爱华网函数复习（二）
5. 函数解析式的求法
（1）换元法
[例1] 已知，求
解法1：（直接换元）
令
∴
解法2：（凑式换元法）
（2）消去法
[例2] 设满足关系式，求
解：由①用代换得
② 由①和②联立消去
得 由
从而
[例3] 已知①，，求
解：用代换得，②
由①和②联立得
[例4] 已知且，求
解：由① 用代换①中得
② 由①、②联立得
（3）待定系数法
[例5] 已知，且是一次函数，求。
解：设一次函数，则
与比较函数，得
所以
（4）赋值法
[例6] 已知，且对任何实数，有等式成立，求的解析式。
解：令作代换令得
（5）递推法
[例7] 函数满足且，求的解析式。
解：由
……
把以上个关系式相加
当时，
当时，
当时，
又法：（只考虑且时）
设
令是常数列
6. 值域的求法
（1）判别式法
[例1] 求函数的值域。
解：
① 时，
② 时，
[例2] 求函数的值域（不能用判别式，可约分式）
解：
∴ ∴
[例3] 求函数的值域。
解：
（1）当时，
（2）当时，原式即
∴
∵ 时，
∴ 解得或 ∴
（2）反函数法
[例4] 求的值域（）
解： 由
∴
由 ∴（1）的解是或
（2）的解或，故或
值域
（3）配方法
[例5] 求函数，的值域。
解：，得对称轴方程
根据对称轴分类
① 时，递减值域
② 当时，对称轴在之内，值域
③ 当时，对称轴在之内，值域
④ 当时，对称轴在[0，1]之右，在[0，1]上递增
值域
（4）性质法
[例6] 求函数的值域
解：定义域R且=0
所以为奇函数
当时，单增，，因奇函数图象关于坐标原点对称，所以该函数值域为R
[例7] 求函数的值域
解：定义域R，偶函数，周期
当时，
（5）最值法
[例8] 求函数，的值域
解：
（1）时，
（2）时，=4
当且仅当即时取等号
故值域
另法利用导数
令或
（6）换元转化法
[例9] 求函数（）的值域
解：令，则
（1）时，
（2）时，
[例10] 求的值域
解：令，则
由 ∴ 值域
（7）导数法
[例11] 求函数的值域
解：由
令，
又令
由或
+
0
－
0
+
↑
极大值
↓
极小值
↑
所以在（）上的极大值点为，极小值点，所以在[]上，有极小值，，又由，=，所以在上的最小值点为，最大值点为，因此当即，时，取最小值，当，即，时，取极大值。
1
－
0
+
4
↓
极小值
↑
∴
【模拟试题】
1. 已知，求并解方程。
2. 设对一切实数，，求定义于区间上的函数
3. 求的值域。
4. 求函数的值域。
5. 求的值域。
6. 求函数的定义域和值域。
7. 已知函数定义域为R，值域为[0，2]，求的值。
8. 已知，，且（且）
（1）确定的值；（2）求的最小值及相应的值。
【试题答案】
1. 解：
∴
由
由，由
∴ 的解是
2. 解：令，则得①
以代换式中，则有②
由①和②联立得
∴ ，
3. 解：
① 时，
② 时，
∴ 值域
4. 解：∵ 函数的定义域为
∴ 可设， ∴
∴ 原函数化为
当时，函数有最大值为2
当时，函数的最小值为
∴ 函数的值域为
5. 解：∵ ∴ ，
∴ 原函数化为
当，即，
当，即，
6. 解：由得又定义域为非空数集，则，故定义域为（）
令，则对称轴为
① 当 即时，
故值域为
② 当 即时，无最大值和最小值，利用单调性，有，而，
故
故值域
7.
解：令，则，即，由，得
问题转化为有理分式函数，
值域为时，求系数的值
由
由即
该不等式解集即的值域[1，9]
即
另法由
8. 解：
（1）由已知
由，则，则上式，即
，故
（2）由，则
当且仅当即时，等号成立
此时，由 即时，取最小值。
