数学类好中的期刊 【15天学好数学15】其他八类问题

类型一 归一问题

  【含义】在解题时,先求出一份是多少(即单一量),然后以单一量为标准,求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。

  【数量关系】 总量÷份数=1份数量

  1份数量×所占份数=所求几份的数量

  另一总量÷(总量÷份数)=所求份数

  【解题思路和方法】先求出单一量,以单一量为标准,求出所要求的数量。

  例1.买5支铅笔要0.6元钱,买同样的铅笔16支,需要多少钱?

  解 (1)买1支铅笔多少钱? 0.6÷5=0.12(元)

  (2)买16支铅笔需要多少钱? 0.12×16=1.92(元)

  列成综合算式 0.6÷5×16=0.12×16=1.92(元)

  答:需要1.92元。

  例2.3台拖拉机3天耕地90公顷,照这样计算,5台拖拉机6 天耕地多少公顷?

  解 (1)1台拖拉机1天耕地多少公顷? 90÷3÷3=10(公顷)

  (2)5台拖拉机6天耕地多少公顷? 10×5×6=300(公顷)

  列成综合算式 90÷3÷3×5×6=10×30=300(公顷)

  答:5台拖拉机6 天耕地300公顷。

  例3.5辆汽车4次可以运送100吨钢材,如用同样的7辆汽车运送105吨钢材,需要运几次?

  解 (1)1辆汽车1次能运多少吨钢材? 100÷5÷4=5(吨)

  (2)7辆汽车1次能运多少吨钢材? 5×7=35(吨)

  (3)105吨钢材7辆汽车需要运几次? 105÷35=3(次)

  列成综合算式 105÷(100÷5÷4×7)=3(次)

  答:需要运3次。

  类型二 归总问题

  【含义】解题时,常常先找出“总数量”,然后再根据其它条件算出所求的问题,叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时(几天)的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。

  【数量关系】1份数量×份数=总量 总量÷1份数量=份数 总量÷另一份数=另一每份数量

  【解题思路和方法】先求出总数量,再根据题意得出所求的数量。

  例1.服装厂原来做一套衣服用布3.2米,改进裁剪方法后,每套衣服用布2.8米。原来做791套衣服的布,现在可以做多少套?

  解 (1)这批布总共有多少米? 3.2×791=2531.2(米)

  (2)现在可以做多少套? 2531.2÷2.8=904(套)

  列成综合算式 3.2×791÷2.8=904(套)

  答:现在可以做904套。
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  例2.小华每天读24页书,12天读完了《红岩》一书。小明每天读36页书,几天可以读完《红岩》?

  解 (1)《红岩》这本书总共多少页? 24×12=288(页)

  (2)小明几天可以读完《红岩》? 288÷36=8(天)

  列成综合算式 24×12÷36=8(天)

  答:小明8天可以读完《红岩》。

  例3.食堂运来一批蔬菜,原计划每天吃50千克,30天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见,每天比原计划多吃10千克,这批蔬菜可以吃多少天?

  解 (1)这批蔬菜共有多少千克? 50×30=1500(千克)

  (2)这批蔬菜可以吃多少天? 1500÷(50+10)=25(天)

  列成综合算式 50×30÷(50+10)=1500÷60=25(天)

  答:这批蔬菜可以吃25天。

  类型三 和差问题

  【含义】 已知两个数量的和与差,求这两个数量各是多少,这类应用题叫和差问题。

  【数量关系】大数=(和+差)÷ 2 小数=(和-差)÷ 2

  【解题思路和方法】 简单的题目可以直接套用公式;复杂的题目变通后再用公式。

  例1甲乙两班共有学生98人,甲班比乙班多6人,求两班各有多少人?

  解 甲班人数=(98+6)÷2=52(人) 乙班人数=(98-6)÷2=46(人)

  答:甲班有52人,乙班有46人。

  例2长方形的长和宽之和为18厘米,长比宽多2厘米,求长方形的面积。

  解 长=(18+2)÷2=10(厘米) 宽=(18-2)÷2=8(厘米)

  长方形的面积=10×8=80(平方厘米)

  答:长方形的面积为80平方厘米。

  例3有甲乙丙三袋化肥,甲乙两袋共重32千克,乙丙两袋共重30千克,甲丙两袋共重22千克,求三袋化肥各重多少千克。

  解 甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙,从中可以看出甲比丙多(32-30)=2千克,且甲是大数,丙是小数。由此可知 甲袋化肥重量=(22+2)÷2=12(千克)

  丙袋化肥重量=(22-2)÷2=10(千克) 乙袋化肥重量=32-12=20(千克)

  答:甲袋化肥重12千克,乙袋化肥重20千克,丙袋化肥重10千克。

  例4甲乙两车原来共装苹果97筐,从甲车取下14筐放到乙车上,结果甲车比乙车还多3筐,两车原来各装苹果多少筐?

  解 “从甲车取下14筐放到乙车上,结果甲车比乙车还多3筐”,这说明甲车是大数,乙车是小数,甲与乙的差是(14×2+3),甲与乙的和是97,

  因此 甲车筐数=(97+14×2+3)÷2=64(筐)

  乙车筐数=97-64=33(筐)

  答:甲车原来装苹果64筐,乙车原来装苹果33筐。

  类型四 倍比问题

  【含义】有两个已知的同类量,其中一个量是另一个量的若干倍,解题时先求出这个倍数,再用倍比的方法算出要求的数,这类应用题叫做倍比问题。

  【数量关系】 总量÷一个数量=倍数 另一个数量×倍数=另一总量

  【解题思路和方法】 先求出倍数,再用倍比关系求出要求的数。

  例1100千克油菜籽可以榨油40千克,现在有油菜籽3700千克,可以榨油多少?www.dlrzy.com

  解 (1)3700千克是100千克的多少倍? 3700÷100=37(倍)

  (2)可以榨油多少千克? 40×37=1480(千克)

  列成综合算式 40×(3700÷100)=1480(千克)

  答:可以榨油1480千克。

  例2 今年植树节这天,某小学300名师生共植树400棵,照这样计算,全县48000名师生共植树多少棵?

  解 (1)48000名是300名的多少倍? 48000÷300=160(倍)

  (2)共植树多少棵? 400×160=64000(棵)

  列成综合算式 400×(48000÷300)=64000(棵)

  答:全县48000名师生共植树64000棵。

  例3 凤翔县今年苹果大丰收,田家庄一户人家4亩果园收入11111元,照这样计算,全乡800亩果园共收入多少元?全县16000亩果园共收入多少元?

  解 (1)800亩是4亩的几倍? 800÷4=200(倍)

  (2)800亩收入多少元? 11111×200=2222200(元)

  (3)16000亩是800亩的几倍? 16000÷800=20(倍)

  (4)16000亩收入多少元? 2222200×20=44444000(元)

  答:全乡800亩果园共收入2222200元,全县16000亩果园共收入44444000元。

  类型五 和倍问题

  【含义】已知两个数的和及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几),要求这两个数各是多少,这类应用题叫做和倍问题。

  【数量关系】 总和 ÷(几倍+1)=较小的数

  总和 - 较小的数 = 较大的数 较小的数 ×几倍 = 较大的数

  【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。

  例1果园里有杏树和桃树共248棵,桃树的棵数是杏树的3倍,求杏树、桃树各多少棵?

  解 (1)杏树有多少棵? 248÷(3+1)=62(棵)(2)桃树有多少棵? 62×3=186(棵)

  答:杏树有62棵,桃树有186棵。

  例2东西两个仓库共存粮480吨,东库存粮数是西库存粮数的1.4倍,求两库各存粮多少吨?

  解 (1)西库存粮数=480÷(1.4+1)=200(吨)(2)东库存粮数=480-200=280(吨)

  答:东库存粮280吨,西库存粮200吨。

  例3甲站原有车52辆,乙站原有车32辆,若每天从甲站开往乙站28辆,从乙站开往甲站24辆,几天后乙站车辆数是甲站的2倍?

  解 每天从甲站开往乙站28辆,从乙站开往甲站24辆,相当于每天从甲站开往乙站(28-24)辆。把几天以后甲站的车辆数当作1倍量,这时乙站的车辆数就是2倍量,两站的车辆总数(52+32)就相当于(2+1)倍,

  那么,几天以后甲站的车辆数减少为

  (52+32)÷(2+1)=28(辆)

  所求天数为 (52-28)÷(28-24)=6(天)

  答:6天以后乙站车辆数是甲站的2倍。

  例4甲乙丙三数之和是170,乙比甲的2倍少4,丙比甲的3倍多6,求三数各是多少?

  解 乙丙两数都与甲数有直接关系,因此把甲数作为1倍量。

  因为乙比甲的2倍少4,所以给乙加上4,乙数就变成甲数的2倍;

  又因为丙比甲的3倍多6,所以丙数减去6就变为甲数的3倍;

  这时(170+4-6)就相当于(1+2+3)倍。那么,

  甲数=(170+4-6)÷(1+2+3)=28乙数=28×2-4=52丙数=28×3+6=90

  答:甲数是28,乙数是52,丙数是90。

  类型六 差倍问题

  【含义】 已知两个数的差及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几),要求这两个数各是多少,这类应用题叫做差倍问题。

  【数量关系】两个数的差÷(几倍-1)=较小的数 较小的数×几倍=较大的数

  【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。

  例1果园里桃树的棵数是杏树的3倍,而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵?

  解(1)杏树有多少棵?124÷(3-1)=62(棵)(2)桃树有多少棵? 62×3=186(棵)

  答:果园里杏树是62棵,桃树是186棵。

  例2爸爸比儿子大27岁,今年,爸爸的年龄是儿子年龄的4倍,求父子二人今年各是多少岁?

  解(1)儿子年龄=27÷(4-1)=9(岁)(2)爸爸年龄=9×4=36(岁)

  答:父子二人今年的年龄分别是36岁和9岁。

  例3商场改革经营管理办法后,本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元,又知本月盈利比上月盈利多30万元,求这两个月盈利各是多少万元?

  解 如果把上月盈利作为1倍量,则(30-12)万元就相当于上月盈利的(2-1)倍,因此

  上月盈利=(30-12)÷(2-1)=18(万元)本月盈利=18+30=48(万元)

  答:上月盈利是18万元,本月盈利是48万元。

  例4粮库有94吨小麦和138吨玉米,如果每天运出小麦和玉米各是9吨,问几天后剩下的玉米是小麦的3倍?

  解 由于每天运出的小麦和玉米的数量相等,所以剩下的数量差等于原来的数量差(138-94)。把几天后剩下的小麦看作1倍量,则几天后剩下的玉米就是3倍量,那么,(138-94)就相当于(3-1)倍,因此

  剩下的小麦数量=(138-94)÷(3-1)=22(吨)

  运出的小麦数量=94-22=72(吨)

  运粮的天数=72÷9=8(天)

  答:8天以后剩下的玉米是小麦的3倍。

  类型七 工程问题

  【含义】工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中,常常不给出工作量的具体数量,只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等,在解题时,常常用单位“1”表示工作总量。

  【数量关系】解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”,这样,工作效率就是工作时间的倒数(它表示单位时间内完成工作总量的几分之几),进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。

  工作量=工作效率×工作时间

  工作时间=工作量÷工作效率

  工作时间=总工作量÷(甲工作效率+乙工作效率)

  【解题思路和方法】 变通后可以利用上述数量关系的公式。

  例1 一项工程,甲队单独做需要10天完成,乙队单独做需要15天完成,现在两队合作,需要几天完成?

  解 题中的“一项工程”是工作总量,由于没有给出这项工程的具体数量,因此,把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需10天完成,那么每天完成这项工程的 1/10;乙队单独做需15天完成,每天完成这项工程的1/15;两队合做,每天可以完成这项工程的(1/10+1/15)。

  由此可以列出算式: 1÷(1/10+1/15)=1÷1/6=6(天)

  答:两队合做需要6天完成。

  例2一批零件,甲独做6小时完成,乙独做8小时完成。现在两人合做,完成任务时甲比乙多做24个,求这批零件共有多少个?

  解 设总工作量为1,则甲每小时完成1/6,乙每小时完成1/8,甲比乙每小时多完成(1/6-1/8),二人合做时每小时完成(1/6+1/8)。因为二人合做需要[1÷(1/6+1/8)]小时,这个时间内,甲比乙多做24个零件,所以

  (1)每小时甲比乙多做多少零件?

  24÷[1÷(1/6+1/8)]=7(个)

  (2)这批零件共有多少个?

  7÷(1/6-1/8)=168(个)

  答:这批零件共有168个。

  解二 上面这道题还可以用另一种方法计算:

  两人合做,完成任务时甲乙的工作量之比为 1/6∶1/8=4∶3

  由此可知,甲比乙多完成总工作量的 4-3 / 4+3 =1/7

  所以,这批零件共有 24÷1/7=168(个)

  例3一件工作,甲独做12小时完成,乙独做10小时完成,丙独做15小时完成。现在甲先做2小时,余下的由乙丙二人合做,还需几小时才能完成?

  解 必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示,就会给计算带来方便,因此,我们设总工作量为12、10、和15的某一公倍数,例如最小公倍数60,则甲乙丙三人的工作效率分别是

  60÷12=5 60÷10=6 60÷15=4

  因此余下的工作量由乙丙合做还需要

  (60-5×2)÷(6+4)=5(小时)

  答:还需要5小时才能完成。

  类型八 溶液浓度问题

  【含义】在生产和生活中,我们经常会遇到溶液浓度问题。这类问题研究的主要是溶剂(水或其它液体)、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。例如,水是一种溶剂,被溶解的东西叫溶质,溶解后的混合物叫溶液。溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度,也叫百分比浓度。

  【数量关系】溶液=溶剂+溶质 浓度=溶质÷溶液×100%

  【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式,复杂的题目变通后再利用公式。

  例1 爷爷有16%的糖水50克,(1)要把它稀释成10%的糖水,需加水多少克?(2)若要把它变成30%的糖水,需加糖多少克?

  解 (1)需要加水多少克? 50×16%÷10%-50=30(克)

  (2)需要加糖多少克? 50×(1-16%)÷(1-30%)-50=10(克)

  答:(1)需要加水30克,(2)需要加糖10克。

  例2要把30%的糖水与15%的糖水混合,配成25%的糖水600克,需要30%和15%的糖水各多少克?

  解 假设全用30%的糖水溶液,那么含糖量就会多出

  600×(30%-25%)=30(克)

  这是因为30%的糖水多用了。于是,我们设想在保证总重量600克不变的情况下,用15% 的溶液来“换掉”一部分30%的溶液。这样,每“换掉”100克,就会减少糖 100×(30%-15%)=15(克) 所以需要“换掉”30%的溶液(即“换上”15%的溶液) 100×(30÷15)=200(克)

  由此可知,需要15%的溶液200克。

  需要30%的溶液 600-200=400(克)

  答:需要15%的糖水溶液200克,需要30%的糖水400克。

  例3甲容器有浓度为12%的盐水500克,乙容器有500克水。把甲中盐水的一半倒入乙中,混合后再把乙中现有盐水的一半倒入甲中,混合后又把甲中的一部分盐水倒入乙中,使甲乙两容器中的盐水同样多。求最后乙中盐水的百分比浓度。

  解 由条件知,倒了三次后,甲乙两容器中溶液重量相等,各为500克,因此,只要算出乙容器中最后的含盐量,便会知所求的浓度。下面列表推算:

  甲容器

  乙容器

  原 有

  盐水500

  盐500×12%=60

  水500

  第一次把甲中一半倒入乙中后

  盐水500÷2=250

  盐60÷2=30

  盐水500+250=750

  盐30

  第而次把乙中一半倒入甲中后

  盐水250+375=625

  盐30+15=45

  盐水750÷2=375

  盐30÷2=15

  第三次使甲乙中

  盐水同样多

  盐水500

  盐45-9=36

  盐水500

  盐45-36+15=24

  由以上推算可知,

  乙容器中最后盐水的百分比浓度为 24÷500=4.8%

  答:乙容器中最后的百分比浓度是4.8%。
  

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