某次数学竞赛共20道题 一道竟赛题的思考

前不久竞赛卷上有这样一道填空题：

一列数按如图所示的规律排列，若第4行从左到右第2个数记为（4，9），那么数17应记作_________．

考完后，我是用数数的办法，得出答案的，虽做对了，但心里总觉得不是个滋味：本题如果是求一个较大的数（如168等）的位置，如果用死数的办法那又要数到猴年马月呀？于是，我作了如下的思考：

观察发现图中的数据排列有如下规律：

1．  从整体看，是从1开始的连续自然数排列；

2．  行数序号=该行数的个数；

3．  奇数行：从左到右依次增大；

4．  偶数行：从左到右依次减小；

5．  每行末端（最后一个数）具有如下特征：

奇行：右端数=；

偶行：左端数=．（n为行数序号）

解：首先确定数17所在的行：令=17，即=34。因为和是连续自然数，而乘积最接近34的连续自然数是5和6，但由于5×6＜34，所以17应在第6行．在来确定数17是该行的第几个数：因为第5行末端是＝15，而第6行的数有6个且从左到右是依次减小（即从右到左依次增大），所以17是第6行从左到右的第5个数，故17应记为（6，5）．

有了这种解法，就不怕较大的数了，比如数2009在第几行，从左到右是第几个数，记作什么？令=2009，即=4018． 因为和是连续自然数，而乘积最接近4018的连续自然数是63和64，但由于63×64＝4032＞4018，所以2009应在第63行。现在来确定数2009是该行的第几个数：因为第62行末端数是＝1953，而第63行的数有63个且从左到右是依次增大（即从右到左依次减小），所以2009是第63行从左到右的第56个数，故2009应记为（63，56）．

事实上，对于任一正整数M，欲知它在第几行从左到右第几个数，1．用公式=M（M为正整数）找到最接近2M值的两个连续自然数a和b（a＜b），若a×b ＜2M，则数M一定在第b行，若a×b ＞2M，则数M一定在第a行．2．确定该数是从左到右的第几个位置：先用公式=M，计算出b(或a)的前一行的最末端的数 ＝＝P(或＝ ＝P)（P为正整数），再依规律2、3、4，考虑b（或a）的奇偶性，若b（或a）是奇数，则数M一定在从左到右的第M－P个位置；若b（或a）是偶数，则数M一定在从左到右的第b－（M－P）+1（或a－（M－P）+1）个位置．

注：此文发表于<数理天地>初中版2009年第7期.

爱华网本文地址 » http://www.aihuau.com/a/322651/73152078902.html