爱华网2014高考数学“拿分题”训练：导数应用的题型与方法
一、专题综述
导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面:
1．导数的常规问题：
（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于次多项式的导数问题属于较难类型。
2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。
3．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。[来源:学科网]
二、知识整合
1．导数概念的理解．
2．利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值．
复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。课本中先通过实例，引出复合函数的求导法则，接下来对法则进行了证明。
3．要能正确求导，必须做到以下两点：
（1）熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则。
（2）对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。
4．求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行：
(1）适当选定中间变量，正确分解复合关系；（2）分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；（3）把中间变量代回原自变量（一般是x）的函数。
也就是说，首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y=f(μ)，μ=f(x)；然后将已知函数对中间变量求导，中间变量对自变量求导；最后求，并将中间变量代回为自变量的函数。整个过程可简记为分解——求导——回代。熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。
三、例题分析
例1． 在处可导，则
思路： 在处可导，必连续 ∴
∴
例2．已知f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求下列极限：
（1）； （2）
分析：在导数定义中，增量△x的形式是多种多样，但不论△x选择哪种形式，△y也必须选择相对应的形式。利用函数f(x)在处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。
解：（1）
（2）
说明：只有深刻理解概念的本质，才能灵活应用概念解题。解决这类问题的关键是等价变形，使极限式转化为导数定义的结构形式。
例3．观察，，，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。
解：若为偶函数 令
∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数
另证：
∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数
例4．（1）求曲线在点（1，1）处的切线方程；
（2）运动曲线方程为，求t=3时的速度。
分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在处的导数就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数。
解：（1），
，即曲线在点（1，1）处的切线斜率k=0
因此曲线在（1，1）处的切线方程为y=1
（2）
。
例5． 求下列函数单调区间
（1） （2）
（3） （4）
解：（1）时
∴ ，
（2） ∴ ，
（3）
∴
∴ ，，
（4） 定义域为
例6．求证下列不等式[来源:学科网ZXXK]
（1）
（2）
（3）
证：（1）
∴ 为上 ∴ 恒成立
∴
∴ 在上 ∴ 恒成立
（2）原式 令
∴ ∴
∴ [来源:学#科#网Z#X#X#K]
（3）令
∴ [来源:学#科#网Z#X#X#K]
∴
例7．利用导数求和：
（1）；
（2）。
分析：这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度，由求导公式，可联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更加简捷。
解：（1）当x=1时，
；
当x≠1时，
∵，
两边都是关于x的函数，求导得
即
（2）∵，
两边都是关于x的函数，求导得。
令x=1得
，
即。
例8．设，求函数的单调区间.
分析：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.
解：.
当时 .
（i）当时，对所有，有.
即，此时在内单调递增.
（ii）当时，对，有，
即，此时在（0，1）内单调递增，又知函数在x=1处连续，因此，
函数在（0，+）内单调递增
（iii）当时，令，即.
解得.[来源:学_科_网Z_X_X_K]
因此，函数在区间内单调递增，在区间
内也单调递增.
令，解得.
因此，函数在区间内单调递减.
例9．已知抛物线与直线y=x+2相交于A、B两点，过A、B两点的切线分别为和。
（1）求A、B两点的坐标； （2）求直线与的夹角。
分析：理解导数的几何意义是解决本例的关键。
解 （1）由方程组
解得 A(-2，0)，B(3，5)
（2）由y′=2x，则，。设两直线的夹角为θ，根据两直线的夹角公式，
所以
说明：本例中直线与抛物线的交点处的切线，就是该点处抛物线的切线。注意两条直线的夹角公式有绝对值符号。
例10．（2001年天津卷）设，是上的偶函数。
（I）求的值； （II）证明在上是增函数。
解：（I）依题意，对一切有，即，
∴对一切成立，
由此得到，， 又∵，∴。
（II）证明：由，得，
当时，有，此时。∴在上是增函数。
四、04年高考导数应用题型集锦
1．（全国卷10）函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数（ ）
A () B (π,2π) C () D (2π,3π)
2．（全国卷22）（本小题满分14分）已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,
(i)求函数f(x)的最大值；(ii)设0)<(b-a)ln2.
3.(天津卷9)函数)为增函数的区间是
(A) (B) (C) (D)
4.（天津卷20）（本小题满分12分） 已知函数在处取得极值。
(I)讨论和是函数的极大值还是极小值；
(II)过点作曲线的切线，求此切线方程。
（江苏卷10）函数在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 ( )
(A)1，-1 (B)1，-17 (C)3，-17 (D)9，-19
（浙江卷11）设f'(x)是函数f(x)的导函数，y=f'(x)的图象
如右图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是
(A) (B) (C) (D)
（浙江卷20）设曲线y=e-x(x≥0)在点M(t,e-t}处的切线l与x轴、y轴围成的三角形面积为S(t).
(1)求切线l的方程；(2)求S(t)的最大值。
2014高考数学“拿分题”训练：分类讨论思想在解题中的应用
一、知识整合
1.分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。
2.所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。
3.分类原则：分类对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论。
4.分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论。
5.含参数问题的分类讨论是常见题型。
6.注意简化或避免分类讨论。
二、例题分析
例1.一条直线过点（5，2），且在x轴，y轴上截距相等，则这直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
分析：设该直线在x轴，y轴上的截距均为a,
当a=0时，直线过原点，此时直线方程为；[来源:学科网]
当时，设直线方程为，方程为。
例2．
分析：
因此，只要根据已知条件，求出cosA，sinB即可得cosC的值。但是由sinA求cosA时，是一解还是两解？这一点需经过讨论才能确定，故解本题时要分类讨论。对角A进行分类。
解：
这与三角形的内角和为180°相矛盾。
例3.已知圆x2+y2=4，求经过点P（2，4），且与圆相切的直线方程。
分析：容易想到设出直线的点斜式方程y-4=k(x-2)再利用直线与圆相切的充要条件：“圆心到切线的距离等于圆的半径”，待定斜率k，从而得到所求直线方程，但要注意到：过点P的直线中，有斜率不存在的情形，这种情形的直线是否也满足题意呢？因此本题对过点P的直线分两种情形：（1）斜率存在时，…（2）斜率不存在…
解（略）：所求直线方程为3x-4y+10=0或x=2
例4.
分析：解对数不等式时，需要利用对数函数的单调性，把不等式转化为不含对数符号的不等式。而对数函数的单调性因底数a的取值不同而不同，故需对a进行分类讨论。
解：
例5.
分析：解无理不等式，需要将两边平方后去根号，以化为有理不等式，而根据不等式的性质可知，只有在不等式两边同时为正时，才不改变不等号方向，因此应根据运算需求分类讨论，对x分类。
解：
例6.
分析：这是一个含参数a的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数a分类：（1）a≠0（2）a=0，对于（2），不等式易解；对于（1），又需再次分类：a>0或a<<Ahref="http://s7.sinaimg.cn/middle/001HPFVTzy6Ft5FpTzo56&690">0，因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在两根之外，还是在两根之间。而确定这一点之后，又会遇到1与谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论。故而解题时，需要作三级分类。
解：
综上所述，得原不等式的解集为
；；
；；
。
例7.已知等比数列的前n项之和为，前n+1项之和为，公比q>0，令。
分析：对于等比数列的前n项和Sn的计算，需根据q是否为1分为两种情形：
故还需对q再次分类讨论。
解：
例8.
分析：
解：（1）当k=4时，方程变为4x2=0，即x=0，表示直线；
（2）当k=8时，方程变为4y2=0，即y=0，表示直线；
（i）当k<4时，方程表示双曲线；（ii）当4
（iii）当k=6时，方程表示圆；（iv）当6
（v）当k>8时，方程表示双曲线。
例9. 某车间有10名工人，其中4人仅会车工，3人仅会钳工，另外三人车工钳工都会，现需选出6人完成一件工作，需要车工，钳工各3人，问有多少种选派方案？
分析：如果先考虑钳工，因有6人会钳工，故有C63种选法，但此时不清楚选出的钳工中有几个是车钳工都会的，因此也不清楚余下的七人中有多少人会车工，因此在选车工时，就无法确定是从7人中选，还是从六人、五人或四人中选。同样，如果先考虑车工也会遇到同样的问题。因此需对全能工人进行分类：
（1）选出的6人中不含全能工人；（2）选出的6人中含有一名全能工人；（3）选出的6人中含2名全能工人；（4）选出的6人中含有3名全能工人。
解：
三、总结提炼
分类讨论是一种重要的数学思想方法，是一种数学解题策略，对于何时需要分类讨论，则要视具体问题而定，并无死的规定。但可以在解题时不断地总结经验。
如果对于某个研究对象，若不对其分类就不能说清楚，则应分类讨论，另外，数学中的一些结论，公式、方法对于一般情形是正确的，但对某些特殊情形或说较为隐蔽的“个别”情况未必成立。这也是造成分类讨论的原因，因此在解题时，应注意挖掘这些个别情形进行分类讨论。常见的“个别”情形略举以下几例：
（1）“方程有实数解”转化为时忽略了了个别情形：当a=0时，方程有解不能转化为△≥0；
（2）等比数列的前项和公式中有个别情形：时，公式不再成立，而是Sn=na1。
设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，但有个别情形：当直线与x轴垂直时，直线无斜率，应另行考虑。
(4)若直线在两轴上的截距相等，常常设直线方程为，但有个别情形：a=0时，再不能如此设，应另行考虑。
四、强化练习：见优化设计。
[来源:Z.xx.k.Com]
【模拟试题】
一. 选择题：
1. 若的大小关系为（ ）
A. B.
C. D. ；
2. 若，且，则实数中的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
3. 设A=（ ）
A. 1 B. C. D.
4. 设的值为（ ）
A. 1 B. 0 C. 7 D. 0或7
5. 一条直线过点（5，2），且在x轴，y轴上截距相等，则这直线方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
6. 若（ ）
A. 1 B. C. D. 不能确定
7. 已知圆锥的母线为l，轴截面顶角为，则过此圆锥的顶点的截面面积的最大值为（ ）
A. B.
C. D. 以上均不对
8. 函数的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二. 填空题
9. 若圆柱的侧面展开图是边长为4和2的矩形，则圆柱的体积是______________。
10. 若，则a的取值范围为________________。
11. 与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____________。
12. 在50件产品中有4件是次品，从中任抽取5件，至少有3件次品的抽法共有______________种（用数字作答）
13. 不等式的解集为_____________。
三. 解答题：
14. 已知椭圆的中心在原点，集点在坐标轴上，焦距为，另一双曲线与此椭圆有公共焦点，且其实轴比椭圆的长轴小8，两曲线的离心率之比为3：7，求此椭圆、双曲线的方程。
15. 设a>0且，试求使方程有解的k的取值范围。
【试题答案】
一. 选择题
1. C 2. D 3. D 4. D 5. C 6. A 7. D 8. B
提示：1. 欲比较p、q的大小，只需先比较的大小，再利用对数函数的单调性。而决定的大小的a值的分界点为使
的a值：a=1，
当a>1时，此时
当即。
可见，不论a>1还是0q。
2. 若，即
若
可见当都有，故选（D）
3. 若
若，则，
4. 由是1的7次方根，可得显然，1是1的7次方根，故可能；若，则
故选（D）
5. 设该直线在x轴，y轴上的截距均为a,
当a=0时，直线过原点，此时直线方程为；
当时，设直线方程为，方程为
6. 由
于是总有，故选（A）
7. 当时，最大截面就是轴截面，其面积为；
当时，最大截面是两母线夹角为的截面，其面积为
可见，最大截面积为，故选（D）
8. 当时，满足题意
综上可知，
故选（B）
二. 填空题
9.
（提示：若长为4的边作为圆柱底面圆周的展开图，，则；若长为2的边作为圆柱底面圆周的展开图，则）
10. [来源:学_科_网]
（提示：对a分：两种情况讨论）
11.
（提示：分截距相等均不为0与截距相等均为0两种情形）
12. 4186种
（提示：对抽取5件产品中的次品分类讨论：（1）抽取的5件产品中恰好有3件次品；（2）抽取的5件产品中恰好有4件次品，于是列式如下：=4140+46
=4186）
13. 若，则解集为
若，则解集为
（提示：设
解之得
对a分类：时，
）
三. 解答题
14. 解：（1）若椭圆与双曲线的焦点在x轴上，可设它们方程分别为
，依题意[来源:学|科|网]
（2）若焦点在y轴上，则可设椭圆方程为
双曲线方程为，依题意有
15. 解：原方程可化为
令
则对原方程的解的研究，可转化为对函数图象的交点的研究
下图画出了的图象，由图象可看出
（1）当直线时，与双曲线无交点，此时即当时，原方程无解；
（2）当直线图象与双曲线渐近线重合，显然直线与双曲线无交点，即当k=0时，原方程无解；
（3）当直线的纵截距满足，即
时，直线与双曲线总有交点，原方程有解。
综上所述，当
