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课时作业(三十七)A
第37讲基本不等式
[时间：35分钟分值：80分]
1．[2011·合肥质检] 若M＝(a∈R，a≠0)，则M的取值范围为( )
A．(－∞，－4]∪[4，＋∞) B．(－∞，－4]
C．[4，＋∞) D．[－4,4]
2．已知ab≠0，a，b∈R，则下列式子总能成立的是( )
A.＋≥2 B.＋≥－2
C.＋≤－2 D.≥2
3．[2011·重庆卷] 若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝( )
A．1＋ B．1＋ C．3 D．4
4．对一切正数m，不等式n<＋2m恒成立，则常数n的取值范围为( )
A．(－∞，0) B．(－∞，4)
C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)
5．[2011·陕西卷] 设0<a<b，则下列不等式中正确的是( )
A．a＜b＜＜ B．a＜＜＜b
C．a＜＜b＜ D.＜a＜＜b
6．[2011·安徽百校联考] 已知a>0，b>0，A为a，b的等差中项，正数G为a，b的等比中项，则ab与AG的大小关系是( )
A．ab＝AG B．ab≥AG
C．ab≤AG D．不能确定
7．某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(0<t≤30)的关系大致满足f(t)＝t2＋10t＋16，则该商场前t天平均售出的月饼最少为( )
A．18 B．27 C．20 D．16
8．设a、b、c都是正数，那么a＋、b＋、c＋三个数( )
A．都不大于2 B．都不小于2
C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2
9．若a>b>1，P＝，Q＝(lga＋lgb)，R＝lg，则P，Q，R的大小关系为________．
10．[2011·吉林质检] 已知2a＋3b＝6，且a>0，b>0，则＋的最小值是________．
11．下列函数中，y的最小值为4的是________(写出所有符合条件的序号)．
①y＝x＋(x>0)；②y＝；③y＝ex＋4e－x；④y＝sinx＋.
12．(13分)若x，y∈R，且满足(x2＋y2＋2)(x2＋y2－1)－18≤0.
(1)求x2＋y2的取值范围；
(2)求证：xy≤2.
13．(1)(6分)[2011·惠州模拟] 若x、y、z均为正实数，则的最大值是( )
A. B. C．2 D．2
(2)(6分)设x，y，z为正实数，满足x－2y＋3z＝0，则的最小值是________．
课时作业(三十七)A
【基础热身】
1．A [解析] M＝(a∈R，a≠0)，当a>0时，M≥4，当a<0时，M≤－4.
2.D [解析] 选项A、B、C中不能保证、都为正或都为负．
3．C [解析] ∵x＞2，
∴f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，
当且仅当x－2＝，即x＝3时取等号．
4．B [解析] 由题意知，n小于函数f(m)＝＋2m在(0，＋∞)上的最小值，f(m)min＝4.
【能力提升】
5．B [解析] 因为0<a<b，由基本不等式得<，a<b，故<＝b，a＝<，故答案为B.
6．C [解析] 依题意得A＝，G＝，故AG＝·≥·＝ab.
7．A [解析] 平均销售量y＝＝＝t＋＋10≥18，当且仅当t＝，即t＝4∈[1,30]等号成立，即平均销售量的最小值为18.
8．D [解析] 假设a＋<2，b＋<2，c＋<2，则
＋＋<6，
而＋＋＝＋＋≥2＋2＋2＝6，与假设矛盾，
∴a＋、b＋、c＋至少有一个不小于2.选D.
9．P<Q<R [解析] ∵a>b>1，所以lga>0，lgb>0，由基本不等式知(lga＋lgb)>，所以P<Q，又>，所以lg>lg＝(lga＋lgb)，所以R>Q，所以P<Q<R.
10．2 [解析] ∵2a＋3b＝6，a>0，b>0，∴＋＝1，
∴＋＝＝1＋＋≥1＋1＝2，当＝时，即3b＝2a时“＝”成立．
11．①③ [解析] ①y＝x＋≥2＝4，等号成立的条件是x＝2；
②y＝＝2
＝2≥4，但等号不成立；
③y＝ex＋4e－x＝ex＋≥4，等号成立的条件是x＝ln2；
④当sinx>0时，y＝sinx＋≥4，但等号不成立；
当sinx<0时，y＝sinx＋<－4.
12．[解答] (1)由(x2＋y2)2＋(x2＋y2)－20≤0，
得(x2＋y2＋5)(x2＋y2－4)≤0，
因为x2＋y2＋5＞0，所以有0≤x2＋y2≤4，
故x2＋y2的取值范围为[0,4]．
(2)证明：由(1)知x2＋y2≤4，由基本不等式得xy≤≤＝2，所以xy≤2.
【难点突破】
13．(1)A (2)3 [解析] (1)∵x，y，z∈(0，＋∞)，∴x2＋y2＋z2＝x2＋y2＋y2＋z2≥2＋2＝(xy＋yz)，当且仅当x＝z＝y时取等号，令u＝，则≤＝，∴当且仅当x＝z＝y时，u取得最大值.
(2)由x－2y＋3z＝0，得y＝，
代入得＝≥＝3，
当且仅当x＝3z时取“＝”．
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