爱华网1、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，且AE=8cm，AD=24cm，CD=10cm，动点P从点A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动，动点Q从C点开始沿CB边以2cm/s的速度运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？
2、如图所示，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，DF∥AB交BC于F点，AE∥BD交FD的延长线于E点．
（1）请指出DC与FE的关系，并说明理由．
（2）你能确定CE与CF的位置关系吗？理由是什么？
3、如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD；AB=9，CD=3，AD=BC=5，DE⊥AB于点E，动点M从点A出发沿线段AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动；动点N同时从点B出发沿线段BC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动、设运动的时间为t秒（）．
（1）DE的长为_________；
（2）当MN∥AD时，求t的值；
（3）试探究：t为何值时，△MNB为等腰三角形．
4、如图①，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=9，∠C=60°．
（1）求AD的长；
（2）若动点P从点C出发沿CD方向向终点D运动（如图②），在P点运动的过程中，△ABP的面积改变了吗？若改变，请说明理由；若没有改变，那么△ABP的面积为_________；
（3）在（2）的条件下，过B作BH⊥AP于H（如图③），若，则AP=_________；
（4）在（2）的条件下，若动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，过点Q作QM∥CD交BC于M（如图④），探究：四边形PDQM可能为菱形吗？若可能，请求出BM的长；若不可能，请说明理由．
5、等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点O在梯形ABCD中，连接AO、BO、CO、DO，且BO=CO，如图所示，
（1）求证：AO=DO；
（2）其余条件都不变，只是点O在梯形外，结论还成立吗？请补充完图形，并说明理由．
答案与评分标准
一、解答题（共5小题）
1、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，且AE=8cm，AD=24cm，CD=10cm，动点P从点A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动，动点Q从C点开始沿CB边以2cm/s的速度运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？
考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理。
专题：动点型。
分析：作辅助线，作PF⊥BC于F，DG⊥BC于G，由四边形PQCD为梯形，可证△PQF≌△DGC，QF=CG，由FG=24﹣t，CQ=2t，可将CG表示出来，在Rt△CDG中，运用勾股定理可将CG的值求出，从而可求出时间t．
解答：
解：作PF⊥BC于F，DG⊥BC于G，如图所示，
∵四边形PQCD为等腰梯形，
∴PQ=DC，∠PQF=∠DCG，
∵∠PFQ=∠DGC=90°
∴△PQF≌△DGC，
∴QF=CG，
FG=PD=24﹣t，CQ=2t，CG==t﹣12，
在RT△CDG中，CG= ==6
∴﹣12=6，
∴t=12，
当t=12秒时，四边形PQCD为等腰梯形．
点评：本题主要考查等腰梯形的性质的应用．
2、如图所示，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，DF∥AB交BC于F点，AE∥BD交FD的延长线于E点．
（1）请指出DC与FE的关系，并说明理由．
（2）你能确定CE与CF的位置关系吗？理由是什么？
考点：等腰梯形的性质。
分析：（1）由已知可得四边形ABFD是平行四边形，四边形ABDE是平行四边形，从而得到AB=DE=DF=FE．
（2）根据角之间的关系我们可以得到∠ECF=90o，即CE⊥CF．
解答：解：
（1）DC=FE，理由：AD∥BC，DF∥AB
∴四边形ABFD是平行四边形
∴AB=DF
由AE∥BD，AB∥DE
∴四边形ABDE是平行四边形
∴AB=DE
∴AB=DE=DF=FE（6分）
（2）CE⊥CF，理由：由（1）得DC=DE∴∠DCE=∠DEC
由DC=DF得∠DFC=∠DCF
又∵∠DEC+∠DCE+∠DFC+∠DCF=180o
∴2（∠DCF+∠DCE）=180o
∴∠DCF+∠DCE=90o
∴∠ECF=90o即CE⊥CF．（6分）
点评：此题主要考查了平行四边形的判定及等腰梯形的性质，做题时需对已知进行灵活运用．
3、如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD；AB=9，CD=3，AD=BC=5，DE⊥AB于点E，动点M从点A出发沿线段AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动；动点N同时从点B出发沿线段BC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动、设运动的时间为t秒（）．
（1）DE的长为4；
（2）当MN∥AD时，求t的值；
（3）试探究：t为何值时，△MNB为等腰三角形．
考点：等腰梯形的性质；等腰三角形的判定。
专题：动点型。
分析：（1）由等腰梯形可以得出AE的长度为AB减去CD的一半，根据勾股定理可以得出DE的长度．
（2）连接EC，可以得出AD∥CE，即CE∥MN，得出△BMN∽△BEC，根据对应线段的比例关系可以得出答案．
（3）要使△MNB为等腰三角形应分三种情况讨论：①当NM=NB时、②当BM=BN时、③当MN=MB时三种情况下t的值即可．
解答：解：（1）∵四边形ABCD是等腰梯形，DE⊥AB于点E，AB∥CD，
∴AE=（AB﹣CD）=3，
在Rt△AED中，由勾股定理可得：
∴DE===4，
（2）由（1）可得AE=3=CD，连接CE，如右图所示：
∵AE∥DC且AE=DC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AD=CE且AD∥CE
又∵MN∥AD，
∴MN∥CE
∴△BMN∽△BEC，
∴=，
t秒后，BM=AB﹣2t=9﹣2t，BN=t，BE=6，BC=5
即：=，t=．
所以，t的值为秒．
（3）在△MNB中，BM=AB﹣2t=9﹣2t，BN=t，
①当NM=NB时，MN∥CE，
此时，由（1）知t的值为秒；
②当BM=BN时，9﹣2t=t，t=3，
此时，t的值为3秒．
③当MN=MB时，过点M作MH⊥BC于H，过点C作CG⊥AB于G，如右图所示：
∵∠B=∠B，∠MHB=∠CGB
∴△BMH∽△BCG
∴=，即：=，t=，
所以，此时t的值为：．
所以，当t=秒，t=3秒，t=秒时，△MNB为等腰三角形．
点评：本题主要考查了等腰梯形的性质，注意分类讨论的运用，用到的知识点有平行四边形的性质、全等三角形的性质和判定及平行线的性质等．
4、如图①，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=9，∠C=60°．
（1）求AD的长；
（2）若动点P从点C出发沿CD方向向终点D运动（如图②），在P点运动的过程中，△ABP的面积改变了吗？若改变，请说明理由；若没有改变，那么△ABP的面积为5；
（3）在（2）的条件下，过B作BH⊥AP于H（如图③），若，则AP=；
（4）在（2）的条件下，若动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，过点Q作QM∥CD交BC于M（如图④），探究：四边形PDQM可能为菱形吗？若可能，请求出BM的长；若不可能，请说明理由．
考点：等腰梯形的性质。
专题：动点型；探究型。
分析：（1）过点A作AE∥BC，可以得出ABCE是平行四边形，即得出AE=BC，继而得出△AED是正三角形，有AB=4，CD=9，可以得出答案．
（2）过点A作AE⊥CD于点E，作图可以得出∠2=30°，根据三角函数的性质以及勾股定理可以分别求出ED和AE的数值，有AB的值，根据面积公式求解即可．
（3）△ABP的面积有两种表示方法，根据（2）中求得的面积，又知道BH的长度，即可得出AP的值．
（4）作出图形，由MQ∥PD，得出当MQ=PD时，四边形PDQM是平行四边形，当QD=PD时，四边形PDQM是菱形，进而得出∠1=∠C=60°，即△CMP和△DPQ均为正三角形，可以求得CM=CP=4.5，过点B作BE∥AD交CD于点E，则四边形ABED是平行四边形，得出△BCE是正三角形，进而得出当MQ=PD=QD时，四边形PDQM是菱形，此时BM的长为0.5．
解答：解：（1）过点A作AE∥BC交CD于点E，则四边形ABCE是平行四边形，
∴AE=BC，
∵等腰梯形ABCD中，AD=BC，
∴AE=AD，
∵∠1=∠C=60°，
∴△AED是正三角形，
∴AD=DE，
∵CE=AB=4，CD=9，
∴ED=DC﹣DE=5，
∴AD=5．
（2）△ABP的面积不变，理由：过点A作AE⊥CD于点E，
由（1）得正△ADE中∠D=60°，
∴∠2=90°﹣∠D=30°，
∴，
∴
∴
故△ABP的面积为
（3）由（2）得，而BH⊥AP，
∴
∵，
∴
（4）当MQ=PD=QD时，四边形PDQM是菱形，此时BM的长为0.5．
理由：∵MQ∥PD，
∴当MQ=PD时，四边形PDQM是平行四边形，
∴当QD=PD时，四边形PDQM是菱形，
∴MP∥
=QD，
∴∠1=∠D．
∵等腰梯形中，∠D=∠C=60°，
∴∠1=∠C=60°，
∴△CMP和△DPQ均为正三角形，且边长相等．
∴，
∴CM=CP=4.5．
过点B作BE∥AD交CD于点E，则四边形ABED是平行四边形，
∴BE=AD．
∵BC=AD，
∴BC=BE，
∴△BCE是正三角形，
∴BC=CE，
∵ED=AB=4，CD=9，
∴BC=CE=CD﹣AB=5，
∴BM=BC﹣CM=0.5．
点评：本题考查了等腰梯形的性质，要能够清楚地弄懂题意，合理的作出辅助线是做题的关键．
5、等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点O在梯形ABCD中，连接AO、BO、CO、DO，且BO=CO，如图所示，
（1）求证：AO=DO；
（2）其余条件都不变，只是点O在梯形外，结论还成立吗？请补充完图形，并说明理由．
考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质。
专题：证明题。
分析：（1）如图，梯形ABCD是等腰梯形，则AB=CD，∠ABC=∠DCB，又OB=OC，所以∠OBC=∠OCB，易证△ABO≌△DCO，即可证得；
（2）由（1）得AB=CD，∠ABC=∠DCB，又OB=OC，所以∠OBC=∠OCB，同理易证△ABO≌△DCO，即可证得；
解答：（1）证明：∵在等腰梯形ABCD中，AB=DC，
∴∠ABC=∠DCB，
又∵BO=CO，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ABO=∠DCO，
∴△ABO≌△DCO（SAS），
∴AO=OD；
（2）成立；理由如下：
证明：∵在等腰梯形ABCD中，AB=DC，
∴∠ABC=∠DCB，
又∵BO=CO，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ABO=∠DCO，
∴△ABO≌△DCO（SAS），
∴AO=OD．
点评：本题主要考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是证明边或角相等的常用方法，证明全等时，注意选择恰当的判定条件．
