速度为x千米/时，小明的速度为y千米/时，全程为s千米．依题意意得．以s为主元，解得．

∴小李走完全程所需时间为：=6(小时)；

小明走完全程所需时间为：=12(小时)．

评注：解法5与解法4的想法是一致的，只是解法4是利用时间列出等量关系式，而解法5是利用小李、小明所走的路程之和等于全程列出等量关系式．

解法6  设小李单独走完全程所需的时间为x小时，速度为V小李千米/时，小明单独走完全程所需的时间为y小时，速度为V小明千米/时．由在路程一定的条件下，所用时间与速度成反比，依题意得

，．

分别解得x=6，y=12．

评注：解法6是利用比例来解．当路程一定时，所用的时间与速度成反比，根据这一规律分别列出方程求解．

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