爱华网第六讲
找简单数列的规律
日常生活中，我们经常接触到许多按一定顺序排列的数，
如：
自然数：
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
，
7
，
…
（
1
）
年份：
1990
，
1991
，
1992
，
1993
，
1994
，
1995
，
1996
（
2
）
某年级各班的学生人数（按班级顺序一、二、三、四、五
班排列）
45
，
45
，
44
，
46
，
45
（
3
）
像上面的这些例子，按一定次序排列的一列数就叫做数列
数列中的每一个数都叫做这个数列的项，其中第
1
个数称为
这个数列的第
1
项，第
2
个数称为第
2
项，
…
，第
n
个数就称
为第
n
项
如数列（
3
）中，第
1
项是
45
，第
2
项也是
45
，第
3
项是
44
，第
4
项是
46
，第
5
项
45
。
根据数列中项的个数分类，我们把项数有限的数列（即有
有穷多个项的数列）
称为有穷数列，
把项数无限的数列
（即
有无穷多个项的数列）称为无穷数列，上面的几个例子中，
（
2
）（
3
）是有穷数列，（
1
）是无穷数列。
研究数列的目的是为了发现其中的内在规律性，以作为解
决问题的依据，本讲将从简单数列出发，来找出数列的规
律。
例
1
观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在
括号中填上合适的数
.
2
①
，
5
，
8
，
11
，（），
17
，
20
。
19
②
，
17
，
15
，
13
，（），
9
，
7
。
1
③
，
3
，
9
，
27
，（），
243
。
64
④
，
32
，
16
，
8
，（），
2
。
1
⑤
，
1
，
2
，
3
，
5
，
8
，（），
21
，
34…
1
⑥
，
3
，
4
，
7
，
11
，
18
，（），
47…
1
⑦
，
3
，
6
，
10
，（），
21
，
28
，
36
，（）
.
1
⑧
，
2
，
6
，
24
，
120
，（），
5040
。
1
⑨
，
1
，
3
，
7
，
13
，（），
31
。
1
⑩
，
3
，
7
，
15
，
31
，（），
127
，
255
。
(11)1
，
4
，
9
，
16
，
25
，（），
49
，
64
。
(12)0
，
3
，
8
，
15
，
24
，（），
48
，
63
。
(13)1
，
2
，
2
，
4
，
3
，
8
，
4
，
16
，
5
，（）
.
(14)2
，
1
，
4
，
3
，
6
，
9
，
8
，
27
，
10
，（）
.
分析与解答
①
不难发现，从第
2
项开始，每一项减去它前面一项所得的
差都等于
3.
因此，括号中应填的数是
14
，即：
11
＋
3=14
。
②
同
①
考虑，
可以看出，
每相邻两项的差是一定值
2.
所以，
括号中应填
11
，即：
13—2=11
。
不妨把
①
与
②
联系起来继续观察，容易看出：数列
①
中，
随项数的增大，每一项的数值也相应增大，即数列
①
是递
增的；数列
②
中，随项数的增大，每一项的值却依次减小，
即数列
②
是递减的
但是除了上述的不同点之外，这两个数
列却有一个共同的性质：即相邻两项的差都是一个定值
我
们把类似
①②
这样的数列，称为等差数列
.
1
③
，
3
，
9
，
27
，（），
243
。
此数列中，从相邻两项的差是看不出规律的，但是，从第
2
项开始，每一项都是其前面一项的
3
倍
即：
3=1×3
，
9= 3×3
，
27=9×3.
因此，
括号中应填
81
，
即
81=
27×3
，
代入后，
243
也符合规律，即
243
＝
81×3
。
64
④
，
32
，
16
，
8
，（），
2
与
③
类似，本题中，从第
1
项开始，每一项是其后面一项的
2
倍，即：
因此，括号中填
4
，代入后符合规律。
综合
③④
考虑，数列
③
是递增的数列，数列
④
是递减的数
列，但它们却有一个共同的特点：每列数中，相邻两项的
商都相等
像
③④
这样的数列，我们把它称为等比数列。
1
⑤
，
1
，
2
，
3
，
5
，
8
，（
），
21
，
34…
首先可以看出，这个数列既不是等差数列，也不是等比数
列
现在我们不妨看看相邻项之间是否还有别的关系，可以
发现，
从第
3
项开始，
每一项等于它前面两项的和
即
2=1+1
，
3=2+1
，
5=2+3
，
8=3
＋
5.
因此，括号中应填的数是
13
，即
13=5+8
，
21=
8+13
，
34=
13+21
。
这个以
1
，
1
分别为第
1
、第
2
项，以后各项都等于其前两项
之和的无穷数列，就是数学上有名的斐波那契数列，它来
源于一个有趣的问题：如果一对成熟的兔子一个月能生一
对小兔，小兔一个月后就长成了大兔子，于是，下一个月
也能生一对小兔子，这样下去，假定一切情况均理想的话，
每一对兔子都是一公一母，兔子的数目将按一定的规律迅
速增长，按顺序记录每个月中所有兔子的数目（以对为单
位，一月记一次），就得到了一个数列，这个数列就是数
列
⑤
的原型，因此，数列
⑤
又称为兔子数列，这些在高年
级递推方法中我们还要作详细介绍。
1
⑥
，
3
，
4
，
7
，
11
，
18
，（
），
47…
在学习了数列
⑤
的前提下，数列
⑥
的规律就显而易见了，
从第
3
项开始，
每一项都等于其前两项的和
因此，
括号中应
填的是
29
，即
29=
11
＋
18
。
数列
⑥
不同于数列
⑤
的原因是：数列
⑥
的第
2
项为
3
，而数
列
⑤
为
1
，数列
⑥
称为鲁卡斯数列。
1
⑦
，
3
，
6
，
10
，（
），
21
，
28
，
36
，（
）。
方法
1
：继续考察相邻项之间的关系，可以发现：
因此，可以猜想，这个数列的规律为：每一项等于它的项
数与其前一项的和，那么，第
5
项为
15
，即
15=10+5
，最后
一项即第
9
项为
45
，即
45
＝
36
＋
9.
代入验算，正确。
方法
2
：其实，这一列数有如下的规律：
第
1
项：
1=1
第
2
项：
3=1
＋
2
第
3
项：
6=1+2+3
第
4
项：
10=1+2+3+4
第
5
项：（
）
第
6
项：
21=1+2+3+4+5+6
第
7
项：
28=1+2+3+4+5+6+7
第
8
项；
36=1+2+3+4+5+6+7+8
第
9
项：（
）
即这个数列的规律是：每一项都等于从
1
开始，以其项数为
最大数的
n
个连续自然数的和
因此，
第五项为
15
，即：
15= 1+ 2+ 3+ 4+ 5
；
第九项为
45
，即：
45=1+2+3+4+5+6+7+8+9
。
1
⑧
，
2
，
6
，
24
，
120
，（
），
5040
。
方法
1
：这个数列不同于上面的数列，相邻项相加减后，看
不出任何规律
考虑到等比数列，
我们不妨研究相邻项的商，
显然：
所以，这个数列的规律是：除第
1
项以外的每一项都等于其
项数与其前一项的乘积
因此，括号中的数为第
6
项
720
，即
720=120×6
。
方法
2
：受
⑦
的影响，可以考虑连续自然数，显然：
第
1
项
1=
1
第
2
项
2=
1×2
第
3
项
6=
1×2×3
第
4
项
24=
1×2×3×4
第
5
项
120=
1×2×3×4×5
第
6
项
（
）
第
7
项
5040=
1×2×3×4×5×6×7
所以，第
6
项应为
1×2×3×4×5×6=
720
1
⑨
，
1
，
3
，
7
，
13
，（
），
31
与
⑦
类似：
可以猜想，数列
⑨
的规律是该项
=
前项
+2×
（项数
-2
）（第
1
项除外），那么，括号中应填
21
，代入验证，符合规律。
1
⑩
，
3
，
7
，
15
，
31
，（
），
127
，
255
。
则：
因此，括号中的数应填为
63
。
小结：寻找数列的规律，通常从两个方面来考虑：
①
寻找
各项与项数间的关系；
②
考虑相邻项之间的关系
然后，再
归纳总结出一般的规律。
事实上，数列
⑦
或数列
⑧
的两种方法，就是分别从以上两
个不同的角度来考虑问题的
但有时候，从两个角度的综合
考虑会更有利于问题的解决
因此，仔细观察，认真思考，
选择适当的方法，会使我们的学习更上一层楼。
在
⑩
题中，
1=2-1
3=2
2
-1
7=2
3
-1
15=2
4
-1
31=2
5
-1
127=2
7
-1
255=2
8
-1
所以，括号中为
2
6
-1
即
63
。
（
11
）
1
，
4
，
9
，
16
，
25
，（
），
49
，
64.
1=1×1
，
4=
2×2
，
9=
3×3
，
16=
4×4
，
25=
5×5
，
49= 7×7
，
64=8×8
，即每项都等于自身项数与项数的乘积，所以括号
中的数是
36
。
本题各项只与项数有关，如果从相邻项关系来考虑问题，
势必要走弯路。
(12)0
，
3
，
8
，
15
，
24
，（
），
48
，
63
。
仔细观察，发现数列
(12)
的每一项加上
1
正好等于数列
(11)
，
因此，
本数列的规律是项
=
项数
×
项数
-1.
所以，
括号中填
35
，
即
35=
6×6-1
。
(13)1
，
2
，
2
，
4
，
3
，
8
，
4
，
16
，
5
，（
）。
前面的方法均不适用于这个数列，在观察的过程中，可以
发现，本数列中的某些数是很有规律的，如
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
而它们恰好是第
1
项、第
3
项、第
5
项、第
7
项和第
9
项，所以
不妨把数列分为奇数项（即第
1
，
3
，
5
，
7
，
9
项）和偶数项
（即第
2
，
4
，
6
，
8
项）来考虑，把数列按奇数和偶数项重
新分组排列如下：
奇数项：
1
，
2
，
3
，
4
，
5
偶数项：
2
，
4
，
8
，
16
可以看出，奇数项构成一等差数列，
偶数项构成一等比数列
因此，括号中的数，即第
10
项应为
32
（
32=16×2
）。
(14) 2
，
1
，
4
，
3
，
6
，
9
，
8
，
27
，
10
，（
）。
同上考虑，把数列分为奇、偶项：
偶数项：
2
，
4
，
6
，
8
，
10
奇数项：
1
，
3
，
9
，
27
，（
）
所以，偶数项为等差数列，
奇数项为等比数列，括号中应填
81
（
81=27×3
）。
像
(13)(14)
这样的数列，每个数列中都含有两个系列，这两
个系列的规律各不相同，类似这样的数列，称为双系列数
列或双重数列。
例
2
下面数列的每一项由
3
个数组成的数组表示，它们依次
是：
（
1
，
3
，
5
），（
2
，
6
，
10
），（
3
，
9
，
15
）
…
问：第
100
个数组内
3
个数的和是多少？
方法
1
：注意观察，发现这些数组的第
1
个分量依次是：
1
，
2
，
3…
构成等差数列，所以第
100
个数组中的第
1
个数为
100
；这些数组的第
2
个分量
3
，
6
，
9…
也构成等差数列，
且
3=3×1
，
6=3×2
，
9=3×3
，
所以第
100
个数组中的第
2
个数为
3×100=300
；同理，第
3
个分量为
5×100=500
，所以，第
100
个数组内三个数的和为
100+300+500=900
。
方法
2
：因为题目中问的只是和，所以可以不去求组里的三
个数而直接求和，考察各组的三个数之和。
第
1
组：
1+3+5=9
，第
2
组：
2+6+10=18
第
3
组：
3+ 9+ 15= 27…
，由于
9=9×1
，
18= 9×2
，
27= 9×3
，
所以
9
，
18
，
27…
构成一等差数列，第
100
项为
9×100=900
，
即第
100
个数组内三个数的和为
900
。
例
3
按下图分割三角形，即：
①
把三角形等分为四个相同
的小三角形（如图（
b
））；
②
把
①
中的小三角形（尖朝下
的除外）都等分为四个更小的三角形（如图（
C
））
…
继续
下去，将会得到一系列的图，依次把这些图中不重叠的三
角形的个数记下来，成为一个数列：
1
，
4
，
13
，
40…
请你
继续按分割的步骤，
以便得到数列的前
5
项
然后，
仔细观察
数列，从中找出规律，并依照规律得出数列的第
10
项，即
第
9
项分割后所得的图中不重叠的小三角形的个数
.
分析与解答
第
4
次分割后的图形如左图：
因此，数列的第
5
项为
121
。
这个数列的规律如下：
第
1
项
1
第
2
项
4=1+3
第
3
项
13=4+3×3
第
4
项
40=13+3×3×3
第
5
项
121=40+3×3×3×3
或者写为：第
1
项
1=
1
第
2
项
4=1+3
1
第
3
项
13=1
＋
3
＋
3
2
第
4
项
40=
1
＋
3
＋
3
2
＋
3
3
第
5
项
121=
1
＋
3
＋
3
2
+3
3
＋
3
4
因此，第
10
项也即第
9
次分割后得到的不重叠的三角形的个
数是
29524
。
例
4
在下面各题的五个数中，选出与其他四个数规律不同
的数，并把它划掉，再从括号中选一个合适的数替换。
42
①
，
20
，
18
，
48
，
24
（
21
，
54
，
45
，
10
）
15
②
，
75
，
60
，
45
，
27
（
50
，
70
，
30
，
9
）
42
③
，
126
，
168
，
63
，
882
（
27
，
210
，
33
，
25
）
解：
①
中，
42
、
18
、
48
、
24
都是
6
的倍数，只有
20
不是，所
以，划掉
20
，用
54
代替。
15
②
、
75
、
60
、
45
都是
15
的整数倍数，而
27
不是，用
30
来替换
27
。
③
同上分析，发现这些数中，
42
、
126
、
128
、
882
都是
42
的整数倍，而
63
却不是
因此，用
210
来代替
63
。
习题六
按一定的规律在括号中填上适当的数：
1.1
，
2
，
3
，
4
，
5
，（
），
7…
2.100
，
95
，
90
，
85
，
80
，（
），
70
3.1
，
2
，
4
，
8
，
16
，（
），
64
5.2
，
1
，
3
，
4
，
7
，（
），
18
，
29
，
47
6.1
，
2
，
5
，
10
，
17
，（
），
37
，
50
7.1
，
8
，
27
，
64
，
125
，（
），
343
8.1
，
9
，
2
，
8
，
3
，（
），
4
，
6
，
5
，
5
习题六解答
1.
等差数列，括号处填
6
。
2.
等差数列，括号处填
75
。
3.
等比数列，括号处填
32
。
5.
相邻两项的和等于下一项，括号处填
11
。
6.
后项
-
前项
=
前项的项数
×2-1
，括号处填
26
。
7.
立方数列，
即每一项等于其项数乘以项数再乘以项数，
括
号处填
216
。
8.
双重数列，括号处填
7.
