爱华网２００８年第４７卷
第６期、
数学通报
３９
谈数列和不等式综合问题中的放与缩
‘
朱青峰
（江苏省苏州市陆慕高级中学２１５１３１）
从高中数学教学内容的角度看，数列与不等式历来就是中学数学的主干内容．它们既是进一通项‰裂项．而当ａ。＝——Ｌ一时，尚不具备裂乃－－ｇ－－——”－－－－１上
步学习数学的基础知识，又是解决实际问题的重项条件，所以先得对口。放缩．若直接将Ｉ二ＬＩ以一一砣一１
要工具．从高中数学的教学功能的角度看，数学是一门理性思维的学科，它承载着培养学生理性思放大为ｊ—ｂ，则为时过早．因为当砣＝１时，ｎ一一咒一‘
维的功能．这一点是中学其他学科难以与之媲美的．一般来说，代数推理演算能力常被用来作为衡——２一ｌ’——２一一；当砣２—咒２—－－Ｌｎ－－１＝一１，—ｎ２—－Ｌｎ－２＝一上２；当砣＝２时，Ｚ町’
量一位学生的理性思维品质优劣的一个标志．而数列与不等式综合问题则是培养学生代数推理演ｊ—Ｌｊ＝１，——Ｌ一因分母为０而没有意义，孑二再一’—ｎ２－－—ｎ－－２四万耳刀Ｕ
ＩＩｕ仅伺思ｘ’
算能力的绝佳素材．从数列和不等式综合问题的设计及解决的角度看，数列的求和与不等式的证只有当五≥３时，才有矛二杀ｊ＜矛＝杀乏・此时
明往往被设置为这类问题的难点．而不等式ａ＞ｂ放缩，恰到好处！即当，１２１时，口ｔ一一１＜嚣；当
的证明，若自左证右，则是一个缩小的过程；若自右证左，则是一个放大的过程．不等式自身所具有咒＝２时，口ｌ＋口２＝ｏ＜并；当，ｌ≥３时，ａｊ＜
上０
的放大或缩小的数值特征，决定了解决数列和不等式综合问题的关键在于如何处理不等式证明过嘉暑两２一土３（南２～赢）．所‰＋口２＋口３＋
，１２一ｎ一
＼，ｌ一
，ｌ＋１，。…”叫’”。”’
程中的放与缩．基于上述分析，本文将着重研究数列和不等式综合问题中的放与缩．…－ｆ－ａ．＜一１＋１＋１Ｉ（１一｛）＋（丢一号）＋
１利用裂项求和放缩
（吉一吉）＋（｛一号）＋．．．＋（南一南）］＿
如果数列亿。）的前咒项和Ｓ。可以用裂项法来求，那么所得结果一般都会呈现出：Ｓ。＝ａ一嚣一号（害ｊ＋丢＋；南）＜嚣．本例的证明过程
，（超），其中ａ为与刀无关的常数，，（恕）是关于稽先后经历了两次放缩：第一次放缩，为裂项求和创的表达式，ｎ∈Ｎ’，且，（咒）＞Ｏ等特征．依据这一造了条件；第二次放缩，证明了不等式．系列特征，我们只需舍去Ｓ。＝ａ－－ｆ（ｎ）中的厂（竹），２利用数列的单调性放缩
，
便可放大得到Ｓ。＜口．
一般地说，已知数列｛口。），如果当行∈Ｎ’时，例１
已知，（ｚ）＝÷ｚ３＋詈ｚ２＋ｂｘ＋ｃ（口，
都有口。＋－＞口。成立，那么｛口。｝叫做递增数列；如果６，ｃ∈Ｒ）的导数记为／（ｚ）．若４＝／（２），ｂ＝
当ｎＥＮ。时，都有ａ什。＜口。成立，那么｛ｎ。）叫做
／（１），ｆ２厂（ｏ），口一一赢，，ｌ∈Ｎ。・求证涵
递减数列．递增数列或递减数列均称为单调数列．
如果能够证明数列与不等式综合问题中涉及到的＋ａ２＋ａ３＋．．．＋口？＜畏．
数列为单调数列，或者能够通过构造转化使得到的新数列为单调数列，那么就可以利用数列的单本题先求出ａ一一１，６＝ｃ＝一３，后得到ａ。＝
调性放缩．
可—Ｌｊ．现要求数为｛口。）的前竹项和，就必须对
例２
已知数列（ｎ一）的通项口一＝１＋西南，
万方数据
４０
数学通报２００８年第４７卷第６期
规∈Ｎ。．求证：口１ｎ２ｎ３…ａ．＞￣／２挖＋１．
待证不等式左边为九个因式的连乘积，右边是一个二次根式，不等式左右两边不相匹配的结构特征，导致了无论用作差比较法，还是用作商比
篙＞１，再设ｍ）＝ａ—ｌ历ａ２ａ３百。‘‘ａ＾，
较法，都难以直接奏效．如果将待证目标先变形为
此时作商比较，（行＋１）与厂（，ｚ）的大小，水到渠成！即
ｆ（ｎ＋１）一，（，１）
％＋１、丽一√２，ｌ＋３
—』型垒＞
～／（２ｎ－＇ｌ－１）（２ｎ＋３）
／［２ｎ＋ｌ＋２ｎ＋３、２—２ｎ＋２
～“。一”’一。。
Ｖ
———鱼堕量一：而２ｎ＋２：１，所以新数列Ｉ——可■■／
｛厂（，１））是递增数列．利用数列｛，（咒））的单调性得
，（ｎ）＞ｆ（１）＝丢＞１，从而有ｎ。口ｚ口３…口。＞
∥而本例利用数列的单调性放缩的妙处在
√５
于：把一个原本较为复杂的不等式堕％攀＞１
√Ｚ，ｌ十１
的证明问题，顷刻之间转化成了两个极为简单的不等式，（，ｚ）＞，（１）与，（１）＞１的证明问题，突出了转化思想与引入中间量的思想．３利用二项式定理放缩
由二项式定理知，（口＋６）”＝ｅｎ叫一Ｃｋ一１６＋…＋ｅ６”（挖∈Ｎ。），当ａ＞０，６＞０时，二项展开式中的每一项均为正数．若舍去其中若干项，则所得和式的值必不大于原来和式的值．根据这一基本常识，便可利用二项式定理减项放缩．
例３已知数列（口。）与（ｂ。）满足条件：口。＝１，ｎ。＋ｌ－－２ａ。＝２ｎ＋１，ｂ。一口。＋ｌ一口。，行∈Ｎ’．试比较２口。与ｂ．的大小，并加以证明．
本例先求出（ｂ。）与｛口．）的通项公式ｂ。一３・２“一２，口。一３・２”一２，ｚ一３，进而作差比较得２口。一ｂ。＝３・２”一４（疗＋１）＝３（Ｃ：＋ａ＋…＋Ｃ：－１＋ｃ：：）一４（挖＋１）．至此，保留二项展开式中的前后四项，便可得到２ａ．一ｂ。≥６（以＋１）一４（ｎ＋１）＝２（ｎ＋１）＞Ｏ，所以２口。＞巩．上述证明过程，初看似乎无懈可击．但若仔细推敲，就会发现２ａ。＞６。对咒∈Ｎ。均成立，是一个错误结论．因为，当ｎ一１时，２ａ。＝２，ｂ。一４，２ａ。＜以；当砣一２时，２ａ。＝１０，ｂ。＝１０，２ａ。一ｂ。；当挖＝３时，２ａ。＝３０，ｂ。＝２２，２ａ。＞６。；当挖＝４时，２ａ。一７４，ｂ。＝４６，２ａ。＞ｂ。．由此
万方数据
猜想：当，ｌ≥３时，２口。＞ｂ。．继续追究错因，还有新的发现，即行＝１时，二项展开式中只有两项；ｎ一２时，二项展开式中只有三项；当且仅当挖≥３时，二项展开式中的项数才不小于４，此时利用二项式定理放缩，时机成熟！所以放缩时机过早，才是导致上述错误结论的根本原因．由此可见，如何把握放缩时机，对处理数列和不等式综合问题中的放与缩十分重要．本例表明，可以采用先特殊后一般的方法探索，即先利用特殊探路，后利用一般证明．两个对象之间的大小关系由不确定变为确定之时，便是利用放缩展开证明之际１４利用细分逼近放缩
，，
立体几何在推导球的表面积计算公式及球的
体积计算公式时，都采用了“分割——求近似和——求近似和的极限”的方法，其实质就是细分
求和，化曲为直及无限逼近等微积分思想的具体应用．利用这一思想，同样可以处理数列和不等式综合问题中的放与缩．
、
例４如图，已知直线Ｚ：ｙ一－ａｘ（ａ＞Ｏ）及曲线Ｃ：ｙ＝ｚ２（ｚ≥Ｏ），曲线Ｃ上的点Ｑ。的横坐标为口，（０＜ｎ１＜ｎ），从Ｃ上的点Ｑ。（，２≥１）作直线平行ｚ轴，交直线ｚ于点Ｐ。＋。，再过点Ｐ。＋。作直线平行于ｙ轴，交曲线Ｃ于点Ｑ。＋。，点Ｑ。（咒＝１，２，３，…）的横坐标构成数列（口。）．
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（Ｉ）试找出口。＋。与口。的关系式，并求（口。）的
通项公式；
（Ⅱ）当ｎ＝１时，证明：∑（口ｔ一口抖。）口蚪ｚ＜
１
了‘
．
本题问（Ｉ）由点Ｑｌ（％，ｐ２），Ｐ＾＋。（｝。２，％２），
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｛ｚｎ）满足ｚ一＋１２，（ｚｎ），ｎＥＮ’，ｚ１５１・
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Ｑ＋。ｆ匕。ｚ，丢口。ｔ１，易得口件。二土．口。。，进而利
，．
（Ｉ）指出ｚ。与ｚ。＋。中，哪一个更接近抠？并
证明你的结论；
（ＩＩ）求证ｌ
