爱华网第4讲 基本初等函数
一．【课标要求】
1．指数函数
（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；
（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。
（3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；
（4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型
2．对数函数
（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；
（2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；
3．知道指数函数与对数函数互为反函数（a＞0，a≠1）。
4.幂函数
（1）了解幂函数的概念
（2）结合函数y=x, ,y=, y=,y=,y=的图象，了解它们的变化情况
二．【命题走向】
指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位。从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。
三．【要点精讲】
1．指数与对数运算
（1）根式的概念：
①定义：若一个数的次方等于，则这个数称的次方根。即若，则称的次方根，
1）当为奇数时，次方根记作；
2）当为偶数时，负数没有次方根，而正数有两个次方根且互为相反数，记作
②性质：1）；2）当为奇数时，；
3）当为偶数时，。
（2）．幂的有关概念
①规定：1）N*；2）；
n个
3）Q，4）、N* 且
②性质：1）、Q）；
2）、 Q）；
3） Q）。
（注）上述性质对r、R均适用。
（3）．对数的概念
①定义：如果的b次幂等于N，就是，那么数称以为底N的对数，记作其中称对数的底，N称真数
1）以10为底的对数称常用对数，记作；
2）以无理数为底的对数称自然对数，，记作；
②基本性质：
1）真数N为正数（负数和零无对数）；2）；
3）；4）对数恒等式：。
③运算性质：如果则
1）；
2）；
3）R）
④换底公式：
1）；2）。
2．指数函数与对数函数
（1）指数函数：
①定义：函数称指数函数，
1）函数的定义域为R；2）函数的值域为；
3）当时函数为减函数，当时函数为增函数。
②函数图像：
1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；
2）指数函数都以轴为渐近线（当时，图象向左无限接近轴，当时，图象向右无限接近轴）；
3）对于相同的，函数的图象关于轴对称
①，
②，
③
①，
②，
③，
③函数值的变化特征：
（2）对数函数：
①定义：函数称对数函数，
1）函数的定义域为；2）函数的值域为R；
3）当时函数为减函数，当时函数为增函数；
4）对数函数与指数函数互为反函数
②函数图像：
1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限；
2）对数函数都以轴为渐近线（当时，图象向上无限接近轴；当时，图象向下无限接近轴）；
4）对于相同的，函数的图象关于轴对称。
③函数值的变化特征：
①，
②，
③.
①，
②，
③.
（3）幂函数
1）掌握5个幂函数的图像特点
2）a>0时，幂函数在第一象限内恒为增函数，a<0时在第一象限恒为减函数
3）过定点（1，1）当幂函数为偶函数过（-1,1）,当幂函数为奇函数时过（-1，-1）
当a>0时过（0，0）
4）幂函数一定不经过第四象限
四．【典例解析】
题型1：指数运算
例1．（1）计算：；
（2）化简：。
解：（1）原式=
；
（2）原式=
。
点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。
例2．（1）已知，求的值
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴。
点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。
题型2：对数运算
（2）.(江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)幂函数的图象经过点，则满足＝27的x的值是 .
答案
例3．计算
（1）；（2）；
（3）
解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）分子=；
分母=；
原式=。
点评：这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧
例4．设、、为正数，且满足
（1）求证：；
（2）若，，求、、的值。
证明：（1）左边
；
解：（2）由得，
∴……………①
由得………… ……………②
由①②得……………………………………③
由①得，代入得，
∵， ∴………………………………④
由③、④解得，，从而。
点评：对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法则为主，将代数式化简到最见形式再来处理即可。
题型3：指数、对数方程
例5．(江西师大附中2009届高三数学上学期期中)
已知定义域为R的函数是奇函数.
（1）求a,b的值；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围.
解 （1）因为是R上的奇函数，所以
从而有 又由，解得
（2）解法一：由（1）知
由上式易知在R上为减函数，又因是奇函数，从而不等式
等价于
因是R上的减函数，由上式推得
即对一切从而
解法二：由（1）知
又由题设条件得
即
整理得，因底数2>1，故
上式对一切均成立，从而判别式
例6．（2008广东 理7）
设，若函数，有大于零的极值点，则（ B ）
A． B． C． D．
【解析】，若函数在上有大于零的极值点，即有正根。当有成立时,显然有,此时，由我们马上就能得到参数的范围为.
点评：上面两例是关于含指数式、对数式等式的形式，解题思路是转化为不含指数、对数因式的普通等式或方程的形式，再来求解。
题型4：指数函数的概念与性质
例7．设（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
解：C；，。
点评：利用指数函数、对数函数的概念，求解函数的值
例8．已知试求函数f(x)的单调区间。
解：令，则x=，t∈R。
所以即，（x∈R）。
因为f(－x)=f(x)，所以f(x)为偶函数，故只需讨论f(x)在[0，+∞）上的单调性。
任取，，且使，则
（1）当a>1时，由，有，，所以，即f(x)在[0，+∞]上单调递增。
（2）当0<a<1时，由，有，，所以，即f(x)在[0，+∞]上单调递增。
综合所述，[0，+∞]是f(x)的单调增区间，（－∞，0）是f(x)的单调区间。
点评：求解含指数式的函数的定义域、值域，甚至是证明函数的性质都需要借助指数函数的性质来处理。特别是分两种情况来处理。
题型5：指数函数的图像与应用
例9．若函数的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是（ ）
A．m≤－1 B．－1≤m<0 C．m≥1 D．0<m≤1
解：，
画图象可知－1≤m<0。
答案为B。
点评：本题考察了复杂形式的指数函数的图像特征，解题的出发点仍然是两种情况下函数的图像特征。
例10．设函数的取值范围。
解：由于是增函数，等价于 ①
1)当时，，①式恒成立；
2)当时，，①式化为，即；
3)当时，，①式无解；
综上的取值范围是。
点评：处理含有指数式的不等式问题，借助指数函数的性质将含有指数式的不等式转化为普通不等式问题（一元一次、一元二次不等式）来处理
题型6：对数函数的概念与性质
例11．（1）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2006湖北）设f(x)＝，则的定义域为（ ）
A． B．(－4,－1)(1，4)
C．(－2,－1)(1，2) D．(－4,－2)(2，4)
解：（1）D（2）B。
点评：求函数定义域就是使得解析是有意义的自变量的取值范围，在对数函数中只有真数大于零时才有意义。对于抽象函数的处理要注意对应法则的对应关系。
例12．（2009广东三校一模）设函数.
(1)求的单调区间;
(2)若当时,(其中)不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)试讨论关于的方程:在区间上的根的个数.
解 （1）函数的定义域为. 1分
由得; 2分
由得, 3分
则增区间为,减区间为. 4分
(2)令得,由(1)知在上递减,在上递增, 6分
由,且, 8分
时, 的最大值为,故时,不等式恒成立. 9分
(3)方程即.记,则
.由得;由得.
所以g(x)在[0,1]上递减，在[1，2]上递增.
而g(0)=1，g(1)=2-2ln2，g(2)=3-2ln3，∴g(0)＞g(2)＞g(1) 10分
所以，当a＞1时，方程无解；
当3-2ln3＜a≤1时，方程有一个解，
当2-2ln2＜a≤a≤3-2ln3时，方程有两个解；
当a=2-2ln2时，方程有一个解；
当a＜2-2ln2时，方程无解. 13分
字上所述，a时，方程无解；
或a=2-2ln2时，方程有唯一解；
时，方程有两个不等的解. 14分
例13．当a>1时，函数y=logax和y=(1－a)x的图象只可能是( )
解：当a>1时，函数y=logax的图象只能在A和C中选，
又a>1时，y=(1－a)x为减函数。
答案：B
点评：要正确识别函数图像，一是熟悉各种基本函数的图像，二是把握图像的性质，根据图像的性质去判断，如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性
例14．设A、B是函数y= log2x图象上两点, 其横坐标分别为a和a+4, 直线l: x=a+2与函数y= log2x图象交于点C, 与直线AB交于点D。
（1）求点D的坐标；
（2）当△ABC的面积大于1时, 求实数a的取值范围
解：（1）易知D为线段AB的中点, 因A(a, log2a ), B(a+4, log2(a+4))，
所以由中点公式得D(a+2, log2 )。
（2）S△ABC=S梯形AA′CC′+S梯形CC′B′B- S梯形AA′B′B=…= log2,
其中A′,B′,C′为A,B,C在x轴上的射影。
由S△ABC= log2>1,得0< a<2－2。
点评：解题过程中用到了对数函数性质，注意底数分类来处理，根据函数的性质来处理复杂问题。
题型8：指数函数、对数函数综合问题
例15．在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…，对每个自然数n点Pn位于函数y=2000()x(0<a<1)的图象上，且点Pn,点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以Pn为顶点的等腰三角形。
(1)求点Pn的纵坐标bn的表达式；
(2)若对于每个自然数n，以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；
(3)设Cn=lg(bn)(n∈N*),若a取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{Cn}前多少项的和最大？试说明理由
解：(1)由题意知：an=n+,∴bn=2000()。
(2)∵函数y=2000()x(0<a<10)递减，
∴对每个自然数n,有bn>bn+1>bn+2。
则以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn+1>bn，
即()2+()－1>0，
解得a<－5(1+)或a>5(－1)。
∴5(－1)<a<10。
(3)∵5(－1)<a<10，∴a=7
∴bn=2000()。数列{bn}是一个递减的正数数列，
对每个自然数n≥2,Bn=bnBn－1。
于是当bn≥1时，Bn<Bn－1，当bn<1时，Bn≤Bn－1，
因此数列{Bn}的最大项的项数n满足不等式bn≥1且bn+1<1，
由bn=2000()≥1得：n≤20。
∴n=20。
点评：本题题设从函数图像入手，体现数形结合的优越性，最终还是根据函数性质结合数列知识，以及三角形的面积解决了实际问题。
例16．已知函数为常数）
（1）求函数f(x)的定义域；
（2）若a=2，试根据单调性定义确定函数f(x)的单调性
（3）若函数y=f(x)是增函数，求a的取值范围。
解：（1）由
∵a＞0，x≥0
∴f(x)的定义域是。
（2）若a=2，则
设 ， 则
故f(x)为增函数。
（3）设
①
∵f(x)是增函数，
∴f(x1)＞f(x2)
即 ②
联立①、②知a＞1，
∴a∈(1，+∞)。
点评：该题属于纯粹的研究复合对函数性质的问题，我们抓住对数函数的特点，结合一般函数求定义域、单调性的解题思路，对“路”处理即可
题型9：课标创新题
例17．对于在区间上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对任意的，均有，则称f(x)与g(x)在上是接近的，否则称f(x)与g(x)在上是非接近的，现有两个函数与，给定区间。
（1）若与在给定区间上都有意义，求a的取值范围；
（2）讨论与在给定区间上是否是接近的。
解：（1）两个函数与在给定区间有意义，因为函数给定区间上单调递增，函数在给定区间上恒为正数，
故有意义当且仅当；
（2）构造函数，
对于函数来讲，
显然其在上单调递减，在上单调递增。
且在其定义域内一定是减函数
由于，得
所以原函数在区间内单调递减，只需保证
当时，与在区间上是接近的；
当时，与在区间上是非接近的
点评：该题属于信息给予的题目，考生首先理解“接近”与“非接近”的含义，再对含有对数式的函数的是否“接近”进行研究，转化成含有对数因式的不等式问题，解不等式即可。
例18．设，，且，求的最小值。
解：令，
∵，，∴。
由得，∴，
∴，∵，∴，即，∴，
∴，
∵，∴当时，。
点评：对数函数结合不等式知识处理最值问题，这是出题的一个亮点。同时考察了学生的变形能力。
例19.（2009陕西卷文）设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,则的值为
A. B. C. D.1
答案 B
解析 对,令得在点（1，1）处的切线的斜率,在点
（1，1）处的切线方程为,不妨设,则, 故选 B.
五．【思维总结】
1．（其中）是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同应化为同底；
2．要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验；
3．解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识；
4．指数、对数函数值的变化特点（上面知识结构表中的12个小点）是解决含指数、对数式的问题时使用频繁的关键知识，要达到滚瓜烂熟，运用自如的水平，在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析；
5．含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题的最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类；
6．在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现，如与其它函数（特别是二次函数）形成的复合函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要努力提高综合能力
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.ks5u.com
