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对心碰撞问题的描述
对心碰撞问题的描述
摘要：本文从能量角度出发，分析了质心坐标系下两体对心碰撞前后系统能量变化。讨论了恢复系数的物理意义，通过对恢复系数的分析和动能图示法分析了各种碰撞过程，得出恢复系数为系统碰撞之后和之前质心系中相对动能之比的平方根，从中总结出了处理对心碰撞问题的通用方法。
关键字：两体碰撞 恢复系数 质心系 相对动能 动量守恒
The central impact hits the question the description
Abstract: Around this article embarked from the energy angle, analyzes the
center of mass coordinate。Discussed restored the coefficient the physics significance, through to restored the coefficient the analysis and the kinetic energy graphic
interpretation has analyzed each kind of collision process, obtains restored the coefficient after the system collision and before in center of mass ratio of relative kinetic energy square root, summarized the processing central impact to hit the question the general method.
Key words: Two body collisions. Restores the coefficient. Center of mass. Relative kinetic energy. Conservation of momentum
1.引言
碰撞问题是物理学研究的对象，在所有自然界中的碰撞有两个特点，首先，碰撞在短暂时间类相互作用很强，在一般研究中通常不考虑外界影响；其次碰撞前后状态变化突然且明显，适合于用守恒律研究运动状态的变化，而在研究碰撞的理想模型中有两种碰撞——若有两球碰撞前的速度矢量连线与沿着两球球心的连心线平行，这样的碰撞在力学上我们通常将其称为对心碰撞或正碰。相反则称之为非对心碰撞或斜碰。我们在通常研究碰撞时可以将非对心碰撞进行处理，从而可以使用对心碰撞的研究方式进行处理，本文在此针对对心碰撞进行分析。
2.对心碰撞的理想模型
在光滑水平面上，两球体 和 分别以初速度 和 发生正碰，碰撞之后各自速度为 和。由于外力矢量和为零，故动量守恒，有
（2-1）
在气垫轨道上或在气桌上做对心碰撞试验，可测出。以各种不同初速度实验，牛顿总结了各种碰撞实验结果表明，对于材料一定的球，碰撞后分开的相对速度
与碰前接近的相对速度成正比。碰前靠近的相对速度为，碰后的分离的相对速度为 ，于是有
（2-2）
比例常数牛顿将其定义为恢复系数，由两球材料的弹性而决定 。
由于初始速度为已知，在此将（2-1）和（2-2）联立求解，碰撞后的速度为 （2-3）
（2-4）
针对对心碰撞我们在此引入质心系。由柯尼希定理可知质点组的动能为质心的动能和各质点对质心的动能之和，则质心系的相对动能 ，质心整体的平动动能 。将柯尼希定理应用于对心碰撞问题，则在对心碰撞问题中碰前相对速度为，碰后的分离的相对速度为 。
则两球体碰撞前后的动能为
（2-5）
其中 为折合质量 ,为质心的速度
（2-6）
对于此系统碰撞前后系统动量守恒，则由（2-1）和（2-6）可得 ，故整个碰撞过程中质心平动动能不变。
在此我们将（2-2）与（2-5）式结合可得：
（2-7）
由上式可以说明恢复系数等于碰撞后与之前质心系中相对动能之比的平方。
3.碰撞的描述及其分类
3.1以恢复系数对碰撞的描述
3.1.1
，即碰撞前后两球的相对速度大小不发生变化
（ 3-1-1）
将上式可以写作
（3-1-2)
将（3-1-1）与（3-1-2）相乘可得
（3-1-3）
由3-1-3式我们可以发现碰撞前后系统总动能不变，即机械能无损失。 将（2-1）与（3-1-3）式联立可得碰撞后速度为：
（3-1-4）
现就上进行讨论：
（1）.
此时可得，即两球碰撞之后只是进行了速度交换。如果 碰撞前静止，即 ，则 和 发生碰撞之后， 以 的初速度继续前行，而 又保持静止。由此可以发现的初动能完全转化为 的末动能。
（2）.时，相当于用一个很小的球去碰一个很大的球，因 ，故
因为 ，因此，此时即用质量很小的球去碰一个质量相对庞大的球，大球丝毫未动，而小球却被碰得按原路返回。
（3）.时，相当于用质量很大的球去碰一个质量很小的球，因 ，则，表明大球在发生碰撞前后运动状态几乎没有发生变化，而小球则以2倍于大球的速度被撞出去。
结合以上我们通常将这类的碰撞称之为完全弹性碰撞。
3.1.2.
，则，即两球碰撞之后并未分开，而且以同一速度运动。由此可得
（3-2-1）
由上式解
（3-2-2）
碰撞后动能损失为：
（3-2-3）
在，在此种特殊情况下 ，其中 为初始动能。若 ，则动能完全损失； ，则动能几乎没有损失。
对于这类碰撞我们称之为完全非弹性碰撞。
3.1.3 .
对于此类碰撞通过2-7式可以得出系统在碰撞之后两球分开，且有一部分动能损失，与3-1-2相比，此类碰撞机械能损失较小，由于自然界当中一切形式的过程均满足能量守恒定律，因此对于此类碰撞其损失的动能最终转化为其他形式能量，例如内能，声音等。
3.1.4.
通过对（2-7）式分析，我们发现系统的机械能有所增加，则可以断定此类碰撞过程中一定伴随着能量的释放，这种碰撞例如两枚炮弹相撞并发生爆炸的过程。
对于 和的两种过程我们通常称之为一般非完全弹性碰撞。
3.2以能量图像对碰撞的描述
结合2-5式我们由柯尼希定理得系统总动能为 （3-2-1），又因为我们由上可知对一个给定系统而言，其质心的平动动能 为一个不变量，只有相对动能发生变化，则碰撞系统末状态所对应的点只能在如图所示的抛物线上。
根据系统取值的不同我们对此进行如下讨论：
（1）完全弹性碰撞
系统末状态在b点取值与初状态d点的总动能相等，即初末状态的相对动能也相等，此时有 ，这就是通常所说的完全弹性碰撞。
（2）完全非弹性碰撞
系统末状态在c点取值，则两球碰撞之后粘在一起，相对运动速度为0，此时系统末动能达到最小，说明系统在此能量损失最为严重，相对动能没有转化为动能，即有 ，这就是严格的完全非弹性碰撞。
（3）一般碰撞
若系统的末状态在 段（不包含b,c）取值，通过通过图可以看出 ，系统有一定的相对动能损失，同时又有一部分相对动能被转化为系统末状态的相对动能，且碰撞小球 的末速度 小于小球 的末速度 。
（4）击穿碰撞
若系统末状态在抛物线 段（不包含此c,d）上取值，则由此可得 ，小球发生击穿，相对动能有一定的损失，有一部分 动能没有发生转换。可见，击穿碰撞与一般非弹性碰撞并无本质上的不同，击穿碰撞只是一般非弹性碰撞的一种特殊形式，是一种广义上的一般非弹性碰撞。
（5）放能碰撞
若系统的末状态在抛物线的 段（不含b点）上取值，则可知碰撞后系统的总动能比碰撞前大，因而可以说明碰撞过程伴随有能量释放，因而称之为放能碰撞。例如爆炸。
（6）击穿放能碰撞
若系统的末状态在抛物线 段（不含d）上取值，则可知碰撞后系统的总动能比碰撞前大，且 ，此过程中不仅发生击穿而且还伴有放能。在此我们将其称作击穿放能碰撞，这种例子如军事上的穿甲弹。
4.总结
由以上的分析可知，恢复系数 等于碰撞后与之前质心系中相对动能之比的平方。从碰撞前后的恢复系数角度来看，将 的碰撞称之为完全弹性碰撞。对于 这类碰撞我们称之为完全非弹性碰撞。对于 和 的两种过程我们通常称之为一般非弹性碰撞。从碰撞前后动能变化的角度来看，完全弹性碰撞对应于动能无变化的情况，完全非弹性碰撞对应的动能损失最大。对于一般非弹性碰撞、击穿碰撞、放能碰撞以及击穿放能碰撞，其都有共同的特点就是碰撞前后动能都有一定的变化，但变化没有达到极大。从另一层面我们可以将碰撞分为：完全弹性碰撞，完全非弹性碰撞，一般非弹性碰撞。
5.学习中的应用
对于以上所分类的各种碰撞情况通常在中学物理中令许多学生非常容易发生混淆，很难分清在各种碰撞情况中该如何使用动量定理或机械能守恒定律，通过上文的分析我们可以很容易的找到各种碰撞过程的区别，而从中可以得出在各种理想碰撞过程中系统始终满足动量守恒定理，而只有在完全弹性碰撞过程中满足机械能守恒定律。
参考文献
【1】赵凯华，罗蔚茵.新概念物理学教程力学[M].北京：高等教育出版社，1995:141-147.
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