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师训君评
1、一个等边三角形相关的几何模型；2、两个等边三角形相关的几何模型。 对于等边三角形的模型研究，我们首先从一个等边三角形和一个点的位置关系开始研究。
（1）如图，有一个点D在等边三角形的一条边上。我们看看这个基本图形可以出现什么样的结论呢？大家都知道，等边三角形也是旋转的基本载体，我们可以利用旋转来进行研究。将三角形△ABD逆时针旋转至△ACE,如下图：
这样我们易证△ADE是等边三角形，AD=DE，同时，BD=CE，这样我们把AD、BD、CD三条线段“转移”到了一个三角形△DCE中。在同一个三角形中的三条线段，我们可以出什么题目呢？比如三边关系，CD+CE>DE，也就是说在原图形中，CD+BD>AD。
此外，还可以考察长度计算。我们容易证明∠DCE=120度，如果已知CD和CE两边的长度，就可以求出DE的长度，也就是说，原图形中，可以命题：已知CD和BD的长度，求AD的长度。 （2）如图，有一个点D在等边三角形的内部，连接AD、BD、CD。像这样，一点在等边三角形的内部，我们首先想到的应该是“费马点问题”：当点D满足什么条件时？AD+BD+CD最小。
不过“费马点问题”主要是在一个普通三角形内考察，在等边三角形这里就不用探讨了。在《旋转》部分，我们会单独讲到费马点问题。
好，我们现在依然像第一种情况一样，利用旋转来看看可以如何命题。比如下图，我们将△ADC顺时针旋转至△AEB：
易证△ADE是等边三角形，AD=DE,这样我们就把BD、CD、AD三条线段“转移”到了一个△BDE中。这时，我们可以出什么题目呢？可以考察勾股定理啊。如果这三条边的长度刚好满足勾股定理，那么我们就能根据勾股定理的逆定理导出直角，从而可以利用三角形函数或者特殊关系导出45度、30度或60度。
比如，如果能够导出∠DEB=90度，因为△ADE是等边三角形，∠AED=60度，这样就知道∠AEB=150度，也即∠ADC=150度。
同时，用刚才的方法求出∠ADC的度数之后，我们还可以利用勾股定理求出等边三角形的边长AC。如下图：延长CD，点A做AF垂直于CD.
最后，除了研究边的关系，这个模型也可以研究角度的关系。比如，已知点D对三条边的“张角”-∠BDC、∠ADB、∠ADC的度数或比例关系，求以AD、BD、CD为边的三角形三个内角的度数或比例关系。关于这部分的内容我就不做详细讲述了，请各位老师自己进行研究。
所以，当一个点D在等边三角形内部的时候，我们至少有3种命题方式：
1) 已知AD、BD、CD三条线段的长度或者比例关系（满足勾股定理），求∠ADC及BC；2) 已知∠ADC（150度或135度等特殊角度），求AD、BD、CD三条线段的关系；3) 已知∠BDC、∠ADB、∠ADC的度数或比例关系，求以AD、BD、CD为边的三角形三个内角的度数或比例关系。
（3）如图，有一个点D在等边三角形的外部，连接AD、BD、CD。
这是我们本篇文章中最重要的一种情况，会产生非常重要的一个模型。我们来一起思考和推导，还是利用旋转来看看将会出现什么情况。
如图，我们将△ACD顺时针旋转至△ABE，连接DE。
此时，可以导出两个重要结论：1) AD＝BD＋CD2) ∠ADB＝∠ADC＝６０度(或AD平分∠BDC) 现在，让我们来重新梳理一下这个重要的模型。
模型描述：一个等边三角形外部，有一个角∠BDC＝120度。
反过来，关于这个模型的证明方法，我们又可以从四个方向来证明：i. 旋转ii. 截长补短iii. 构造等边三角形iv. 角平分线
同时，这个模型还有一个变式：把已知的∠BDC＝120度变成∠ADC＝60度，上述结论仍然成立。
关于这个模型的一些应用场景和考题如下
备注 这几个例题中，还会涉及正方形或者等腰直角三角形的模型，我们后面会给大家做分享的。
关于这个模型的各种证明方法和细节，我会在“精雕细课”中进行细致的带语音的讲解，大家可以关注一下。
总结这篇文章我们从一个等边三角形和一个点的位置关系出发，利用旋转为工具，去探究一个点分别在等边三角形的一边上、内部以及外部这三种不同的情况，可以如何去命题。从而总结出一些固定的结论和模型。这种研究方法可以复制和推广到其他地方，帮助我们研究和总结出更多的几何模型。
这其中，最后一种情况是最最重要的:一个等边三角形外部＋一个120度或者60度的角，可以导出一个线段和差以及一条角平分线这两个结论。
更多几何模型和方法，敬请期待下期师训讲堂文章分享。
下期内容预告初中数学之平面几何的模型与方法系列分享（三）“两形”之等边三角形２
关于作者樊浪，新东方教育科技集团中级教学培训师，新东方优能中学推广管理中心高级产品架构师，新东方二十周年功勋教师。
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