爱华网21、据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2006年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2008年的利用率提高到60%，求每年的增长率．（取 2≈1.41）
本题中可设我省每年产出的农作物秸杆总量为a，合理利用量的增长率是x，06年的利用量是30%a，那么07年的利用率就是30%（1+x），08年的利用量就是30%a（1+x）2，进而可列出方程，求出答案．
解答：解：设我省每年产出的农作物秸杆总量为a，合理利用量的增长率是x，由题意得
30%a（1+x）2=60%a，
即（1+x）2=2（5分）
∴x1≈0.41，x2≈-2.41（不合题意舍去）．（7分）
∴x≈0.41．
答：每年的增长率约为41%．（8分）
22、下面的四个结论，回答问题．
①x2-3x+2=0的两根为x1=1，x2=2；
②（x-1）（x-2）=0的两根为x1=1，x2=2；
③（x-1）（x-2）=x2-3x+2；
④二次三项式x2-3x+2可分解为（x-1）（x-2）．
猜测
若关于x的方程x2+px+q=0的两根为x1=3，x2=-4，则二次三项式x2+px+q可分解为
．
应用在实数范围内分解因式：
（1）2x2-4x+2
（2） 13x2-23x-1
（3）x2-2x-2
猜测：若关于x的方程x2+px+q=0的两根为x1，x2，那么x2+px+q=（x-x1）（x-x2），把所求得的解代入即可；
（1）提取公因式2后用完全平方公式分解即可；
（2）求得方程的相应解为x1，x2，则ax2+px+q=a（x-x1）（x-x2），把所求得的解代入即可；
（3）求得方程的相应解为x1，x2，则x2+px+q=（x-x1）（x-x2），把所求得的解代入即可．
解：猜测：（x-3）（x+4）（2分）；
应用：（1）原式=2（x2-2x+1）（4分）
=2（x-1）2（5分）；
（2）原式= 13(x2-2x-3)．（7分）
= 13(x-3)(x+1)（8分）；
（3）设x2-2x-2=0，解这个方程得其解为 x=1±3（10分）；
∴x2-2x-2= (x-1-3)(x-1+3)．（12分）
考查知识点为：若方程ax2+px+q=0的两根为x1，x2，则ax2+px+q=a（x-x1）（x-x2）．
28、今年，我国政府为减轻农民负担，决定在5年内免去农业税．某乡今年人均上缴农业税25元，若两年后人均上缴农业税为16元，假设这两年降低的百分率相同．
（1）求降低的百分率；
（2）若小红家有4人，明年小红家减少多少农业税？
（3）小红所在的乡约有16000农民，问该乡农民明年减少多少农业税？
（1） 设设降低的百分率为x，则降低一次后的数额是25（1-x），再在这个数的基础上降低x，则变成25（1-x）（1-x）即25（1-x）2，据此即可列方程求解；
（2）每人减少的税额是25x，则4个人的就是4×25x，代入（1）中求得的x的值，即可求解；
（3）每个人减少的税额是25x，乘以总人数16000即可求解．
解：（1）设降低的百分率为x，依题意有，25（1-x）2=16，
解得，x1=0.2=20%，x2=1.8（舍去）；
（2）小红全家少上缴税25×20%×4=20（元）；
（3）全乡少上缴税16000×25×20%=80 000（元）．
答：降低的增长率是20%，明年小红家减少的农业税是20元，该乡农民明年减少的农业税是80 000元．
点评：本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
22、顾客李某于今年“五•一”期间到电器商场购买空调，与营业员有如下的一段对话：
顾客李某：A品牌的空调去年“国庆”期间价格还挺高，这次便宜多了，一次降价幅度就达到19%，是不是质量有问题
营业员：不是一次降价，这是第二次降价，今年春节期间已经降了一次价，两次降价的幅度相同．我们所销售的空调质量都是很好的，尤其是A品牌系列空调的质量是一流的．
顾客李某：我们单位的同事也想买A品牌的空调，有优惠政策吗？
营业员：有，请看《购买A品牌系列空调的优惠办法》．
购买A品牌系列空调的优惠办法：
方案一：各种型号的空调每台价格优惠5%，送货上门，负责安装，每台空调另加运输费和安装费共90元．
方案二：各种型号的空调每台价格优惠2%，送货上门，负责安装，免运输费和安装费．
根据以上对话和A品牌系列空调销售的优惠办法，请你回答下列问题：
（1）求A品牌系列空调平均每次降价的百分率？
（2）请你为顾客李某决策，选择哪种优惠更合算，并说明为什么？
1）设A品牌系列空调平均每次降价的百分率为x，原价为a，根据增长率的一般公式即可列出方程解决问题；
（2）若顾客李某现在要买的A品牌系列空调的某一型号的价格为每台x元，然后分别用x表示两种方法的函数关系式，接着分情况讨论，不同情况的方法收费，比较大小即可得到结论．
解答：解：（1）设A品牌系列空调平均每次降价的百分率为x，原价为a，
根据题意，得a（1-x）2=a（1-19%），
解得x1=1.9（不合题意，舍去），x2=0.1=10%．
（2）若顾客李某现在要买的A品牌系列空调的某一型号的价格为每台x元，
按照优惠方案一每台需支付y1元，按照优惠方案二每台需支付y2元，
则y1=0.95x+90，y2=0.98x，
当y1＞y2时，x＜3000（元），此时应选方案二；
当y1=y2时，x=3000（元），此时选两种方案都一样；
当y1＜y2时，x＞3000（元），此时应选方案一．
答：（1）A品牌系列空调平均每次降价的百分率为10%；
（2）当A品牌系列空调的某一型号的价格为每台＜3000元时，应选方案二；
当A品牌系列空调的某一型号的价格为每台3000元时，两种方案都可以选；
当A品牌系列空调的某一型号的价格为每台＞3000元时，应选方案一．
23、某商店把进价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其每天销售量就减少10件，若经营的这种商品要达到每天获利640元，售价应定为多少？
设定价为x元，则有（x-进价）（每天售出的数量- x-100.5×10）=每天利润，解方程求解即可．
解答：解：设定价为x元，根据题意列方程得
（x-8）（200- x-100.5×10）=640，
解得x1=12，x2=16．
∵采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，
故应将每件售价定为16元时，才能使每天利润为640元．
点评：本题考查的是一元二次方程的应用．读懂题意，找到等量关系“经营的这种商品要达到每天获利640元”准确的列出方程是解题的关键．
24、已知a、b、c满足 |a-8|+b-5+(c-18)2=0．
（1）求a、b、c的值；
（2）试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长，若不能，请说明理由．
1）由于有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零，即若a1，a2，…，an为非负数，且a1+a2+…+an=0，则必有a1=a2=…=an=0，由此即可求出a、b、c的值；
（2）根据三角形的三边关系即可判定．
解答：解：（1）由题意得：a- 8=0；b-5=0；c- 18=0，
解之得：a= 8=2 2，b=5，c= 18=3 2；
（2）根据三角形的三边关系可知，a、b、c能构成三角形．
此时三角形的周长为a+b+c=2 2+5+3 2=5+5 2．
点评：本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．
25、是否存在这样的非负整数m，使关于x的一元二次方程m2x2-（2m-1）x+1=0有两个实数根？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
根据题意，要使m2x2-（2m-1）x+1=0有两个实数根，必有△=[-（2m-1）]2-4m2≥0；解出m的值，并判断其解集中是否存在符合题意的非负整数，即可得出答案．
解答：解：不存在
由题意可得：m2≠0；
故m≠0，
又△=[-（2m-1）]2-4m2≥0，
解得：m≤ 14；
而要求m为非负整数，
故这样的m不存在．
点评：总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
23、观察下列等式：
① 12+1=2-1(2+1)(2-1)=-1+2；
② 13+2=3-2(3+2)(3-2)=-2+3；
③ 14+3=4-3(4+3)(4-3)=-3+4；…
从计算结果中寻找规律，并利用这一规律计算： (12+1+13+2+14+3+…+12002+2001)(2002+1)．
解：∵ 12+1=2-1(2+1)(2-1)=-1+2，
13+2=3-2(3+2)(3-2)=-2+3，
14+3=4-3(4+3)(4-3)=-3+4，…
∴ (12+1+13+2+14+3+…+12002+2001)(2002+1)
=[（-1+ 2）+（- 2+ 3）+（- 3+ 4）+…+（- 2001+ 2002）]（ 2002+1）
=（-1+ 2- 2+ 3- 3+ 4+…- 2001+ 2002）（ 2002+1）
=（-1 +2002）（ 2002+1）
= (2002)2-12
=2002-1
=2001．
24、某小区规划在一块长32米，宽20米的矩形场地修建三条同样宽的小路，使其中两条平行，另一条与之垂直，其余部分种草，草坪的面积为570米2，小路的宽度应是多少？
设小路的宽是x米，可表示出草坪的长和宽，根据草坪的面积为570米2，可列方程求解．
解答：解：设小路的宽是x米，
（20-x）（32-2x）=570
x=1或x=35（舍去）．
故小路的宽为1米．
25、百货商店服装专柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可销售20件，每件盈利40元．为迎“六一”国际儿童节，商店决定采取降价的措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
每天的盈利=每天的销量×每件的利润．
设每件童装降价x元，根据题意分别表示销量和每件的利润，列方程求解．
解答：解：设每件童装降价x元，根据题意得
（20+2x）（40-x）=1200，
解得 x1=10，x2=20．
因为要减少库存，所以x=20．
答：每件童装应降价20元．
点评：此题考查一元二次方程的应用，主要搞清楚利润的表达式，难度不大．
23、美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容．某市区近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加．
（1）根据图中所提供的信息，回答下列问题：2006年底的绿地面积为 公顷 ，比2005年底增加了 公顷；在2004年，2005年，2006年这三年中，绿地面积增加最多的是 年；
（2）为满足城市发展的需要，计划到2008年底使城区绿地总面积达到72.6公顷，试求2008年底绿地面积对2006年底的增长率．
第一问比较简单，第二问中：绿地总面积由60公顷增加到72.6公顷，设增长率为x，就可以列出方程60（1+x）=72.6，从而求出增长率x．
解答：解：（1）由图形可知填：60，4，2005．
（2）解：设增长率为x．
依题意得：60（1+x）2=72.6，
解得：x1=0.1=10%，x2=-2.1（不合题意，舍去）．
答：2008年底绿地面积对2006年底的增长率是10%．
25、阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式计算时，我们有时会碰到如 53，23，23+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步简化： 53=5×33×3=533 ①
23=2×33×3=63 ②
23+1=2(3-1)(3+1)(3-1)=2(3-1)(3)2-12=2(3-1)2=3-1 ③
以上这种化简的步骤叫做分母有理化， 23+1还可以用以下方法化简： 23+1=3-13+1=(3)2-123+1=3-1 ④
（1）请用不同的方法化简： 27+5
参照③式方法化简过程为：
参照④式方法化简过程为：
（2）化简： 23+1+25+3+27+5+…+22n+1+2n-1．
（1）根据已知中的例子，③的方式是：分子、分母上同时乘以与分母构成平方差公式的式子，从而化简；
④的方式是：把2化成两个数的差，利用平方差公式分解，然后约分；
（2）根据（1）的结论，直接运用计算即可．
解答：解：（1）：参照③式方法化简过程为：原式= 2(7-5)(7+5)(7-5)= 7- 5；
参照④式方法化简过程为：原式= 7-57+5= (7+5)(7-5)7+5= 7- 5．
（2）原式= 3-1+ 5- 3+ 7- 5+…+ 2n+1- 2n-1= 2n-1-1．
37、m为何值时，方程x2+mx-3=0与方程x2-4x-（m-1）=0有一个公共根？并求出这个公共根．
如果设这个公共根为α，那么根据两根之和的表达式，可知方程x2+mx-3=0的两根为α、-m-α；方程x2-4x-（m-1）=0的两根为α、4-α．再根据两根之积的表达式，可知α（-m-α）=-3 ①，α（4-α）=-（m-1）②．联立①②，即可求出α、m的值．
解答：解：设这个公共根为α．
则方程x2+mx-3=0的两根为α、-m-α；方程x2-4x-（m-1）=0的两根为α、4-α，
由根与系数的关系有：α（-m-α）=-3 ①，α（4-α）=-（m-1） ②．
由②得 m=1-4α+α2③，
把③代入①得：α3-3α2+α-3=0，
即（α-3）（α2+1）=0，
∴α=3．
把α=3代入③得：m=-2．
∴当m=-2时，两个方程有一个公共根，这个公共根是3．
38、关于x的方程 kx2+(k+1)x+k4=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．
（1）根据x的方程 kx2+(k+1)x+k4=0有两个不相等的实数根，得出△=（k+1）2-4k× k4＞0，即可得出答案；
（2）当方程两个实数根的倒数和等于0，得出 1x1+1x2=0，进而得出k的值从而得出答案．
解答：解：（1）∵x的方程 kx2+(k+1)x+k4=0有两个不相等的实数根．
∴△=（k+1）2-4k× k4＞0，
∴2k+1＞0，
∴k＞- 12，且k≠0；
（2）∵当方程两个实数根的倒数和等于0，
∴ 1x1+1x2=0，
∴ x1+x2x1x2=0，
∴x1+x2=0，
∵x1+x2=- k+1k=0，
∴k=-1，
∵k＞- 12，
∴不存在实数k，使方程两个实数根的倒数和等于0．
5、2009年5月17日至21日，甲型H1N1流感在日本迅速蔓延，每天的新增病例和累计确诊病例人数如图所示．
（1）在5月17日至5月21日这5天中，日本新增甲型H1N1流感病例最多的是哪一天？该天增加了多少人？
（2）在5月17日至5月21日这5天中，日本平均每天新增加甲型H1N1流感确诊病例多少人？如果接下来的5天中，继续按这个平均数增加，那么到5月26日，日本甲型H1N1流感累计确诊病例将会达到多少人？
（3）甲型H1N1流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型H1N1流感没有及时隔离治疗，经过两天传染后共有9人患了甲型H1N1流感，每天传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型H1N1流感？
本题中的（1）（2）可观察统计图求出答案；（3）中可设每天传染中平均一个人传染了x个人，则由最初的一个人经过一天后传染给了x个人，即此时有（1+x）个人患病，第二天这（1+x）个人每人又传染给了x个人，即新增病例x（1+x）个，此时共有患者[1+x+x（1+x）]名，进而可列出方程，求出答案．
解答：解：（1）18日新增甲型H1N1流感病例最多，增加了75人；
（2）平均每天新增加 267-45=52.6人，继续按这个平均数增加，到5月26日可达52.6×5+267=530人；
（3）设每天传染中平均一个人传染了x个人，则
1+x+x（x+1）=9，（x+1）2=9，
解得x1=2，x2=-4（舍去）．
再经过5天的传染后，这个地区患甲型H1N1流感的人数为（1+2）7=2187（或1+2+6+18+54+162+486+1458=2187），
即一共将会有2187人患甲型H1N1流感．
22、下图是小芳家2009年全年月用电量的条形统计图．
根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）2009年小芳家月用电量最小的是
月，四个季度中用电量最大的是第
季度．
（2）今年小芳家添置了新电器，用电量明显增加．已知今年5月份的用电量比去年5月份增长50%，今年7月份的用电量比去年7月份增加三分之一，今年5月至6月用电量增长率是6月至7月用电量增长率的1.5倍，试求小芳家今年6月份的用电量是多少千瓦时？
考点：一元二次方程的应用；条形统计图．
专题：增长率问题．
分析：（1）根据条形图找到用电量最小的月份即可；算出每个季度的用电量，比较可得用电量最多的季度；
（2）今年5月份的用电量=去年5月份的用电量×（1+50%）；今年7月份的用电量=去年7月份的用电量×（1+ 13），可设6月到7月用电量月增长率为未知数，等量关系为：今年5月份的用电量×（1+5月至6月用电量增长率）×（1+6月到7月用电量增长率）今年7月份的用电量，把相关数值代入计算即可．
解答：解：（1）由图中可以看出，5月份的用电量最小；
第一季度的用电量为：192+178+162=532；
第二季度的用电量为：116+80+132=328；
第三季度的用电量为：180+198+181=559；
第四季度的用电量为：129+155+178=462；
故答案为：5，三；
（2）设6月到7月用电量月增长率为x，
由题可得：80（1+50%）（1+x）（1+1.5x）=180×（1+ 13）．
解得： x1=13，x2=-2（舍去）．
所以今年6月份的用电量是80（1+50%）（1+1.5× 13）=180．
答：今年6月份的用电量180千瓦时．
点评：考查由条形图得到信息及一元二次方程的应用；得到今年7月份的用电量的等量关系是解决本题的关键．
23、小明用下面的方法求出方程2 x-3=0的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解，并把你的解答过程填写在下面的表格中．
方程
换元法得新方程
解新方程
检验
求原方程的解
2x-3=0
令 x=t，
则2t-3=0
t=32
t=32＞0
x=32，
所以 x=94
x+2x-3=0
x+x-2-4=0
考点：无理方程．
专题：图表型．
分析：此方程可用换元法解方程．（1）令 x=t，则原方程可化为t2+2t-3=0；
（2）令 x-2=t，则原方程可化为t2+t-2=0．
解答：解：
方程
换元法得新方程
解新方程
检验
求原方程的解
x+2x-3=0
令 x=t，则t2+2t-3=0
t1=1，t2=-3
t1=1＞0，t2=-3＜0（舍去）
x=1，所以x=1．
x+x-2-4=0
令 x-2=t，则t2+t-2=0
t1=1，t2=-2
t1=1＞0，t2=-2＜0（舍去）
x-2=1，所以x-2=1，x=3．
点评：在解无理方程时最常用的方法是换元法，一般方法是通过观察确定用来换元的式子，如本题中（1）设 x=t，需要注意的是用来换元的式子为设 x，则x=t2；（2）设 x-2=t，需要注意的是用来换元的式子为设 x-2=t，则x-2=t2．
24、阅读下列材料，并回答下列问题：
12+2=2-2(2+2)(2-2)=2-22=1-22132+23=32-23(32+23)(32-23)=32-236=22-33143+34=43-34(43+34)(43-34)=43-3412=33-44=33-12
（1）请你依照材料的方法计算 154+45
（2）利用你探索的规律计算： 12+2+132+23+143+34… 12524+2425
考点：分母有理化．
专题：规律型．
分析：仔细观察材料，其计算方法是分母有理化，一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．
解答：解：（1） 154+45=54-45(54+45)(54-45)=54-4520=44-55=12-55．
（2） 原式=1-22+22-33+33-44+ 2424-2525=1-15=45．
点评：主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．
23、用换元法解方程（x2-x）2-5（x2-x）+6=0，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
考点：换元法解一元二次方程；换元法解分式方程．
专题：计算题．
分析：把原方程中的（x2-x）代换成y，原方程可化为，y2-5y+6=0，即可得到关于y的方程，求得y值后，代入x2-x=y，再解两个关于x的一元二次方程即可．
解答：解：根据题意x2-x=y，把原方程中的x2-x换成y，
所以原方程变化为：y2-5y+6=0，
解得y=2或3，
当y=2时，x2-x=2，无解；
当y=3时，x2-x=3，
解得，x1= 1+132，x2= 1-132，
∴原方程的解为x1= 1+132，x2= 1-132．
点评：本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助引进辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量替换．这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观．
24、提高题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（1）已知代数式-2x2+4x-18
①用配方法说明无论x取何值，代数式的值总是负数．
②当x为何值时，代数式有最大值，最大值是多少？
（2）阅读下面的例题
解方程x2-|x|-2=0
解：（1）当x≥0时，原方程化为x2-x-2=0，
解得：x1=2，x2=-1（不合题意，舍去）．
（2）当x＜0时，原方程化为x2+x-2=0，
解得：x1=-2，x2=1（不合题意，舍去）．
∴原方程的根是x1=2，x2=-2．
请参照例题解方程x2-|x-1|-1=0．
（3）假日旅行社为吸引市民组团去某风景区旅游，推出了如下收费标准：
某单位组织员工去该风景区旅游，共支付给假日旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去风景区旅游？
（1）利用完全平方式来解答；
（2）利用公式法来解方程，在解答过程中，要注意对|x-1|进行分类讨论；
（3）根据题意，先确定旅游团的人数x，显然x＞25，因为如果x≤25，则费用是25×1000=25000元，而实际费用是27000元，不符；所以每个人的费用应该是1000-20（x-25）=1500-20x元，根据题意列出方程（1500-20x）x=27000，解方程即可．
解答：解：（1）①-2x2+4x-18
=-2（x2-2x）-18
=-2（x-1）2-16
∵-2（x-1）2≤0，-16＜0，
∴-2（x-1）2-16＜0，
∴无论x取何值，代数式的值总是负数；
②由①知，原式=-2（x-1）2-16，
∴当-2（x-1）2=0，即x=1时，代数式有最大值；
当x=1时，原式=-16．
∴当x=1时，代数式有最大值，最大值是-16；
（2）①当x-1≥0，即x≥1时，原方程化为x2-x=0，
解得：x1=1，x2=0（不合题意，舍去）．
②当x-1＜0，即x＜1时，原方程化为x2+x-2=0，
解得：x1=-2，x2=1（不合题意，舍去）．
∴原方程的根是x1=1，x2=-2；
（3）设该单位这次共有x个员工去风景区旅游．则根据题意，得
显然x＞25，因为如果x≤25，则费用是25×1000=25000元，而实际费用是27000元，不符；
所以每个人的费用应该是1000-20（x-25）=1500-20x元，根据题意，得
（1500-20x）x=27000，
解得x1=30，x2=45
①当x1=30，1500-20x=900＞700，符合题意；
②当x2=45，1500-20x=600＜700，不符合题意，舍去．
答：该单位这次共有30个员工去风景区旅游．
点评：本题考查了解一元二次方程的方法，配方法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当配方法不适合方程时，即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．
3、阅读与解答：
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如 53，23，23+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 53=5×33×3=533?(一)，?23=2×33×3=63?(二)，23+1=2×(3-1)(3+1)(3-1)=2(3-1)(3)2-12=3-1?(三)， 23+1还可以用以下方法化简： 23+1=3-13+1=(3)2-123+1=(3+1)(3-1)3+1=3-1（四）
以上这种化简的方法叫做分母有理化．
（1）请用不同的方法化简 25+3．①参照（三）式得 25+3=
．
②参照（四）式得 25+3=
．
（2）化简： 23+1+25+3+27+5+…+22009+2007
考点：分母有理化．
专题：规律型．
分析：解答本题要认真阅读前面的分析，根据题目的要求选择正确的解题方法．
解答：解：（1）①原式= 2(5-3)(5+3)(5-3)= 2(5-3)5-3= 5-3．
②原式= (5)2-(3)25+3= (5+3)(5-3)5+3= 5-3．
故应填 5-3．
（2）原式=2 (3-1(3+1)(3-1)+5-3(5+3)(5-3)+7-5(7+5)(7-5)+
+ 2009-2007(2009+2007)(2009-2007))
= 2(3-12+5-32+7-52++2009-20072)
= 3-1+5-3+7-5++2009-2007
= 2009-1．
故应填 2009-1．
点评：主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．
24、说明：不论x取何值，代数式x2-5x+7的值总大于0．并尝试求出当x取何值时，代数式x2-5x+7的值最小？最小值是多少？
考点：二次函数的最值．
专题：计算题．
分析：把代数式x2-5x+7通过配方后即可证明总大于0，根据二次函数的性质即可求出最小值．
解答：解：原式=（x -52）2+ 34．
∵（x -52）2≥0．
∴原式＞0恒成立；
当x= 52时，原式有最小值为 34．
点评：本题考查了二次函数的最值，难度一般，关键是掌握用配方法求二次函数的最值．
5、有这样一类题目：将 a±2b化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2=a且 mn=b，则将 a±2b将变成m2+n2±2mn，即变成（m±n）2开方，从而使得 a±2b化简．
例如，5+ 26= 3+2+26= (3)2+(2)2+22•3=(3+2)2，
∴ 5+26=(3+2)2=3+2．
请仿照上例解下列问题：
（1） 5-26；
（2） 4+23．
考点：二次根式的性质与化简．
专题：阅读型．
分析：观察所给示例的结构特点，根据所给示例解答即可．
解答：解：5-2 6=3+2-2 6= (3-2)2，
∴ 5-26= (3-2)2= 3-2；
∵ 4+23= 3+1+23= (3+1)2，
∴ 4+23= (3+1)2= 3+1．
点评：本题是一个示例探究题．解题时不仅要注意探索得到的结论，更要注意探索的过程，培养逻辑思维能力和探究能
26、如图1，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米．
求：（1）若鸡场面积150平方米，鸡场的长和宽各为多少米？
（2）鸡场面积可能达到200平方米吗？
（3）如图2，若在鸡场内要用竹篱笆加建一道隔栏，则鸡场最大面积可达多少平方米？
考点：二次函数的应用．
分析：（1）若鸡场面积150平方米，求鸡场的长和宽，关键是用一个未知数表示出长或宽，并注意去掉门的宽度；
（2）求二次函数的最值问题，因为a＜0，所以当（x- 354）2=0时函数式有最大值．
（3）此题中首先设出鸡场的面积和宽，列函数式时要注意墙宽有三条道，所以鸡场的长要用篱笆的周长减去3个宽再加上大门的宽2米，再求函数式的最大值．
解答：解：（1）设宽为x米，则：x（33-2x+2）=150，
解得：x1=10，x2= 152（不合题意舍去），
∴长为15米，宽为10米；
（2）设面积为w平方米，则：W=x（33-2x+2），
变形为：W=-2（x -354）2+ 12258，
∴鸡场面积最大值为153 18＜200，即不可能达到200平方米；
（3）设此时面积为Q平方米，宽为X米则：Q=x（33-3x+2），
变形得：Q=-3（x -356）2+ 122512，
∴此时鸡场面积最大值为 122512．
点评：此题主要考查了一面靠墙矩形面积求法，以及二次函数最值问题，题目比较典型，是中考中热点问题．
已知 a+1a=-1+10，求 a2+1a2的值．
考点：二次根式的混合运算；完全平方公式．
分析：用完全平方公式可得： (a+1a)2=a2+2a• 1a+ 1a2=a2+2+ 1a2，这样可求得代数式的值．
解答：解：∵ (a+1a)2=a2+2a• 1a+ 1a2=a2+2+ 1a2
∴a2+ 1a2= (a+1a)2-2
= (-1+10)2-2
=1-2 10+10-2
=9-2 10．
点评：本题考查完全平方公式的运用，计算过程中注意二次根式的运算．
19、若 a+1+ b-1=0，求a2008+b2009的值．
考点：非负数的性质：算术平方根．
分析：首先根据算术平方根的非负性，求出a与b的值，然后代入多项式a2008+b2009中．
解答：∵ a+1+b-1=0，
∴a+1=0，b-1=0，
解得a=-1，b=1，
∴a2008+b2009=（-1）2008+12009=2．
点评：本题主要考查了算术平方根的非负性，以及指数的计算．
23、阅读理解：将下列二次三项式在实数范围内分解因式：
（1）x2-5x+6；（2）x2-2x+1；（3）4x2+8x-1．
解（1）令x2-5x+6=0，解得方程的两根为x1=2，x2=3．则x2-5x+6=（x-2）（x-3）
（2）令x2-2x+1=0，解得方程的两根为x1=x2=1，则x2-2x+1=（x-1）2；
（3）令4x2+8x-1=0，解得方程的两根为 x1=-2+52，x2=-2-52，则4x2+8x-1=4（x- -2-52）（ x--2-52）=（ 2x+2-5）（ 2x+2+5）
参考以上解答下列问题：
在实数范围内因式分解：
①25x2+10x+1②4x2-8x+1
二次三项式2x2-3x+2在实数范围内能分解因式吗？如果能，请你分解出来；如果不能分解，请说明理由．
考点：实数范围内分解因式；因式分解-十字相乘法等．
专题：阅读型．
分析：根据范例的解答过程，先分别令各个二次三项式等于0，得到关于x的一元二次方程，再解出各一元二次方程的解，根据公式ax2+bx+c=（x-x1）（x-x2）分解即可．
解答：解：①令25x2+10x+1=0，解得方程的两根为x1=x2=- 15．则25x2+10x+1=（x+ 15）2；
②令4x2-8x+1=0，解得方程的两根为x1= 2+32，x2= 2-32．
则4x2-8x+1=（x- 2+32）（x- 2-32）；
③令2x2-3x+2=0，由于△=b2-4ac＜0，所以方程无实根，
所以二次三项式2x2-3x+2在实数范围内不能分解因式．
点评：本题考查十字相乘法分解因式，在实数范围内分解因式的步骤是：首先令二次三项式等于0，然后解一元二次方程，方程有解，则根据ax2+bx+c=（x-x1）（x-x2）公式分解，若方程无解，则原二次三项式不能分解因式．
24、已知关于x的方程x2-（k+2）x+2k=0．
（1）求证：无论k取任意实数值，方程总有实数根．
（2）若等腰三角形ABC的一边a=1，另两边长b、c恰是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
考点：根的判别式；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
专题：分类讨论．
分析：1、把一元二次方程根的判别式转化成完全平方式的形式，得出△≥0可知方程总有实数根．
2、根据等腰三角形的性质分情况讨论求出b，c的长，并根据三角形三边关系检验，综合后求出△ABC的周长．
解答：证明：（1）∵△=b2-4ac=（k+2）2-8k=（k-2）2≥0，
∴无论k取任意实数值，方程总有实数根．
解：（2）若b=c，则k=2
∴x2-4x+4=0
∴x1=x2=2
∴△ABC的周长为5
若b≠c，则方程有一根为1
∴k=1，此时另一根为2，1、1、2不能构成三角形
综上所述，所求△ABC的周长为5
点评：考查根的判别式，等腰三角形的性质及三角形三边关系．
23、阅读理解题：一次数学兴趣小组的活动课上，师生有下面一段对话，请你阅读完后再解答下面问题：
老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法：（x2-x）2-8（x2-x）+12=0．
学生甲：老师，先去括号，再合并同类项，行吗？
老师：这样，原方程可整理为x4-2x3-7x2+8x+12=0，次数变成了4次，用现有的知识无法解答．同学们再观察观察，看看这个方程有什么特点？
学生乙：我发现方程中x2-x是整体出现的，最好不要去括号！
老师：很好．如果我们把x2-x看成一个整体，用y来表示，那么原方程就变成y2-8y+12=0．
全体同学：咦，这不是我们学过的一元二次方程吗？
老师：大家真会观察和思考，太棒了！显然一元二次方程y2-8y+12=0的解是y1=6，y2=2，就有x2-x=6或x2-x=2．
学生丙：对啦，再解这两个方程，可得原方程的根x1=3，x2=-2，x3=2，x4=-1，嗬，有这么多根啊．
老师：同学们，通常我们把这种方法叫做换元法．在这里，使用它最大的妙处在于降低了原方程的次数，这是一种很重要的转化方法．
全体同学：OK！换元法真神奇！
现在，请你用换元法解下列分式方程 (xx-1)2-5(xx-1)-6=0．
考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法．
专题：阅读型．
分析：换元法即是整体思想的考查，解题的关键是找到这个整体，此题的整体是 xx-1，设 xx-1=y，换元后整理并求得y得值，再代入 xx-1=y中求x得值．
解答：解：设y= xx-1，
则原方程可变为y2-5y-6=0，
解得y1=6，y2=-1，
∴ xx-1=6， xx-1=-1，
解得x= 12或 15，
经检验，都是原方程的根．
∴原方程的解为x= 12或 15．
点评：用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
24、春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：
某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27 000元．请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？
考点：一元二次方程的应用．
专题：其他问题．
分析：首先根据共支付给春秋旅行社旅游费用27 000元，确定旅游的人数的范围，然后根据每人的旅游费用×人数=总费用，设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游．即可由对话框，超过25人的人数为（x-25）人，每人降低20元，共降低了20（x-25）元．实际每人收了[1000-20（x-25）]元，列出方程求解．
解答：解：设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游．
因为1000×25=25000＜27000，所以员工人数一定超过25人．
可得方程[1000-20（x-25）]x=27000．
整理得x2-75x+1350=0，
解得x1=45，x2=30．
当x1=45时，1000-20（x-25）=600＜700，故舍去x1；
当x2=30时，1000-20（x-25）=900＞700，符合题意．
答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游．
点评：此类题目贴近生活，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
