爱华网哥哥和弟弟放学回家，妈妈刚烤好一个蛋糕，就拿出刀来，把蛋糕切成两块，一块给哥哥，一块给弟弟。哥哥嘀咕着，埋怨妈妈偏心，给弟弟那块比较大；弟弟也嘀咕着，埋怨妈妈偏心，给哥哥那块比较大。妈妈说，那就让你们自己来选吧！哥哥先选，弟弟马上抗议，哥哥肯定把比较大那一块先选走了。到底该怎么做，才能皆大欢喜？<?xml:namespace prefix = "o" ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />
妈妈想出了一个主意：先请哥哥把蛋糕切成两块，然后再让弟弟选。这一来，因为是哥哥负责把蛋糕分成两等分的，他会认为他拿到的肯定是整块蛋糕的1/2，因此不会有任何妒忌和埋怨；同时，因为弟弟有优先选择的机会，他也会认为自己拿到整个蛋糕的1/2 或以上，因此也不会有任何妒忌和埋怨。
从切蛋糕到世界和平
哥哥和弟弟想了一下，都觉得这个办法大家都能接受，这算是平分蛋糕的解答。但是，如果妈妈在蛋糕上面涂了奶油，有些地方是巧克力奶油，有些地方则是草莓奶油，哥哥比较喜欢巧克力奶油，弟弟比较喜欢草莓奶油，那又该怎么办？此外，如果除了哥哥和弟弟，还有小妹妹也要吃，那又该怎么办？
待会儿我会再回过头来讨论这些问题。在国家、社会、日常生活中，资源、财富、赋税、工作等的分配是政府、企业、家庭、个人经常都要面对的问题，政府如何把年度总预算分配给国防、教育和社会福利等项目？企业如何把公司所有的员工分派到研发、制造和营销等不同部门？大至国家之间如何分配某个小岛附近公海底下的天然资源、二次大战后盟军如何分别占据柏林？小至妈妈如何分配哥哥、弟弟和妹妹去做扫地、收拾房间和遛狗等家务事？要想得到公平、大家都能够接受的结果，往往相当复杂且困难。
因此，数学家建立了一个平分蛋糕的模型来描述和分析这些情景。我们要把一个蛋糕切成n块，分给n个人，每个人对每一块蛋糕有他自己主观判断的价值，说得精准一点，他对每一块蛋糕打一个分数，分数愈高，就表示他愈想分到这块蛋糕。
其中最明显的例子，就是一块蛋糕愈大分数就愈高，但是蛋糕的大小往往是主观的判断，更何况计分也可加上个人喜恶的因素，例如蛋糕上巧克力奶油有多少？草莓奶油又有多少？这些因素对分数的影响，也因人而异。不过站在数学分析的观点来说，这个分数应该符合两个合理的原则：
第一、一块大小为0的蛋糕的分数一定是0，换句话说，没有人要节食。
第二、把两块蛋糕合成一块，它的分数不会减少，换句话说，每个人都贪吃。
在这个模型的前提下，我们的问题是：怎样公平地把一个蛋糕分给n个人呢？
公平百百种，你选哪一种？
首先，我们要问「公平」是什么意思？「公平」的一个解释是「满足（satisfaction） 的公平」， 也可以叫做「比例（proportion）的公平」，那就是每个人都认为他得到他该得到的分配。譬如说把一个蛋糕分给n个人，只要每个人都认为他得到整个蛋糕的1/n，那就是「满足的公平」了。大家分吃一锅饭，只要每个人都认为他吃饱了；把一个总预算分给若干部门，只要每个部门都觉得有足够的款项来执行全年的任务，也都是满足的公平。说得精准一点，每个人用自己主观的判断，对自己得到的分配打一个分数，如果这个分数等于或者超过一个已定的分数，他就满足了，而且这分数不一定也不必要是大家一致的。
「公平」的另一个解释是「没有妒忌（envy-free） 的公平」，那就是每个人对别人得到的分配都没有妒忌之意，换句话说每个人按照自己的判断，不认为任何人得到的分配比他更好。「没有妒忌的公平」要求的条件比「满足的公平」高，「满足的公平」说：我吃得饱就好了；「没有妒忌的公平」说：我吃得饱，而且别人不能比我吃得更多或者更好。
说得精准一点，「没有妒忌的公平」是每个人用自己主观的判断，对所有人得到的分配打分数，别人得到的分数，不比他自己得到的分数高，才是公平。譬如说哥哥分到半块有巧克力奶油的蛋糕，弟弟分到半块有草莓奶油的蛋糕，如果哥哥比较喜欢巧克力奶油，弟弟倒无所谓，那就是「没有妒忌的公平」，但如果反过来，那就不是「没有妒忌的公平」了。
「公平」的另外一个解释是「安心的公平」，那就是每个人对别人得到的分配都心安理得，换句话说，每个人按照自己的判断，不认为别人得到的分配比他差。也就是说，每个人用自己主观的判断，别人得到的分配的分数，不比他自己得到的分配的分数低。
「公平」另外的一个解释是「一致的公平」，如果所有的人用自己主观的判断，替所有的人得到的分配打分数，而这个分数都相同一致的话，那就是一致的公平。譬如大家都认为每个人分配到的蛋糕大小都一样，或是大家都认为每个人分配到的工作，都同样要花四十个小时才能够完成，就是「一致的公平」。
让我强调，在解释「公平」这个观念时，一个重要的因素是：若每个人对每一个分配的分数有他自己主观的判断，要如何达到公平的目的，往往是相当复杂的事情。反过来，如果对每一个分配的分数，大家都有一个共同接受的、客观的、量化的判断，例如一块蛋糕以它的重量为分数、一份工作以它的工作时间为分数，「公平」的观念就比较容易了解，「公平」的目的也比较容易达成。
讲完这些架构上的观念，让我们回头具体地讨论怎样平分一个蛋糕。先让我重复上面讲过的，妈妈如何把一个蛋糕平分给哥哥和弟弟：她先让哥哥把蛋糕切成两块，再让弟弟从两块里选一块，这个分配法达到「满足的公平」的目的，因为哥哥认为他的确把蛋糕平分成两块，因此在他心目中，他拿到的确实是一半；另一方面，弟弟认为他在两块蛋糕中选了比较大的一块，因此拿到的会等于或者大于一半。
同时，这个分配法也达到「没有妒忌的公平」的目的，因为在哥哥的心目中，弟弟只拿到一半，不会比他拿到的更多；在弟弟的心目中，哥哥只拿到他不要的一块，不会比他拿到的多。至于这个分配法有没有达到「一致的公平」呢？那就不一定了，虽然毫无疑问地，哥哥认为他得到的是一半，可是弟弟可能认为他得到的是一半或者大于一半。
把这个问题延伸到把一块蛋糕分给哥哥、弟弟和妹妹，问题就比较复杂了，因为「满足的公平」并不保证「没有妒忌的公平」，在三个（或者更多的）兄弟姐妹的情形之下，即使每个人都认为他自己分配得到1/3，但是同时他也可能主观地认为可能有别人分配到1/3 以上。
满足的公平
让我们看看怎样把一个蛋糕分给三兄妹，以达到「满足的公平」。首先，有一个看似最明显和简单的方法是行不通的：让哥哥把蛋糕分成三块，让弟弟选，再让妹妹选，剩下来的给哥哥。在哥哥的心目中，三块蛋糕的大小是一样的，他满足；在弟弟的心目中，他先选了最大的一块，他也满足；但是在妹妹的心目中，弟弟可能拿了最大的一块，剩下来的两块都是小于1/3 的，所以她不会满足。
有一个可行的方法，容我告诉大家：首先，我们把一块等于1/3或者以上的蛋糕叫做大块，一块在1/3 以下的蛋糕叫做小块。首先，让哥哥把蛋糕分成三块，在他的心目中，每块都是大块。然后，让弟弟来评估，这有两个可能(1) 和(2)：
(1) 如果弟弟认为这三块里至少有两块是大块，他就说：「让妹妹先选吧！」妹妹先选，当然在她心目中，她选的那一块是大块；接下来弟弟选，因为在他心目中至少有两块大块，即使妹妹选了一块，剩下来还有一块；最后剩下来的一块给哥哥，反正他一直认为三块的大小都是1/3，所以就达到了「满足的公平」的目的。
(2) 但是如果弟弟认为这三块里，只有一块大块，那就是说有两块是小块，他还是说：「让妹妹先选吧！」这就会产生两个可能(2.1) 和(2.2)：
(2.1) 如果妹妹认为这三块里至少有两块大块，妹妹就说：「还是让弟弟先选吧！」这个时候，因为在弟弟心目中，三块之中有一块大块，两块小块，他当然选那一块大块；接下来妹妹选，因为在她心目中，有两块大块，即使弟弟选了一块大块，还剩下来一块大块；最后剩下来的一块给哥哥，反正他一直认为三块的大小都是1/3，所以就达到了「满足的公平」的目的。
(2.2) 如果妹妹也认为这三块里只有一块大块，那就是说有两块小块，既然弟弟认为三块中有两块小块，妹妹也认为三块中有两块小块，因此至少有一块弟弟和妹妹都公认是小块，那就把这个小块分给哥哥，因为他会无怨无尤地认为每一块的大小都是1/3。接下来，我们把剩下来的两块合起来，成为一块，在弟弟和妹妹的心目中合起来那一块是大于2/3的，因为哥哥已经拿走了他们心目中的小块，我们就用妈妈的老方法（妈妈应用的正是茶壶原理），让弟弟切，妹妹选，在他们两个人的心目中都各分到一块大小是2/3 的一半或者以上，也就达到「满足的公平」的目的了。
上述可以达到「满足的公平」目的的切法可以推广到n个人，不过在这里我就不讲了。
没有妒忌的公平
接下来，让我们看看若要把一个蛋糕分给三兄妹，且达到「没有妒忌的公平」的目的，该用什么方法。首先，哥哥把蛋糕分成他认为是三等分的三块，接下来，让弟弟比较这三块的大小，假如他也认为这三块的确是三等分，那就简单了，让妹妹先选，然后让弟弟选，再让哥哥拿剩下来的一块。因为妹妹是先选的，她不会妒忌哥哥或者弟弟，既然哥哥和弟弟都同意这三块是三等分的，那么不管妹妹怎么选，哥哥也不会妒忌，弟弟也不会妒忌，而且哥哥和弟弟彼此之间也不会妒忌，也就达到了「没有妒忌的公平」的目的。
但是如果弟弟在比较这三块的大小之后，他认为这三块的大小是不同的，他把它们排成最大、次大、最小三块，他把最大那一块切成两块，叫这两块做A和D，在弟弟的心目中，A的大小等于次大那一块叫做B，还有最小那一块叫做C，如图1-3 (a) 所示。让我们把D放在一旁，先分配A、B和C，我们让妹妹先选，当然她可以随便选，接下来让弟弟选，但是有一个条件，如果妹妹没有选A，弟弟一定要选A，剩下来的就留给哥哥。请注意，选A的一定是弟弟或者是妹妹。让我们只分析妹妹选了A的这个可能，至于弟弟选了A这个可能的分析是相似的。
妹妹选了A，我们就让弟弟来选，弟弟自然选了B。接下来，我们让弟弟把D分成三小块，如图1-3 (b) 所示。我们先让妹妹在那三小块里选，再让哥哥选，最后剩下来那一小块就留给弟弟。让我们总结一下：
1. 妹妹分到A和D的三小块里她最先选的一小块
2. 弟弟分到B和D的三小块里最后剩下来那一小块
3. 哥哥分到C和D的三小块里他在中间选那一小块
站在妹妹的立场，在A、B、C里她是最先选的，在D的三小块里，她也是最先选的，所以她不会有任何妒忌和埋怨。站在弟弟的立场，他分到B，站在他的立场B的大小和A一样，因为是他负责把原来最大的一块切成A和D的，B不会比C小，因为他是从B和C中间选了B的，弟弟也分到D的三小块里剩下来那一块，但是他是负责把D平分的，所以他也没有任何的妒忌和埋怨的地方。站在哥哥的立场，首先，他分到C，C是他首先把蛋糕分成三等分中的一块，所以在他的心目中C比A大，C也不小于B，接下来，哥哥也不会妒忌妹妹，因为哥哥认为C＝A＋D，现在妹妹只拿到A加上D的一小块，哥哥也不会妒忌弟弟，因为哥哥认为C＝B，而且D的三小块里，哥哥先选，弟弟后选，这也就达到了「没有妒忌的公平」的目的了。
达到「没有妒忌的公平」目的的切法，也已经推广到n个人，但是目前推广的切法中有一个缺点，我们在上面讲过的方法：若两个人，「没有妒忌的公平」的切法，只要切一刀；若三个人，「没有妒忌的公平」的切法，只要切五刀；可是在目前已知的推广分法，即使四个人，要切的刀数却是没有上限的，也因此还有许多研究的空间。
各得其所的公平
接下来，我要讲一个不同的情景：妈妈把蛋糕切成三段放在桌上，哥哥、弟弟、妹妹，同时伸手去拿他们最想要的那一段，而且每个人的选择完全凭自己的主观和灵感，不见得和大小有关，也许哥哥喜欢巧克力比较多的一段，弟弟喜欢有白色奶油那一段，妹妹喜欢蛋糕上有一朵花那一段，而且这些主观的衡量并不是固定的，妈妈换一种切法，三个人的选择可能又会按照不同的想法来判断，不一定和巧克力、奶油和花有关系，换句话说，三个人随心所欲，没有规则可以遵循。
很明显地，如果妈妈把蛋糕切成三段，而有两个小朋友都抢着要同一段，那么就会打起架来了。反过来，如果三个人的首选都各不相同的话，譬如说哥哥要第一段、弟弟要第三段、妹妹要第二段，那就天下太平，没有任何争执了，这可以叫做「各得其所的公平」。有人问说，妈妈真难做，到底「各得其所的公平」有可能达到吗？答案是「几乎」是可以的。
让我较为精准地描述一个切蛋糕的模型，有一块长方形的蛋糕自左到右总长度是1，妈妈拿着刀垂直的把蛋糕切成三段，由左到右。明显地，我们有很多不同的方法选择三段长度x1、x2、x3 的数值。在任何一个切法里，三兄妹可以各有他们自己首选的一段，我们的目的是寻找一个切法，让三兄妹的首选彼此没有冲突，也就是哥哥说我首选的是某一段，弟弟说我首选的是另外一段，妹妹说我的首选是不同的另外一段，当他们的首选没有冲突时，这就达到「各得其所的公平」了。
首先，假如妈妈尝试很多很多的切法，譬如说一千个不同的切法，把蛋糕切成三段，哥哥告诉妈妈在每一个切法里，他优先选择的一段，同样地，弟弟和妹妹也告诉妈妈在每一个切法里他们首选一段，那么请问：在这一千个的切法里，可不可能找到一个切法，让哥哥、弟弟和妹妹的首选都各不相同，答案是「差不多」可以的。
让我们先假设有三个切法，在这三个切法里，三兄妹的首选是不同的，有一个切法，哥哥的首选是第一段，有另外一个切法，弟弟的首选是第二段，又有另外一个切法，妹妹的首选是第三段，换句话说，他们的首选是没有冲突的。您说这有什么用，这是三个不同的切法！但是如果我同时告诉您，这三个切法都是很接近的，也就是说在这三个切法里，x1 的数值都很接近，x2 的数值都很接近，x3 的数值也很接近，那么我们就可以把这三个切法「马马虎虎」地合成一个切法，那就是一个「各得其所的公平」的切法了。在数学上严格地来说，我们从一千个不同的切法，增加到一万个、十万个不同的切法，那么这三个切法就会收敛成为一个切法了。
书籍简介__你没听过的逻辑课
书名：你没听过的逻辑课
作者：刘炯朗
台湾中研院士刘炯朗以亲切的语法，引领思考的阶梯，以深入浅出的方式，逐步破解各类日常迷思，从切蛋糕、排身高、电视猜奖游戏、魔术洗牌玄机、俊男美女的黄金比例到轮盘、赌马输赢的机率，乃至预测乐透中奖号码、运动赛事胜负输赢……，都能逐一破解，让逻辑和数学不再深奥，生活变得更有趣，是老少咸宜的科普读物。
你知道吗？生活离不开逻辑……
★ 蛋糕怎么切才能皆大欢喜？
★ 一天可以学会五套魔术吗？
★ 谁是MLB冠军队？
★ 林书豪被交易的机率有多高？
★ 怎样才能独得乐透彩？
★ 百万轿车就在门后面，我该怎么选？
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