爱华网专题限时集训(七)<?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />
[第7讲 平面向量]
(时间：10分钟＋35分钟)
1．若向量a、b、c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( )
A．4 B．3 C．2 D．0
2．若非零向量a、b满足|a＋b|＝|b|，则( )
A．|2a|>|2a＋b| B．|2a|<|2a＋b|
C．|2b|>|a＋2b| D．|2b|<|a＋2b|
3．已知向量a＝(，1)，b＝(－1,3)，c＝(k，)．若a－2b与c共线，则k＝________.
4．已知e1，e2是夹角为3(2π)的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2, 若a·b＝0，则实数k的值为________．
1．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝( )
A. B. C．5 D．25
2．在△ABC所在平面上有三点P、Q、R，满足→(PA)＋→(PB)＋→(PC)＝→(AB)，→(QA)＋→(QB)＋→(QC)＝→(BC)，→(RA)＋→(RB)＋→(RC)＝→(CA)，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为( )
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5
3．如图7－1，在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝30°，AD是边BC上的高，则→(AD)·→(AC)的值等于( )
图7－1
A．0 B．4
C．8 D．－4
4．等腰直角三角形ABC中，A＝2(π)，AB＝AC＝2，M是BC的中点，P点在△ABC内部或其边界上运动，则→(BP)·→(AM)的取值范围是( )
A．[－1,0] B．[1,2]
C．[－2，－1] D．[－2,0]
5．已知点O为△ABC的外心，且|→(AC)|＝4，|→(AB)|＝2，则→(AO)·→(BC)＝________.
6．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为2(1)，则α和β的夹角θ的取值范围是________．
7.已知a＝(cosx＋sinx，sinx)，b＝(cosx－sinx,2cosx)．
(1)求证：向量a与向量b不可能平行；
(2)若a·b＝1，且x∈[－π，0]，求x的值．
8．设平面向量a＝(cosx，sinx)，b＝(cosx＋2，sinx)，c＝(sinα，cosα)，x∈R.
(1)若a⊥c，求cos(2x＋2α)的值；
(2)若x∈2(π)，证明a和b不可能平行；
(3)若α＝0，求函数f(x)＝a·(b－2c)的最大值，并求出相应的x的值．
专题限时集训(七)
【基础演练】
1．D 【解析】 因为a∥b且a⊥c，所以b⊥c，所以c·(a＋2b)＝c·a＋2b·c＝0.
2．C 【解析】 因为|a＋b|＝|b|，所以a·(a＋2b)＝0，即a⊥(a＋2b)，因此|a|、|a＋2b|、|2b|构成直角三角形的三边，|2b|为斜边，所以|2b|>|a＋2b|，选择C.
3．－5(7) 【解析】 因为a－2b＝(＋2，－5)，由a－2b与c共线，有7(k)＝－5(7＋2)，可得k＝－5(7).
4.4(5) 【解析】 因为a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝ke1(2)＋(1－2k)(e1·e2)－2e2(2)，
且|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝－2(1)，所以2k－2(1)－2＝0，即k＝4(5).
【提升训练】
1．C 【解析】 |a＋b|＝5?|a|2＋2a·b＋|b|2＝50?5＋20＋|b|2＝50?|b|＝5.
2．B 【解析】 由→(PA)＋→(PB)＋→(PC)＝→(AB)，→(PA)＋→(PC)＝→(AB)－→(PB)，
即→(PA)＋→(PC)＝→(AB)＋→(BP)，→(PA)＋→(PC)＝→(AP)，∴→(PC)＝2→(AP)，P为线段AC的一个三等分点，同理可得Q、R的位置，△PQR的面积为△ABC的面积减去三个小三角形面积，取△ABC为正三角形，不难得出面积比为1∶3.
3．B 【解析】 BD＝ABcos30°＝2，所以→(BD)＝2(3)→(BC).
故→(AD)＝→(BD)－→(BA)＝2(3)→(BC)－→(BA).
又→(AC)＝→(BC)－→(BA).
所以→(AD)·→(AC)＝→(BA)·(→(BC)－→(BA))＝2(3)→(BC)2－2(3)→(BA)·→(BC)＋→(BA)2.
→(BC)2＝→(BA)2＝16，→(BC)·→(BA)＝4×4×cos30°＝8，
代入上式得→(AD)·→(AC)＝8－2(3)×8＋16＝4.
4．D 【解析】 以点A为坐标原点，射线AB，AC分别为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则B(2,0)，M(1,1)．设P(x，y)，则由于点P在△ABC内部或其边界上运动，故x≥0，y≥0且x＋y≤2.→(BP)＝(x－2，y)，→(AM)＝(1,1)，→(BP)·→(AM)＝x－2＋y，所以→(BP)·→(AM)的取值范围是[－2,0]．
5．6 【解析】 如图，由于三角形外心是三角形三边中垂线的交点，故取BC的中点D，则→(AO)＝→(AD)＋→(DO)，而→(DO)⊥→(BC)，这样所求的数量积就是→(AD)·→(BC)，再根据向量加法和减法的几何意义即可把所求的数量积用→(AC)，→(AB)表示．
→(AO)·→(BC)＝→(AD)·→(BC)＝2(1)(→(AB)＋→(AC))·(→(AC)－→(AB))＝2(1)(→(AC)2－→(AB)2)＝6.
6.6(5π) 【解析】 由题意得，|α||β|sinθ＝2(1)，∵|α|＝1，|β|≤1，∴sinθ＝2|β|(1)≥2(1).又∵θ∈(0，π)，∴θ∈6(5π).
7．【分析】 第(1)问利用反证法证明，先假设a∥b，易推出矛盾，故结论正确．
第(2)问利用二倍角公式及辅助角公式将结果化为Asin(ωx＋φ)的形式，易得x的值．
【解答】 (1)证明：假设a∥b，则
2cosx(cosx＋sinx)＝sinx(cosx－sinx)．
即2cos2x＋2sinxcosx＝sinxcosx－sin2x,1＋sinxcosx＋cos2x＝0，
1＋2(1)sin2x＋2(1＋cos2x)＝0，
即sin4(π)＝－3?sin4(π)＝－2(2).
而sin4(π)∈[－1,1]，－2(2)<－1，矛盾．
故假设不成立，即向量a与向量b不可能平行．
(2)a·b＝(cosx＋sinx)(cosx－sinx)＋2sinxcosx＝cos2x－sin2x＋sin2x＝cos2x＋sin2x＝sin4(π)，
a·b＝1?sin4(π)＝2(2).
又x∈[－π，0]，∴2x＋4(π)∈[－4(7π)，4(π)]，
∴2x＋4(π)＝－4(7π)或2x＋4(π)＝－4(5π)或2x＋4(π)＝4(π)，
∴x＝－π或x＝－4(3π)或x＝0.
8．【分析】 (1)利用a·c＝0解；(2)利用反证法证明a与b不可能平行；(3)通过数量积的运算，求f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的最值．
【解答】 (1)若a⊥c，则a·c＝0，
cosxsinα＋sinxcosα＝0，sin(x＋α)＝0，
所以cos(2x＋2α)＝1－2sin2(x＋α)＝1.
(2)证明：假设a和b平行，则cosxsinx－sinx(cosx＋2)＝0，
即2sinx＝0，sinx＝0，而x∈2(π)时，sinx>0，矛盾．
故假设不成立，所以a和b不可能平行．
(3)若α＝0，则c＝(0,1)，则f(x)＝a·(b－2c)
＝(cosx，sinx)·(cosx＋2，sinx－2)
＝cosx(cosx＋2)＋sinx(sinx－2)
＝1－2sinx＋2cosx＝1＋4sin3(2π)，所以f(x)max＝5，此时，x＝2kπ－6(π)，k∈Z.
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