爱华网第11计 耗子开门 就地打洞
●计名释义
《说唐》中有这样一个故事.唐太宗征北，困在木阳城，绝粮.军师献计，沿着鼠洞挖去，可能找到粮食.结果，真的在地下深处发现了粮仓.太宗嘉奖耗子的牙啃立功，并题诗曰：鼠郎个小本能高，日夜磨牙得宝刀，唯恐孤王难遇见，宫门凿出九条槽.
庞大的数学宝库也是众多的“数学耗子”啃穿的.你可知道，前1万个质数就是这些耗子们一个个啃出来的，七位数字对数表也是这样啃出来的.
数学解题，当你无计可施，或者一口难吞时，那就决定“啃”吧.
●典例示范
【例1】 已知f (x)=，判定其单调区间.
【分析】 用求导法研究单调性当然可行，但未必简便，直接从单调定义出发，循序渐进，也可将“单调区间”啃出来.
【解答】 设x1<x2，f (x1)-f (x2)= - .
【插语】 x1，x2都在根号底下，想法把它们啃出来.有办法，将“分子有理化”.
【续解】 [KF（S]3[]1-2x1[KF)]-[KF(S]3[]1-2x2[KF)]
=
易知=△>0.
故有原式=<0.
故f (x)= 的增区间为（-∞,+∞).
【点评】 耗子开门是一个“以小克大，以弱克强”的策略.函数的单调法即不等式的比较法.方法基础，可靠，只要有“啃”的精神，则可以透过形式上的繁杂看到思维上的清晰和简捷.
【例2】 （04·天津卷）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数.
（Ⅰ）求ξ的分布列； （Ⅱ）求ξ的数学期望；
（Ⅲ）求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率.
【思考】 本题设问简单，方向明确，无须反推倒算，只要像耗子开门，牙啃立功就是了.【解答】 （Ⅰ）6人中任选3人，其中女生可以是0个，1个或2个，P（ξ=0）=;P(ξ=1)=；P (ξ=2)=，故ξ的分布列是：
ξ
0
1
2
P
（Ⅱ）ξ的数学期望是：
Eξ=0×+1×+2×=1.
(Ⅲ)由（Ⅰ），所选3人中女生人数ξ≤1的概率是：P（ξ≤1）=P (ξ=0)+P(=1)=.
【例3】 （04·上海，20文）如图
，直线y=x与抛物线y=x2- 4交于
A、B两点，线段AB的垂直平分线与
直线y= -5交于点Q.
(1)求点Q的坐标；
（2）当P为抛物线上位于AB下方
（含点A、B）的动点时，
求△OPQ的面积的最大值.
【思考】 同例1一样，本题设问明确， 例3题图
思路并不复杂，只须按所设条件逐一完成就是，只是要严防计算失误.
【解答】 （1）由
设AB中点为M（x0，y0），则x0 =，y0=x0=1.
故有M（2，1），又AB⊥MQ，∴MQ的方程是：y-1=-2(x-2)，令y=-5，得x=5，点Q的坐标为(5,-5).
(2)由（1）知|OQ|=5为定值.
设P(x，x2-2)为抛物线上上一点，由（1）知x2-4x-32≤0，得x∈［-4,8］，又直线OQ的方程为：
x+y=0，点P到直线OQ的距离：
d=，显然d≠0，(否则△POQ不存在)，即x≠4-4，为使△POQ面积最大只须d最大，当x=8时，dmax =6.
∴(S△POQ)max =·|OQ|·dmax=·5·6=30.
【例4】 O为锐角△ABC的外心，若S△BOC，S△COA，S△AOB成等差数列，求tanA·tanC的值.
【解答】 如图，有：S△BOC+S△AOB=2S△COA.
不妨设△ABC外接圆半径为1，令∠BOC=α=2A,
∠AOC=β=2B，∠AOB=r=2C，
则有：sinα+sinγ=sinβ，
即sin2A+sin2C=2sin2B.
2sin(A+C)cos (A-C)= 4sinBcosB. 例4题解图
∵sin(A+C)=sinB≠0,cosB= -cos(A+C).
∴cos (A-C)+2cos (A+C)=0,cosAcosC +sinAsinC+2(cosA+cosC – sinAsinC )=0.
3cosAcosC=sinAsinC，故tanAtanC=3.
【点评】 本例中的“门”不少，其中“同圆半径相等”是“门”，由此将面积关系转换成有关角的关系；以下通过圆心角与圆周角的转换，和差化积与倍角公式，诱导公式、和角公式、同角三角函数关系等依次转换，这便是一连串的“门”，逐一啃来，从而最终达到解题目的.
●对应训练
1.在棱长为4的正方体ABCD—A1B1C1D1中，
O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在
棱CC1上，且CC1=4CP.
(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所
成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（Ⅱ）设O点在平面D1AP上的
射影是H，求证：D1H⊥AP；
（Ⅲ）求点P到平面ABD1的距离. 第1题图
2.证明不等式： (n∈N+).
3.设x∈，f (x)=，求f (x)的最大值与最小值.
4.若x，y，z∈R+，且x+y+z=1，求函数u=的最小值.
●参考答案
1.建立如图的空间直角坐标系，有：
A(4,0,0)，P(0,4,1)，B(4,4,0)，B1(4,4,4)，D1(0,0,4).(Ⅰ)连BP，∵AB⊥平面BCC1B1.
∴AB⊥BP，∠APB是直线AP与平面BB1C1C的夹角，∵=
∴tan∠APB=.
∴AP与平面BB1C1C所成角为arctan.
(Ⅱ)连D1B1，则O∈DB1.
∵=（4,4,0)，=（-4,4,1）,
∴·=-16+16+0=0.
即⊥，也就是⊥. 第1题解图
已知OH⊥面AD1P，∴AP⊥D1O(三垂线定理)
（Ⅲ）在DD1上取||=1，有Q(0,0,1)，作QR⊥AD1于R，∵RQ∥AB，∴PQ∥面ABD1，∵AB⊥面AA1D1D，∴AB⊥QR，则QR⊥面ABD1，QR之长是Q到平面ABD1的距离，
∵S△ADQ =||·||=]||·||.
即：4·||= 4×3，∴||=.
已证PQ∥ABD1，∴点P到平面ABP1的距离为.
点评：虽是“综合法”证题，但也并非“巷子里赶猪，直来直去”，特别（Ⅱ）,(Ⅲ)两问，本解都用到了若干转换手法.
2.只须证
右式=
=
=.
∴成立，从而1+
3.先将f (x)化为同一个角的单一三角函数，得f (x)= -sin+.
当x∈时,2x-，故f (x)为，上的减函数,当x=时,
［f(x)］min =，当x=时,［f (x)］max =-.
4.注意到，同理：，，
∴u≥=8.
