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常微分方程初值问题
initial value problem of ordinary differential equation
求常微分方程
[56-7] (1)满足初值条件
[56-8] (2)的解的问题其中,属于维欧几里得空间,是由(中的开域到的映射。=1时,(1)、(2)表示纯量方程；2时，它们表示向量方程。常微分方程初值问题包括以下的问题：初值问题(1)＋(2)是否有解；解是否惟一；解的存在区间有多大；当初值(,)变化时,解如何变化；当方程(1)的右端函数添进参数，即方程(1)变为[56-9]时，解同参数有何依赖关系；等等。初值问题是A.-L.柯西于19世纪30年代首先提出的,所以又叫柯西问题。在这之前，求解常微分方程是企图求其通解，但能够求出通解的只是一些特殊的方程，而在力学和物理学中出现的大多数方程都无法求出通解。柯西从另一种观点考虑，提出了初值问题，并采用优函数方法，在函数(,)于点(,)的某个邻域里解析的条件下第一次证明了初值问题 (1)+(2)的解析解的存在惟一性。所谓优函数是指：若(,)、(,)均在点(,)的某一邻域内解析，设
[56-10] 且满足条件>0,||，则(, )称为(,)的优函数，记为。此后,又在函数连续可微的假设下证明了初值问题解的存在性。
为简单起见,以下没有特别指明之处，都是对=1的情况而言的，但所有结论对一般的都成立。
解的定义 常微分方程解的定义甚多，不同意义下的解，初值问题的结果不同。最常见的是所谓牛顿解或称经典解。若函数 ()在某个区间上有定义且连续可微；当[kg2][kg2]时(,())[kg2][kg2]；且在上满足方程(1)，即：[56-11][kg2][kg2],则称()是方程(1)的一个牛顿解或经典解,简称为(1)的解。其他意义下的解是其推广。
解的存在性 初值问题(1)+(2)并非都有解存在。例如，初值问题[56-12]的解就不存在。甚至有的方程在它右端函数定义域上的任何一点都无解存在。例如方程 [56-13]其中当为无理数时()=0,当为有理数时 ()=1，就是如此。初值问题有解存在的基本定理是柯西-皮亚诺存在定理:若(,)在矩形域(│-│,│-│)上连续,则初值问题(1)+（2）在区间│-│上至少存在一个解()在这里,[56-14],（图1[初值问题(1)+(2)的解在区间｜-｜上存在]-｜上存在" class=image>）。从点(,)向左右两边作欧拉折线序列{()}：
[56-15] (3) (3)由阿斯科利-阿尔泽拉引理（一个在闭区间[,]上一致有界且同等连续的无穷函数序列，必可从中选取一个在此区间上一致收敛的子序列）可以证明此序列存在一致收敛的子序列，它于|-|上收敛于初值问题的解，从而可以证明上述存在定理。这个定理也可以用绍德尔不动点定理给以证明。值得指出,上述欧拉折线公式(3)是常微分方程数值解法的基本公式之一。
解的开拓性 柯西－皮亚诺存在定理描述的是解在附近的一个区间上的存在性，因而是一个局部性的定理。若 （，）在某一平面有界区域 上连续， 可能很大，这时，可以用如下方法把在小区间上有定义的解开拓到较大的区间上去。适当地选取 、> 0，作[57-1]使，则过点（,(）至少有方程（1）的一个解（）在区间│-│上存在。其中 [57-2][57-3]令[57-4][57-41]显然,[kg1][57-5]则又可适当地选取>0，作:[57-6]使[57-7]于是可向右边开拓到区间 11+1上(见图2[ 解的开拓])。如此继续下去，可一直开拓到的边界的任何邻近同样,[kg2]也可将解 ()从点(-，(-))向左边开拓。如此经开拓而得的解称为方程(1)过点(,)的饱和解饱和解的定义区间称为解的最大存在区间;它必为开区间综上所述有开拓定理:设(,)在平面有界开域上连续,设()为(1)的任一解（或积分曲线）,其最大存在区间为(,)，则必有
[57-9]式中((,()),)表示点(,())到的边界的距离。即，只要在上连续，则方程(1)过中任一点的积分曲线必可延至与边界无限接近。
当无界时,上
的积分曲线或是开拓到无限接近的境界线，或者趋向无穷远。但在接近于的境界线时,可能是振动的。事实上，不管是有界还是无界，如果将的无穷远处也理解为其边界，那么方程(1)过中任一点的积分曲线必可开拓到的边界。因此,下面的结论总是成立的：
设()的最大存在区间是(,),则→+或→－时有
[57-10] (4)式中()=(,())为积分曲线上的点坐标；[57-011][57-11]
解的惟一性 (,) 的连续性不能保证初值问题(1)+(2)的解惟一。例如方程[57-12]其右端函数在整个平面上定义且连续，但过点(0，0)的解至少有两个：()=0 和[57-13]实际上这时有无限个解通过这个点(图3[])，形成过点(0,0)的一束解(称其为皮亚诺束)。这是平面情形。对一般的,若方程(1)在域[57-14]上过点(,)的解不惟一,则过此点的积分曲线的全体形成一个漏斗状的集合，称为积分漏斗。
惟一性条件 初值问题解的惟一性条件,最常用的是李普希茨条件设(,)在:|-|,│-│上连续,存在常数 使[57-15]当[57-16]时,则说（,）在上满足李普希茨条件此外,常见的还有奥斯古德条件:[57-501][57-502]当[57-18]时 其中()在0上非负连续,[57-117][57-17] 还有卡姆克条件:[57-20][57-021][57-21]当[57-22]时 其中(,)是 0,0上的连续非负函数,对任何[kg2][kg2](0,),在0上连续可微的函数 ()≡0是满足方程[57-503]及条件(0)=+(0)=0在区间0上的惟一解。
如果(,)满足这些惟一性条件,则方程(1)只能有一个满足初值条件 (2)的解(惟一性定理)。这个定理可以用比较原理给以证明。在李普希茨条件下，解的存在性可以作皮卡逐步逼近序列 {()}于│-│上一致收敛于此解来证明。这些惟一性条件只保证解的局部惟一性。但只要在域中每一点都满足惟一性条件，则方程(1)过中任一点的饱和解都是惟一的。惟一性的讨论已有一百多年的历史，至今仍有人在研究，并相继提出了许多惟一性条件。
解对初值和参数的相依性 在应用初值问题描述一个物理过程时,由于初值和方程(1)的右端函数通常由实验测定，而小的测量误差可能引起解的很大变化，因此在应用中（如在变分法和最优控制等学科中），就需要考察初值和参数变化时解的变化规律。于是解对初值和参数的依赖关系在理论上和应用上都很重要。
考虑带参数的常微分方程
[58-1] (1)式中(,)[kg2][kg2]，是(中的开域, [kg2][kg2],是开区间，:×→[kg2]为了表明解对初值和参数的依赖关系,把方程(1)满足初值条件(2)的解记为 =( , , ,)；而( , , ,)= 。
解对初值和参数连续的一般定理 设 （,,）在×上连续,关于满足李普希茨条件,即存在常数>0，使[58-2]那么对每个(，)[kg2][kg2],[kg2][kg2],存在通过(,)的 惟一解 =(,,,),其定义域是××中的开集,在上(,,,)是连续的[kg2]这个定理只表明过点（,）的解在定义区域内是连续的，但并没有反映当初值和参数变化时解在 的定义区间上整体的变化情况。下面的定理指出了对某个大范围内的,解对初值和参数连续是一致的。
解对初值和参数的整体连续性定理 设(,,)满足上述定理的条件,又设＝()是方程(1)当= 时的解，其最大存在区间为(,)。对任一闭子区间[,]（,），存在>0，使当[58-500][58-501][58-5]时,对任意[58-6]和[kg2][kg2](-δ,+)，则方程(1)的惟一解（,,,）至少在[,]上有定义，且是变量，，，在区域[,]××（-，+）上的连续函数。并且对任意[kg2][kg2][,]，当[58-7]时,(,,,)→() 对 [kg2][kg2][,]一致成立。对任意 >0，存在>0，使当│- ()|，|-|时有 |(,,,)-()│,[kg2][kg2][,]。
上述两定理中，（，，）关于满足李普希茨条件，目的是保证解的惟一性。事实上，只要初值问题(1)+(2)的解是惟一的，那么上面两定理仍然成立。
解对初值和参数的可微性定理 设（,，）在×内关于(，)连续可微，那么初值问题(1)+(2)的解＝(,,,)作为变量(,,,)的函数
在其定义域内连续可微[58-8]和[58-9]作为的函数分别满足初值问题[58-10][58-111]和[58-12][58-13][58-14]作为的函数满足矩阵微分方程的初值问题[58-15](0)=。为×单位矩阵。
在上面三个定理中，固定 时，就分别得到解对初值的有关依赖性定理。
初值问题的推广 当(,)连续时，就能保证牛顿解的存在性，但在实际应用中出现了(,)为不连续的情形，这类方程已成为现代微分方程理论研究的一个重要课题。前面已有例子表明，(,)不连续时，不一定有牛顿解存在，因此很有必要推广解的概念。到目前为止，已有多种解的推广，下面简述常遇到的卡拉西奥多里解的概念和一个存在性定理。设 ()是区间上的绝对连续函数，对[kg2][kg2]上除了一个测度为零的集合外，满足方程[58-16]则()称为方程(1)的卡拉西奥多里解或卡氏解。
卡拉西奥多里存在定理 设(,)在上定义,对每个固定的关于可测，对每个固定的关于连续；对任一有界闭域[kg1]，存在勒贝格可积函数 ()，使得当(,)[kg2][kg2]时 |(,)|(),则方程(1)存在一个满足初值条件(2)的卡氏解。当(,)在上连续时，卡氏解就归结为牛顿解。
常微分方程初值问题在常微分方程理论的发展中有着重要的作用，在实际应用中也极其重要，在促进某些数学分支的发展中也起了很大的作用。到目前为止，这方面的研究还在进行。
参考书目
王柔怀、伍卓群著，《常微分方程讲义》，高等教育出版社，北京，1986。
E. A. Coddingtonand N. Levinson, Theory of Ordinary Differential Equations, McGraw-Hill,New York, 1955.
., , -,,1954.
J. K.海尔著，侯定丕译，《常微分方程》,人民教育出版社，北京，1980。(J.K. Hale, Ordinary Diffe-rential Equations, 2nd ed., Robert E.Krieger Pub.Co., Huntington, 1969.
贺建勋
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