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【典型例题】
[例1] 如图所示，F为抛物线的焦点，A（4，2）为抛物线内一定点，P为抛物线上一动点，的最小值为8。
（1）求抛物线的方程；
（2）若 O为坐标原点，问是否存在点M，使过点M的动直线与抛物线交于B、C两点。且，证明你的结论。
解：（1）由抛物线性质可知
故抛物线方程为
（2）若斜率存在，设过M的直线方程为，显然，，直线交抛物线于B、C
由
由
故
动直线方程为 即
[例2] 已知抛物线的准线与轴交于M点，过M作直线与抛物线交于A、B两点，若AB的垂直平分线与轴交于E（）。
（1）求的取值范围；
（2）能否是正三角形？若能，求的值；若不能，请说明理由。
解：（1）由题意得直线：，代入，得
由，则，且
设方程两根分别为A、B两点的横坐标，则其中点坐标为
则AB的垂直平分线方程为
令，得
（2）若为正三角形，则点E到AB的距离为的倍
由（）
，得
[例3] 已知抛物线C：，点A（），如果抛物线C上到点A距离最近的是抛物线C的顶点，那么的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
解法一：从方程角度看命题的等价转化
方程组只有一解方程（3）
在上只有一个解
由（3）有两个解，故
解法二：从函数角度看命题的等价转化
函数（当时，有最小值）
函数（在定义域的左端点取最小值）
这样只须令二次函数的对称轴位于原点的左侧，即
解法三：从不等式角度看命题的转化
关于x、y的不等式（4）（对一切满足的实数成立，且时，等号成立）关于的不等式（5）（在上成立，且时等号成立）
由于（5）的解集是“两根之外”，因此应在大根之外，故另一根
[例4] 已知抛物线过动点M（）且斜率为1的直线与抛物线交于不同的两点A、B，。
（1）求的取值范围；
（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求面积的最大值。
解：（1）将代入，得
设直线与抛物线的两个不同的交点坐标为A（），B（）
则，又
所以
因为，，所以
解得
（2）设AB的垂直平分线交AB于点Q，令坐标，则由中点坐标公式
得，
所以
又为等腰，故
因此
最大面积为
[例5] 如图，直线和相交于M，，点，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等，若为锐角三角形，，，且，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程。
解法一：依题意知，曲线段C是以N为焦点，以为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为曲线C的端点，以为x轴，MN的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，设曲线C的方程为（）
其中，且M（），N（）
由，，得①
②
由①、②得：，将之代入①得：或
由三角形AMN是锐角三角形知，所以，，
又由点B在曲线段C上，得：
则曲线段C的方程为：
解法二：建系，并确定C是抛物线的一段，作，，垂足分别为E、D、F，则
由为锐角三角形，故
即
故，曲线段C的方程为：（）
注：此法根据抛物线定义确定曲线段方程的形式，根据图形应用条件直接确定参数。
[例6] 在y轴的负半轴上任取一点A（0，m），过点A作抛物线（）的切线，切点C，交轴于点B，F为抛物线的焦点。
（1）证明：；
（2）延长CF交抛物线于另一点D，连接AD，则能否为钝角，若是钝角，求出m的取值范围，若不是，加以证明。
解：（1）抛物线的焦点为F（）
设切点C（），则切线AC的方程为
令，得 即B（）
令得，，即A（0，），由，则
故，
故 即
（2）设CD方程为，由
设，则，
由（1）知，
又
则
若为钝角，则
由点C、A、D不共线，则
只需即
故
由，故
所以能为钝角，此时m的取值范围为
[例7] 设是一常数，如图，过点Q（2p，0）的直线与抛物线交于相并两点A、B，以线段AB为直径作⊙H（H为圆心），试证抛物线顶点O在⊙H上，并求当⊙H的面积最小时，直线AB的方程。
解法一：设
由
，
从而
则，则
故O点必在⊙H上
又H（）是AB的中点，则
故，从而时，⊙H面积最小，此时
解法二：由分别消去，得
得A、B所在圆方程：
显然原点O在上面圆上，下同解法一。
[例8] 设正方形ABCD的外接圆方程为（），C、D点所在直线的斜率为。
（1）求外接圆圆心M点的坐标及正方形对角线AC、BD的斜率；
（2）若在x轴上方的A、B两点在一条以原点为顶点以x轴对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线的方程。
解：（1）由
由，，MA、MB的斜率满足
（2）设MB、MA的倾斜角分别为，则
，
再设，则
设抛物线方程为，由于A、B两点在抛物线上，则
，
抛物线方程为，又A点坐标为（1，1），且A点关于M（3，0）的对称点C的坐标是（），直线的方程为
即
【模拟试题】
1. 过（0，1）作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有（ ）
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
2. 直线与抛物线有且仅有一个公共点是直线与抛物线相切的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 不充分不必要条件
3. 在抛物线中，以（）为中点的弦的方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. 过抛物线的焦点F作弦，则弦的中点的轨迹方程是 。
5. 若动点P（x，y）在抛物线上移动，则P与点（）的连线的中点的轨迹方程是 。
6. 过抛物线的顶点，任作两条垂直的弦OA、OB。
（1）求证：直线AB恒过一定点；
（2）求AB中点M的轨迹方程。
7. 已知⊙M：，⊙N：，动圆P与⊙M、⊙N均外切。
（1）求动圆圆心P的轨迹C的方程；
（2）延长PN与曲线C交于另一点Q，求的最小值；
（3）是否存在直线：，使得PQ的中点R在直线上的射影S满足PS⊥QS？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由。
【试题答案】
1. C 2. B 3. C 4. 5.
6. 解：（1）设，由，则直线AB的斜率为
，故AB方程为
整理得（*）
由，即
即，故（*）即=0
令，则，故AB恒过定点（0，）
（2）设AB中点M（x，y），AB斜率
由，（由AB恒过定点（））
则
化简得点M的轨迹方程为
7. 解：（1）设动圆P的半径为，依题意，
两式相减得，故点P的轨迹为以M，N为焦点，焦距4，实轴长为2的双曲线右支，故C的方程：
（2）当PQ斜率不存在时，易求得
当PQ斜率存在时，设，代入双曲线方程并整理得
PQ与双曲线右支交于两点的充要条件是
得
由N为焦点，则PQ为双曲线的焦点弦，故
（由）故最小值为6
（3）直线存在时，PS⊥QS，为，则点R到的距离（）
故
又
故 而，故，则
故当时，这样的直线存在，当时，这样的直线不存在
注：（3）中若，则
由
① 当时，
② 当时，
故当或时，这样的直线存在
当时，这样的直线不存在。
