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玻耳兹曼方程数值解法
numerical method for Boltzmann equations
玻耳兹曼方程是原子物理、天体物理等领域中的描写粒子(中子、质子、光子等)运动的基本微分－积分方程。假定粒子在两次碰撞之间作等速直线运动，而在穿过介质的过程中按照一定的概率与其他粒子相碰撞，从而发生偏斜、慢化、被吸收或增殖等现象。由于粒子是大量的，因此可以忽略统计起伏，把它们看成是连续体。求解玻耳兹曼方程，就是要求出在任一时刻，具有不同速度的粒子在空间的分布。玻耳兹曼方程数值解法很多，其中以解描述中子输运问题的玻耳兹曼方程的数值方法较为典型。
描述非定常中子输运过程的玻耳兹曼方程为：
[28-1], (1)式中为时间；r、分别为中子的位置和速度向量，＝Ω,Ω为中子速度方向的单位向量；(r,,)为中子角通量分布；(,r)表示在点r处速度为的中子的宏观总截面，=(,r);(→;r)d是在r处中子速度由转移到与+d[kg2]之间的总概率；[285-500]是独立中子源。对于单速各向同性散射一维球对称问题，非定常中子输运方程为
[28-2]式中为径向坐标;[kg2]＝cos,为向径和速度向量间的夹角；()为总截面；()=()()，()为在处每次碰撞所产生的平均次级中子数方程(2)的定解条件为
[28-3]
[28-5]。
20世纪40年代发展了用于解定常问题的两类主要解法。
①球谐函数法 它把和[285-500]按勒让德多项式()(球谐函数）展开，例如，令
[28-6]利用勒让德多项式的性质，把方程简化，再取展式的前+1项,得,,…,的+1个方程的联立方程组,然后用差分法求数值解。该法又称为P近似法。
②威克－昌德拉塞卡离散纵标法 简称WC法它(主要针对平板几何问题)是取的一组固定值，,,…,，对(,,)(=1,2,…,)写出方程组。右端积分用数值积分逼近，例如取为勒让德多项式零点的高斯求积公式，然后用差分法求解。对于各向同性散射的平板问题，WC法和球谐函数法是等价的。
1953年 B.G.卡尔森提出了解中子输运方程(2)的方法,该法取－1==1（其中[29-1][29-2]）,把[-1,1]分成个区间,在每个区间[-1,]上假定是的线性函数,同样取[29-3],假定在每个区间 [-1，]上 也是 的线性函数。将(2)在区域{-1,-1}上对和积分，然后对时间作隐式向后差分得到差分格式，并适当选取插值公式，使差分方程的解满足粒子数守恒的性质。
卡尔森等人在50年代末进一步提出离散法，又称
离散纵标法(简记DSN法)。这种方法可以比较容易地推广到多维情况。它是从守恒方程
[29-5] 出发的，离散分点取为 [29-6]，-1，，…，取为勒让德多项式零点,取为偶数，右端积分用高斯积分公式近似。在点[29-7]上建立差分，为此在高斯积分系数对应的子区间上对 近似积分，在(-1,)上对作体积分，对用中心差分，则得
[29-8]式中[29-9]是以 -1和为内外半径的球壳的体积，A是半径为的球面面积。
[29-10],[29-11]按递推公式
[29-12]求出。此外，还要补充关系
[29-13]和边界(=-1)方程
[29-14] 定解条件离散化为 [29-15][29-16]。若取为迭代初值，把中的用前次迭代值代入，则利用边界条件，(4)、(5)可显式递推求解，计算步骤按从小到大的顺序进行。当从大到小进行计算，当>0时，则利用中心对称条件,对从小到大进行计算。
方法和 DSN方法是求解玻耳兹曼方程的有效的数值方法，其主要缺点是计算中可能出现负通量，为了避免出现负通量有各种修正格式。
对于定常的玻耳兹曼方程，70年代出现了多种有限元算法。有通过引进角通量偶次分量，把方程化为自伴形式，再构造泛函求极小的有限元算法；也有直接用加廖金法（包括连续的和不连续的方法）和配置法等的有限元算法。
此外,还有许多其他的数值方法,例如特征线法、分裂法和几种方法相结合的混合解法，以及求解积分型输运方程的各种数值方法。而基本概率理论的蒙特卡罗法在输运计算中也占有重要的地位。
参考书目
R. D. Richtmyer and K. W. Morton, Difference Method for Initialvalue Problems , 2nded.，Interscience, New York,1967.
杜明笙
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