爱华网错误！未找到引用源。第二章 导数与微
分
1
课后习题全解
习题2-1
★ 1. 用定义求函数
y?x3在x?1处的导数.
知识点：函数在某点处导数的定义
思路：按照三个步骤：(1)求增量；（2）算比值；（3）求极限 解： ?y ?(1??x)?1?3?x?3(?x)?(?x)
3
3
2
3
?y
?3?3?x?(?x)2
?x
?y
y?|x?1?lim?lim(3?3?x?(?x)2)?3
?x?0?x?x?0
★ 2. 已知物体的运动规律s
?t2(m),求该物体在t?2(s)时的速度.
知识点：导数的定义
思路： 根据导数的定义，按照三个步骤求导
s(2??t)?s(2)(2??t)2?22?t2?4?t
解: v|t?2?lim?lim?lim?4
?t?0?t?0?t?0?t?t?t
3. 设
f?(x0)存在，试利用导数的定义求下列极限：
知识点：导数的定义
f(x0?h)?f(x0)
?f?(x0)求极限
h?0h
f(x0??x)?f(x0)
★(1)lim
?x?0?x
f(x0??x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)
解：lim＝－lim＝－f?(x0)
?x?0?x?0?x－?xf(x0?h)?f(x0?h)
★(2)lim
h?0h
f(x0?h)?f(x0?h)f(x0?h)?f(x0)?f(x0)?f(x0?h)
解：lim ?lim
h?0h?0hh
f(x0?h)?f(x0)f(x0?h)?f(x0)?lim?lim?f?(x0)?f?(x0)?2f?(x0) h?0 h?0h?h
思路：利用导数的定义式lim
★★ (3)
解：
f(x0??x)?f(x0?2?x)
?x?02?x
f(x0??x)?f(x0?2?x)f(x0??x)?f(x0)?f(x0)?f(x0?2?x)
lim＝lim
?x?0?x?02?x2?xlim
2
f(x0??x)?f(x0)f(x0?2?x)?f(x0)113
＝lim?lim＝f?(x0)+f?(x0)＝f?(x0)
?x?02?x?0?x?2?x22
f(x)
★★ 4.设f(x)在x?2处连续，且lim?2，求f?(2).
x?2x?2
知识点:导数和连续的定义
思路: 关键求出f(2),再利用导数的定义 解: ?f(x)在x?2处连续
?f(2)?limf(x)
x?2
又limf(x)?lim(x?2)?
x?2
x?2
f(x)f(x)f(x)
?lim(x?2)?lim?0?lim?0
x?2x?2x?2x?2x?2x?2
?f(2)?0?f?(2)?lim
x?2
f(x)?f(2)f(x)
?lim?2x?2x?2x?2
y?x2?x?2,求过点(1,2)的切线方程与法线方程.
★ 5.给定抛物线
知识点：导数的几何意义
思路：利用导数的几何意义得切线的斜率
1?1?1 解:y??2x?1 ?切线的斜率k?y?|x?1?2?
?切线的方程为y?2?1(x?1),即y?x?1
法线方程为y?2?(?1)(x?1),即y??x?3
★ 6.求曲线
y?ex在点(0，1)处的切线方程和法线方程.
知识点：导数的几何意义
思路：利用导数的几何意义得切线的斜率 解: y??e ?切线的斜率k?y?|x?0?e?1
x
(x?0),即y?x?1 ?切线的方程为y?1?1?
法线方程为y?1??(x?0),即y??x?1
11
★ 7.函数
?x2?1,0?x?1f(x)??在点x?1处是否可导?为什么?
3x?1,1?x?
知识点：函数在某点可导的充要条件
思路：利用导数的定义求左右导数，然后利用函数在某点可导的充要条件判别
3
解：f??(1)?lim?
x?1
f(x)?f(1)3x?1?2
?lim?3 x?1?x?1x?1
f(x)?f(1)x2?1?2
f??(1)?lim?lim?2
x?1?x?1?x?1x?1?f??(1 ?f??(1) )
?f(x)在x?1处不可导.
★ 8.用导数的定义求
x?0?x,
f(x)??在x?0处的导数.
ln(1?x),x?0?
知识点：函数在某点可导的充要条件
思路：利用导数的定义求左右导数，然后利用函数在某点可导的充要条件 解: f??(0)?lim?
f(x)?f(0)ln(1?x)?0
?lim?1
x?0x?0?x?0x?0
f(x)?f(0)x?0
f??(0)?lim?lim?1
?
x?0?x?0x?0x?0
(?0)
??f??(0)?f??(0) ?f?(0)?f??(0?)?f
★★ 9.设
?sinx,x?0f(x)??,求f?(x).
x?0?x,
知识点：分段函数的导数
思路：分段函数在每一段内可以直接求导，但是在分段点处要利用导数的定义求导 解：当x?0时，f?(x)?(sinx)??cosx
当x当x
?0时，f?(x)?x??1 ?0时，f??(0)?lim?
f(x)?f(0)x
?lim?1 ?
x?0x?0x?0x
f(x)?f(0)sinx
f_?(0)?lim?lim?1 ?
x?0?x?0x?0x
?f?(0)?1
?cosx,x?0 ??f(x)??
x?0?1,
1?2
?xsin,x?0
★★ 10.试讨论函数y??在x?0处的连续性与可导性. x
?x?0?0,
知识点：函数在某点连续与可导的定义
思路：利用函数在某点连续与可导的定义判断
4
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