一次函数的图象与性质 用好一次函数图象上的关键点

一次函数图象与坐标轴的交点，两个一次函数图象之间的交点，常常是求解一次函数问题的关键点。理解这些点的坐标的几何意义，用好这些点的坐标，是解决一次函数问题的重要方法。一次函数y=kx+b，与x轴的交点为（－，0），与y轴的交点为（0，b），一次函数y1=k1+b1与y2=k2+b2的交点坐标为方程组的解。

1.一次函数图象与x轴的交点

由一次函数与一元一次方程（不等式）的关系，函数图象与x轴交点的横坐标即为对应方程的解；反之，方程的解即为函数图象与x轴交点坐标。一图象与x轴交点（即方程的解）为分界，函数图象在x轴的上方和下方的部分分别表示y＞0或y＜0。

例1．已知函数图象过点（4，1）和点（－2，4），求函数的解析式，并画出图象。当x为何值时，y＞0，y=0，y＜0？

解析：由函数图象观察函数值y＞0，y=0，y＜0，关键是看函数图象与x轴的位置关系，而函数图象与x轴的交点则是函数值正负的分界点。

设函数解析式y=kx+b，过点（4，1）和点（－2，4），

 解得  ∴y=－x+3  图象如图。

图象与x轴交点为（6，0）由图象可看出：

x=6时，y=0；x＜6时，y＞0；x＞0，y＜0。

2.一次函数图象与y轴的交点

一次函数图象与y轴的交点位置决定b的正负。与y轴正半轴相交，b＞0；与y轴负半轴相交，b＜0。

例2．已知一次函数y=kx+b+6与一次函数y=－kx+b+2的图象的交点为（2，0），求这两个一次函数解析式及两直线与y轴围成的三角形的面积。

解析：两个一次函数的交点为（2，0）

∴   解得

∴解析式分别为y=x-2；y=－x+2

两条直线与y轴的交点坐标分别为（0，－2），（0，2）。如图。

围成的三角形面积为×4×2=4。

3.两个函数图象的交点

两个函数图象的交点，一方面可利用坐标的几何意义求面积，另一方面还是比较两个函数函数值大小（或不等式）的分界点。

例3．直线L1：y=k1x+b与直线L2：y=k2x

在同一平面直角坐标系中的图象如图所示。

则关于x的不等式k1x+b＞k2x的解集为：

A．x＞－1； B．x＜－1； C．x＜－2； D．无法确定

解析：两个函数图象的位置关系决定函数值的大小关系。函数图象位于上方的函数，同一个自变量对应的函数值大于函数图象位于下方的函数值。要使k1x+b＞k2x，即直线L1：y=k1x+b的图象必须位于直线L2：y=k2x的上方时成立。

故由函数图象可知：x＜－1时，k1x+b＞k2x。

4.两个函数图象交点的综合运用

例4．如图，表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中路程y（千米）随时间x（分）变化的图象（全程）。根据图象回答下列问题：

⑴求比赛开始多少分钟时，两人第一次相遇？

⑵求这次比赛全程是多少千米？

⑶求比赛开始多少分钟，两人第二次相遇？

解析：图中甲的图象由三段线段OA、AB、BC组成，是一个分段函数；乙的图象为线段OD，是一个正比例函数。两人第一次相遇，即函数图象第一次相交，在线段AB上；第二次相遇，即在线段BC上相交处。设第一次相交交点为M，第二次相交交点为N。交点横坐标即为相遇时间。

⑴设AB所在直线解析式为y=kx+b，

则    ∴y=x+ 当y=6时，x=24，即第24分钟时第一次相遇。

⑵由M（24，6）在线段OD上，设OD所在直线解析式为y=kx，24k=6，k=，y=x，当X=48时，y=12   所以全程为12千米。

⑶由⑵知C（43，12），设BC所在直线y=kx+b，有，解得，BC所在直线为y=x－。

由，解得：x=38，即第38分钟两人第二次相遇。

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