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交换群
commutative group
其运算适合交换律的群，或称阿贝尔群。挪威数学家N.H.阿贝尔在讨论高次方程时曾用到过有限交换群，为了纪念这位著名数学家，而常把交换群称作阿贝尔群。交换群是一般群论中的一个独特分支。在拓扑学和代数学中常常构造一些交换群，作为讨论问题的工具，例如，拓扑学中的基本群、同调群、代数学中的布饶尔群等等。交换群论与代数拓扑、模论、同调代数、环论等有密切的联系。
交换群作为特殊类型的群，也有诸如元素的阶、群的阶、子群、商群等概念以及相应的结果（见群）。在交换群中，子群和正规子群是相同的概念，习惯上把交换群的运算记作加法，用0表示群的单位元素,用-表示元素的逆元素,用表示的次幂,交换群的直积改称为直和。
有限非交换群有复杂的结构，至今还不完全清楚。然而有限交换群却有着非常简单的结构。1878年，F.G.弗罗贝尼乌斯等证明了下面的基本定理：任一有限交换群可表成有限个且阶为素数幂的循环群的直和，即[367-04][367-16]，其中[kg1][kg1]是自然数， 是循环群且[367-02],是素数，是自然数，并且数和[367-03][367-18]是由群完全确定的这个定理是一个具有典型意义的结构定理。关于有限交换群的子群商群自同态等问题，都可以利用这个定理去解决。因而，交换群理论的主体是研究无限群。
对于具有有限个生成元的无限交换群[kg1][kg2]都可表成有限个循环群的直和：[367-04][367-7]其中是循环群且[367-02],是素数,是自然数。而都是无限循环群；且非负数,以及[367-06]由群[kg1][kg1]惟一确定。这是对于有限交换群基本定理的一个完满的推广。
以上两个定理是一系列研究的起点，启示人们考虑还有哪些群类（更一般地，模类）可表为循环群（循环模）的直和，这样的群类具有什么性质，等等。
个（有限个或无限个）无限循环群的直和，称为自由交换群或自由群，其个数(基数)是群的不变量,称为自由群的秩。自由群在交换群理论中所占的地位,与非交换自由群在一般群理论中的地位相当，即任意一个群总可看成自由群的同态像。为此，只要取定群的一个生成元集[367-07]，并相应地取符号集{, [kg1][kg1]}，以为生成元可作无限循环群>，再作它们的直和即得自由群[kg1]=>。中元素都可惟一写成有限和形式[367-08]是整数。因此，可作映射
[367-09]易知，是自由群到群上的同态映射。还可以证明,自由群的非零子群仍是自由群。
若干个循环群的直和[kg1][kg1]具有与自由群类似的一些性质。例如，这样的直和的子群,也是一些循环群的直和；当把[kg1][kg1]表成无限循环群与阶为素数幂的循环群的直和时，这种表法在同构意义下是惟一的，即其中无限循环群的个数与阶为素数幂[367-06]的循环群个数都由本身惟一确定。
每一元都是有限阶（无限阶）的交换群，称为周期群(无扭群)。既含有有限阶元又含有无限阶元的群，称为混合群。每一元的阶都是素数的幂的群,称为准素群或准素群。
除群是个重要的而且已被完全刻画了的群类。所谓除群,是指对于任意自然数和任意元素,方程=都有解的群。不难验证,全体有理数关于数的加法作成一个无扭除群；而对于固定的素数及所有自然数，一切次单位根的全体关于复数的乘法作成准素群，它也是除群，并记作型群。任意除群都是若干个有理数加群和若干个型群（对某些素数）的直和R.贝尔指出除群具有如下特性:若群含有一个除子群（即本身是除群）,则必是的直和项,即有子群使=。反之，具有如下性质的群必是除群：若是群的子群，则必是的直和项除群是模论中重要的入射模概念的一个原型。不含除子群的群，称为简约群。对任意交换群的研究可归结为对简约群的研究。
交换群中有限阶元素的全体可作成一子群，称为的周期子群,而商群/是无扭群。周期群中阶为素数之幂的元素的全体()是
的子群,且有[367-12][367-14](取遍所有素数)因此，周期群的研究可归结为准素群的研究设是准素群,对自然数规定[367-13]。易知,是子群,且有[367-11]设非零元素[kg1][kg1]，若有使得[kg1][kg1],而[367-10],就把称为的高否则，就说的高是∞。因此,的高就是使方程[kg1]=在中有解的最大自然数(或∞)高是交换群论中最重要的概念之一。除群中每一元素的高都是∞，而循环群的直和中则没有高为∞的元素。
重要的普吕菲尔定理给出一些可表为循环群的直和的某些群类：①若是[kg1]准素群且有使[kg1]={0},则[kg1]是循环群的直和。②若[kg1]是可数(即||是可数基数)[kg1]准素群，但是它不含高为∞的元素，则是循环群的直和。
含有高为∞的元素的群不可能表成循环群的直和，对此需另寻刻画方法。H.厄尔姆在20世纪30年代作出了影响深远的贡献。他对准素群引入了定义在序数集上取值基数的一个函数() (后来称之为厄尔姆不变量)，给出了重要的厄尔姆定理:两个可数准素群和是同构的，当且仅当它们有相同的厄尔姆不变量，即对所有的序数，有()=()。近年来,这个定理在I.卡普兰斯基和E.沃克等人手中得到进一步的推广。例如，对于一类所谓完全投射群，相应的结论也成立。
对于无扭群，秩是一个最基本的概念，它类似于向量空间的维数如果对于群的有限个元素,,…,有不全是零的整数,,…,,使得[367-05],就说,,…,是相关的，否则就说是无关的如果的一个子集[kg1][kg1]的任意有限子集都是无关的，就说[kg1][kg1]是无关的。群[kg1][kg1]的所有极大无关子集具有相同的基数，称为[kg1][kg1]的秩。秩为1、2的无扭群的结构基本上已清楚，例如,秩为1的无扭群恰为有理数加群的一切子群。其他一些无扭群也作过研究，例如完全分解无扭群以及它们的纯子群。总之，对无扭群的研究远不如对周期群的研究深入。
混合群总可以看成周期群借助无扭群的扩张最初的一些研究，常集中于如下的问题：在什么条件下这个扩张[kg1][kg1]是可裂的,即有[kg1]=成立。R.贝尔给出一个结果：若混合群的周期子群是一些除群和一些阶小于某固定的循环群的直和，则是可裂的。近年来，I.卡普兰斯基、R.B.沃菲尔德等找到了一些方法，能从整体上讨论混合群，从而开创了一个新局面。
任一交换群都可看成整数环上的模，为此只需引入模运算[kg1]=[kg1]+[kg1]…+[kg1]([kg1][kg1]个)即可。交换群作为特殊的模，为一般模论提供了大量的概念和定理的原型，例如张量积就是其中之一。交换群[kg1][kg1]的自同态对应全体[kg1]End()关于自同态的乘法和加法作成一个环,而交换群可以自然地看成End()的任意子环上的模。交换群、模论、环论是互相密切联系的。
参考书目
I.Kaplansky，Infinite Abelian Groups，Revised ed.,Univ.of Michigan Press, Ann Arbor, 1969.
L. Fuchs, Infinite Abelian Groups，Vol. 1～2，Academic Press,New York,1970,1973.
刘绍学
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