爱华网统，完成扫描参数的设置、总体控制、图像的显示和存储等功能。由于投影数据量非常大且重建比较耗时，因此设计了一个单独的重建引擎完成图像重建，它一般由专门设计的DSP阵列或高性能GPU组成。
在整个CT系统中，探测器和DAS的性能对图像分辨率和信噪比有直接的影响;探测器的排数、X光管的热容比以及扫描模式决定了扫描时间的长短。这几部分都是CT系统设计的关键技术所在。
2.2 CT重建的原理
一部完整的CT系统主要包括扫描部分（包括线阵排列的电子辐射探测器、高热容量调线球管、旋转机架），快速计算机硬件和先进的图像重建、显示、记录与图像处理系统及操作控制部分。
CT是用X线束对人体的某一部分一定厚度的层面进行扫描，由探测器接收透过该层面的X线，所测得的信号经过模数转换（ADC），转变为数字信息后由计算机进行处理，从而得到该层面的各个单位容积的X线吸收值即CT值，并排列成数字矩阵。这些数据信息可存储于磁光盘或磁带机中，经过数模转换（DAC）后再形成模拟信号，经过计算机的一定变换处理后输出至显示设备上显示出图像，因此又称为横断面图像。CT的特点是操作简便，对病人来说无痛苦，其密度分辩率高，可直接显示X线平片无法显示的器官和病变，它在发现病变、确定病变的位置、大小、数目方面非常敏感而可靠，而在病理性质的诊断上存在一定的限制。
CT与传统X光摄影不同，在CT中使用的X光探测系统比摄影胶片敏感，一般使用气体或晶体探测器，并利用计算机处理探测器所得到的资料。在这两种检查系统中都使用大致相同的方法产生X光。CT的特点在于它能区别差异极小的X光吸收值。与传统X光摄影比较，CT能区分的密度范围多达2000级以上，而传统X光片大约只能区分20级密度。这种密度分辨率，不仅能区分脂肪与其它软组织，也能分辨软组织的密度等级，例如能区分脑脊液（CSF）和脑组织及区分肿瘤与其周围的正常组织。这种革命性技术显著地改变了许多疾病尤其是颅内病变的诊断方式。
CT成像可以简单的概括为获取投影数据和重建两个过程。一般利用高能射线从物体外部扫描，利用探测器接收透射后的射线即可计算出投影数据。重建过程主要依赖于计算机的高速运算能力，根据各种算法从大量的投影数据中恢复出断层图像。在目前的应用中，X射线设备占绝大部分，当然也有其他射线，例如Y射线CT，但作用机理和X射线没有多大区别。本节主要主要介绍X射线CT的一些基本成像原理。
CT的基本思想如下：
取一理想的X射线源，它发出极细的笔束X射线，在其对面置一检测器。测出X射线源发出的强度I0，以及经过物体衰减以后到达检测器的X射线强度I，再将X射线源与检测器在观察平面内同步平移一定步数Nt。每平移一步均做同样的测量。如此取得一组数据。然后旋转一个小角度??，再同步平移Nt步，取得新角度下的另一组数据。如此重复，直至旋转N?次，做N????1800旋转，取得N?组数据而后止。
先假设物体时均匀的，物体对于X射线的线性衰减系数为?强度为I0的X射线行进x距离后，衰减至I，按Beer定理有：
I?I0e??x (2.4) 或
?x?ln(I0/I) (2.5) 若物体是分段均匀的，各段的线性衰减系数分别为?1,?2,?3,?,相应的长度为x1,x2,x3,?，则下式成立：
?1x1??2x2??3x3???ln(I0/I) (2.6) 更一般地，物体在xy平面内都不均匀，即衰减系数???(x,y)，则在某一方向l，沿某一路径L的总衰减为：
??dl?ln(I0/I) (2.7) L
此即射线投影。若未指定具体路径，只说明沿某一方向，即??dl称为投影，投影是一组射线的集合。显然，测得I0与I，即可知道??dl。而我们的任务是根据一系列的投影??dl，推求被积函数?。这样就能得出相应于?分布的图像。这就是从投影重建图像，也就是X—CT成像的大致概念。
3基于Radon变换的CT图像重建
3.1 Radon变换
将物体表示为R2空间上的有界函数.f(x1,x2)其投影可表示为沿某一路径L的积分:
??
g?
???f(x,x)dL (3.1) 12
若定义一个如图3.1所示的笛卡尔坐标系，积分路径用(?,l)标定，则式(3.1) 可以改写为：
????
g(?,l)?
??????f(x,x)?(xcos??x1212sin??l)dx1dx2 (3.2)
1917年奥地利数学家Radon证明了式(3.2)的逆变换为
f(x1,x2)?
12?2??00????122x1?x2cos(tg?1dgd?dl2??)?1dlx1
因此，式(3.2)也被称作Radon变换，其逆变换指出由若干扫描角度下的投影数据可以重建物体断层图像，是CT重建的理论基础，具有重大的指导意义。
图3.1 Radon变换的坐标系统
3.2投影定理
投影定理或者叫中心切片定理，它反映了投影数据、图像空间和图像频域三者之间的相互转换关系，是FBP重建算法的基础，三者之间的关系如图3.2所示。
由图3.2可知，目标物体f(x1,x2)在视角?下的投影g(?,l)的一维傅里叶变换F1[g(?,l)]给出f(x1,x2)二维傅里叶变换F(w1,w2)?F(p,?)的一个切片F(p,?)。切片与w1轴成?角，且通过坐标原点。即:
F1[g(?,l)]?
F(p,?) (3.3) ^^^
图3.2投影定理示意图
1 绪论
1.1 CT成像概述
1895年伦琴发现了X射线，利用X射线照片可以在不破坏物体的情况下看到物体的内部结构，开创了无损检测/无创检测的先河。X射线照片技术从最早的依赖于胶片的照相技术，发展到现在的高分辨率数字化直接成像技术，取得了长足进步，在工业和医学中一直发挥着重要作用。但是X射线照片技术将三维物体投影成二维图形，物体内部结构在投影过程中被叠加，损失了其中一维信息。断层成像的基本思想早在上世纪四十年代就己经出现，由于没有得到现代计算机技术的支持，未能设计出成功的断层成像设备，但己经清晰的描述了断层成像设备的基本原理。直到六、七十年代，由Cormack与Hounsfield等人的努力，先后建成了第一台CT和第一台临床CT，开创了断层成像这一新的领域。目前，CT己经成为医院中不可或缺的诊断工具和科研手段，在工业各个领域也得到广泛的应用。在医学应用中，CT与普通X射线平片技术相比，具有如下优点:
(1)能提供没有组织重叠的断层图形;
(2)有很高的密度分辨力，吸收系数相差很小的组织也能被区分;
(3)能测出各种组织的准确CT值，对病变进行定量分析。
自第一台CT扫描机问世以来，经过多年的发展，X射线CT的各个主要部件都有很大的改进，从射线源和探测器的结构考虑，至少可以把CT扫描系统分为五代。第一代CT扫描机由单笔束X射线源和单探测器构成，扫描时间非常长;第二代扫描机采用多个笔束X射线源和探测器，能同时在多个角度扫描，将扫描时间缩短至多数病人能屏住气的范围内，对于人体扫描来说是一个重要里程碑;第三代CT采用扇束X射线源和等角度或等间距排列的探测器阵列，进一步缩短了扫描时间，目前市面上的CT扫描机均仍采用这种模式;第四代CT采用闭合圆环状探测器，在扫描过程中X光管旋转而探测器保持静止，能解决第三代中存在的探测器的稳定性和采样不足引起的混乱等技术缺陷，但由于经济和实用的角度
考虑，第四代己经基本被淘汰;第五代CT扫描机采用旋转的电子束为射线源，主要用于心脏检查。
早期的CT采用单次步进扫描方式，在上世纪90年代初出现了螺旋采集的CT，加快了扫描速度。螺旋CT将面向切片的成像方式带入了面向器官的成像方式。在此基础上，出现了多排探测器和锥形束X射线源，往多层CT的方向发展。图
1.1是东芝的一款320排CT的外观图，具备全器官覆盖能力，能够在0.3秒以内完成一个器官的扫描。多层CT缩短了器官成像扫描时间，也在一定程度上降低了总剂量。最近，多源CT的问世将进一步缩短扫描时间，扩展CT的功能和临床应用范围。
在近几十年的发展历程中，CT领域一直保持着强劲的发展势头，无论在基本技术方面，还是在新的临床应用方面都取得了巨大的发展。根据领域专家的预计，CT领域在未来十年内将继续保持这种强劲的发展势头。CT也必将在工业和医学领域发挥更加重要的作用。
准确的说，CT是一种通用的技术，若将投影数据获取方式扩展到声、光、电、磁等方面，利用CT技术可以重建出物体内部相应的各种信号性能分布，应用于各个领域，如超声CT、磁共振CT、电容CT以及地球物理CT等。可以说，CT技术的出现促进了其它生物医学成像技术以及无损检测的发展。本文主要研究基于变换域的CT重建算法和相关技术。
1.2论文研究意义和国内外现状
1.2.1 CT重建算法
自第一台CT问世以来，人们一直致力于研究性能更好的CT扫描系统和更先进的图像重建算法以追求更短的扫描时间和更佳的成像性能，从而满足不断发展的生物医学成像应用需求。归结起来，CT领域的研究重点主要有两个方向:扫描系统和重建算法。扫描系统主要包括射线源、探测器、机架以及相关辅助设施，这相当于人体的感觉器官以及支撑这些器官的身体;重建算法将采集到的投影数据恢复为物体断层图像，相当于人的大脑，将感官获取的信息整合成具体的事物。
因此，扫描系统是CT的基础，而重建算法是CT核心。
早期的重建算法针对二维图像重建，主要分为三类:傅里叶重建算法、滤波反投影重建(FBP)算法和迭代重建算法。傅里叶重建算法仅具备理论意义未在实际中应用;迭代重建算法由于计算代价大、普适性较差以及医生的阅片习惯难以改变而未得到推广，仅在少数场合应用;FBP算法在绝大部分情况下重建质量好且运算量小，几乎被所有的X射线CT系统所采用。在过去的几十年中，CT扫描系统发生了一次又一次的重大变革，然而采用的重建算法本质上没有太多变化，基本上都是二维FBP算法的改进和推广，FBP算法是CT重建的金标准。例如FDK算法即为FBP在三维CT重建中的推广。FDK算法及其改进形式仍然为大多数商用CT采用。
FBP算法在CT领域占有举足轻重的地位，但自身一直存在很多缺陷，主要是对投影数据完备性要求很高，表现在:(1)需要在均匀且密集的角度下获取大量投影数据才能达到良好的重建效果，通常在二维扫描中需要采集1000个以上角度下的投影，投影角度偏少会导致明显的条状伪影。这导致了CT扫描需要的时间很长，带来了剂量大以及运动伪影等相关问题。(2)对投影数据集要求非常高，投影数据集必须精确且连续。探测器故障、长物体扫或者被检测物体的运动等很多因素都可能导致数据损坏，金属物体会导致投影数据不连续，从而引起各种伪影。(3)它对噪声较为敏感，因此需要高剂量才能保证信号的高信噪比。
实际上，人们为解决上述FBP算法的不足而进行的研究从未停止过。早期解决上述问题的算法主要属于迭代类重建算法，包括基于几何结构的ART迭代重建算法和基于统计模型的统计类迭代重建算法。特别是统计类重建算法具有物理模型准确、对噪声不敏感且易于加入约束等优点，特别适合低剂量CT以及投影数据质量较差的场合。在过去的十多年间，统计迭代重建一直是研究热点，也取得了很多成果。特别是有序子集、优化变换和增量方法等三个概率的引入，统计迭代己经形成了完善的理论体系在很多场合下，统计迭代重建质量被普遍认为要优于FBP算法，但其仍未得到推广。究其原因，一方面是由于统计迭代自身仍然存在不足，主要是重建时间较长和适应性较差(最佳成像质量严重依赖于参数选取) ;
另一方面是由于长期以来FBP算法的缺陷没有当前这么突出。为什么说当前FBP算法的缺陷尤为突出?最主要的原因是CT的高剂量所带来的致癌问题在近年引起了广泛关注，而基于FBP算法的CT系统在剂量降低方面己经越来越难。X射线透射过程中，会将部分能量转移到人体内，引起辐射损伤甚至直接破坏DNA分子键致癌。CT提供的剂量比其他放射性检测都要大很多, Sodickson等人的研究报告均指出CT检测带来了较高的致癌风险。剂量问题也成为了当前CT领域必须攻克的难题。降低剂量的策略主要有:
(1)要求医生严格遵守CT检测指导性原则即避免滥用和遵循最优参数设置。
(2)研制新型探测器、X光球管以及过滤器等，是进一步降低剂量的发展方向，但目前存在许多难以克服的问题，需要相关学科的重大技术突破。
(3)直接降低管电流:牺牲图像信噪比来换取低剂量。
(4)采用基于X射线衰减水平的管电流调制方式以及针对每个病人设置合适的检测方式，最多可以使总剂量降低50% 。
(5)从算法角度出发，改进数据采集、处理以及重建过程来降低剂量。
总的来说，前几种策略曾经对降低剂量做出了很大的贡献，但很难进一步降低剂量，而从算法方面来降低剂量被广泛认为具有很大的潜力。FBP算法对投影数据的数量和质量都有很高要求，出于对降低剂量的强烈需求，FBP算法的上述缺陷被无限放大。因此，研究对投影数据要求宽松的重建算法具有重要的意义。近年出现的基于压缩传感的重建算法，在采样理论上有重大突破，且兼备迭代重建算法的优点，因此在解决FBP算法的上述缺陷，特别是解决剂量问题比迭代重建算法具有更大的潜力，成为了当前新的研究热点。
Candes在2006年证明了可以从少量傅里叶频域系数中重构出原始信号，为压缩传感奠定了理论基础。紧接着，在2006年Donoho和Candes等人正式提出了压缩传感理论的概念。压缩传感作为一种新的信息获取指导理论，指出可以用远低于奈奎斯特标准的方式进行采样，仍能够精确地恢复出原始信号。该新颖的理论立刻引起了广泛关注，大量杰出的数学家投入到该理论的研究中，使得压缩传感理论框架逐渐成形。这部分创新性的理论工作主要是包括观测矩阵设计和信
号重构算法。工程领域的研究人员也迅速注意到了压缩传感理论的潜力，将其引入信号/图像处理、医疗成像、光学/雷达成像、无线通信等众多领域。在医疗成像方面，Sidky EY et al率先将压缩传感理论引人扇束CT中，提出丁基于有限差分变换的
POCS-TVM算法，对局部平滑性很好的图像有较好的重建效果。Chen GH等人在此基础上引入更多先验知识作为约束，将该方法应用于动态CT成像中。国内的Zeng Li等人也利用图像的先验知识对POCS-TVM算法进行了改进，在迭代过程中利用CV算法分割物体区域，对分割区域进行中值平滑，在工业检测中解决局部扫描重建问题取得了很好的效果。Sidky EY等人在2008年又将TVM过程进行了改进，根据噪声水平自适应的调节最优步长，将该方法用于锥束CT重建中。随后，Sidky EY又先后与多人合作，将该方法应用于碳纳米管CT重建以及胸部层析等领域。以Sidky EY为代表的研究人员提出的算法均是以有限差分变换为稀疏变换，以全变分为目标函数建立的重建模型，该类方法能很好的恢复被检物体的轮廓结构，重建结果稳定，但是实际人体CT图像的有限差分图像稀疏性不是特别好，重建图像细节容易丢失。因此，很多研究人员希望将其他稀疏表示更好的稀疏变换引入CT重建中，并寻找到快速稳定的解法，将会有助于提升重建图像质量。这类方法主要有基于双向一维差分变换的方法，基于伪逆有限差分变换的阈值迭代法以及国内Luo JH等人提出的基于b一谱分析的重建方法。但目前为止，该类方法仍然缺乏一种快速稳定的求解方法，因此基于有限差分变换的全变分方法仍然是最好的选择。另外，Yu HY等人还利用压缩传感理论证明了在某些给定条件下的内CT问题存在唯一解，从而为内CT问题奠定了理论基础。基于压缩传感理论的CT重建方法还被应用于CT的过采样数据重建等众多领域。总之，基于压缩传感的CT重建方法具有很好应用前景，而其在重建理论和具体应用中都还有待进一步创新和完善。
总之，研究基于变换域理论的重建算法的重建理论以及其在剂量问题和伪影校正领域的应用，将促进CT成像理论和CT系统的进一步发展和完善;研究该类重建算法的加速方法同样重要，对其投入临床使用以及进一步的推广将有重大促进作用。
1.2.2 运动伪影校正
伪影校正是与CT重建算法相关的一个重要研究课题。CT设备和重建算法的局限性以及病人自身的因素都会导致图像伪影的产生，运动伪影就是其中最典型也最难校正的一类伪影。
由于CT成像需要一定的时间，在此期间病人自主或者非自主的运动破坏了投影数据的一致性和完整性，从而在重建图像中表现出各种伪影，称之为运动伪影。运动伪影主要表现为组织图像重叠模糊、条状伪影、图像轮廓位移以及腔体出现类似附着物的物体等多种形式。伪影的出现会影响医生的正常诊断，还会给基于CT图像的自动病变检测、计算机辅助诊断、三维重建等图像后处理工作带来困难，严重制约CT成像的发展和临床应用(Hsieh J,2003)。运动伪影校正方法的研究对于CT成像技术的进一步完善以及适应各种新兴的医疗应用需求具有十分重要的作用。
CT运动伪影产生的根源在于其成像需要一定的时间，因此缩短扫描时间是一种直接有效的抑制运动伪影的方法(Hsieh J,2003)。例如可以通过增加放射源的旋转速度或者使用多个放射源来改善时间分辨率，然而这种策略会极大的增加硬件设计难度和硬件成本。重达数百公斤的X光管和探测器需要绕滑环高速且稳定旋转，对机械性能是个很大的挑战，旋转速度不均匀或者设备的轻微抖动等都会导致伪影的产生。通过多个放射源来缩短扫描时间是新的发展方向，在增加发射源的同时还需增加配对的探测器，这都极大的增加了硬件成本，另外多个放射源和探测器组的协调工作以及重建算法都存在着很多困难。
目前CT的最小单次扫描周期大约在 0.3 秒左右，相比于早期的几十秒的扫描周期要小很多，因此运动伪影也得到了很大的改善，这也正是CT得到广泛应用的一个重要原因。然而，即使扫描时间大大缩短，研究人员发现运动伪影仍然以很高的概率发生。国内第三军医大学的研究人员对 150 多例腹部CT图像进行了统计，发现由病人自主运动导致的伪影占 3.3%，由非自主运动导致的伪影比例更高，分别为呼吸运动占 24%，肠胃蠕动占 20%，心脏搏动占 13.3%（周代全，2002）。美国的 Wagner A 等人，通过大量实验对临床CT检测中病人头部运动幅度进行了统计，病人均按医生的建议尽量避免自主运动，统计结果指出病人头部
的平均平移指数，平均为 2.5mm 和平均旋转指数(Mean Rotation Excursion，MRE)平均为 1.06。这仅是一个平均值，在某些情况下运动幅度要大很多，而且随着人们对高分辨率CT图像的需求越来越大，即使微小的运动也会对高分辨率CT图像带来较大的影响，在微CT中会更为显著（Wang Getal, 2005）。当运动伪影严重到影响医生的正确诊断时，医生往往采用重新拍片的方式，这显然增加了病人受 到的CT高剂量危害的风险。因此，从算法方面对运动伪影进行校正显得尤为重要。
1.3 论文研究内容和结构安排
本文主要研究内容是基于变换域的CT图像重建，主要采用两种方法进行图像的重建，一种是基于Randon变换的滤波反投影重建（FBP），另一种是基于小波变换的图像重建。接下来，本论文将针对以上两种方法展开详细的讨论：
(1)第1章，绪论，主要是关于CT成像的概述以及国内外发展的现状，最后是本文的研究内容和结构安排；
(2)第2章，介绍CT成像的理论基础，CT成像的结构和基本原理；
(3)第3章，基于Randon变换的CT重建原理，阐述FBP算法的具体过程和实验结果；
(4)第4章，基于小波变换的CT图像重建，介绍小波变换和OMP算法的原理。 2 CT成像理论基础
本章简单介绍CT成像相关的基本原理，为基于变换域的CT重建算法和运动伪影校正奠定理论基础。主要内容包括X射线物理基础、CT扫描方式和成像原理、CT系统构成、数学基础以及常用重建算法等，还给出了重建图像质量评价方法和CT成像的计算机仿真方法。
2.1 CT成像的结构与物理基础
CT成像可以简单的概括为获取投影数据和重建两个过程。一般利用高能射线从物体外部扫描，利用探测器接收透射后的射线即可计算出投影数据。重建过程主要依赖于计算机的高速运算能力，根据各种算法从大量的投影数据中恢复出断层图像。在目前的应用中，X射线设备占绝大部分，当然也有其他射线，例如Y射线CT，但作用机理和X射线没有多大区别。本节主要主要介绍X射线CT的一些基本成像原理。
2.1.1 X射线物理基础
X射线通常是用高速电子撞击靶材料，将动能转换为电磁辐射得到。高速电子与靶材料相互作用，会发生多种类型的碰撞。其中大部分高速电子会将靶原子的外层电子轰出，导致靶原子电离，只引起8射线并最终转换为热量。因此，一个典型的X光球管，超过99%的能量输入转换为热量。产生X射线的相互作用主要有三类。第一类是高速电子被靶原子核电场减速时产生韧致辐射，这类辐射形成连续光谱;第二类是高速电子将靶原子的内层电子从壳层打出时，外层电子填充壳层产生特征辐射，特征辐射产生的能量是唯一的;第三类是高速电子直接碰撞靶原子核，全部动能转换为X射线，这类辐射概率很低，接近于零。
由电子轰击钨靶得到的X射线是多能的，具有一定的能谱宽度，能量主要集中在特征辐射附近。但在CT重建的过程中，往往将X射线近似看做单能射线，这样会引起射束硬化，将在第7章中进一步讨论。另外，X球管发出的X光子和探测器接收的光子都可以用Possion分布模型描述。
(n)2e?n
P(N?n)? (2.1) n其中，N是单位时间内发射出或接收到的光子数，n是均值，表征了X射线的强度。X射线透射物体时与物质的相互作用主要有光电效应、康普顿效应和相干散射。光电效应是最主要的一种相互作用，也是不同物质产生吸收系数差异的原因。发生光电效应的概率大约与额外光子能量的立方成反比，与物质的原子序数立方成正比。所以，原子序数差别不大的物质也会导致光电效应概率差别较大，
产生很大的对比度;另外能量较低的光子更容易区分低对比度物体。康普顿效应产生的概率取决于材料电子密度，与原子序数关系不大，所以几乎不能提供不同物质之间的对比度信息。因此，CT设备都会采取多种措施试图减少康普顿效应的影响。另外，康普顿效应和相干散射都会在一定程度上将能量转移到相邻切片，增加了不必要的剂量。经过光电效应、康普顿效应以及相干散射，X射线产生衰减，可以用Lambert-Beers定理描述衰减的程度。
s
??(l)dl
I(s)?I0e?0 (2.2)
其中I0和I分别是透射和入射的X射线的强度，l是材料厚度，?是线性衰减系数。上式中的积分部分实际上就是物体吸收系数在射线路径上的投影，由此可以得到投影数据获取公式:
I P???(l)dl?ln(0) (2.3) I0
2.1.2扫描原理和正弦图
CT扫描的基本思想是:理想X射线源发出极细的X射线束穿过受检物体，在其对面置一探测器测出透射强度I，并根据参考射线得到入射强度I0，利用式可以计算出该射线路径上的投影测量值。再将X射线源与探测器保持同一角度并平移，以同样的方式获取若干条平行射线的投影。然后将X射线源与探测器同时旋转某一角度，再获取另一组平行投影。旋转和平移的扫描过程如图所示： s
图
2.1平行束扫描模式
如此获得的一系列的投影数据是关于扫描角度和探测器偏移位置的二维函数，且物体成像平面上的一点与投影空间成正弦对应关系，因此投影数据通常叫做正弦图，如图2.2所示。事实上，正弦图中的一点，就是被测物体在某个扫描角度和探测器偏移位置下的线积分。CT重建的问题可以表述为:给定一组被测物体的线积分，如何估计或精确计算它的衰减分布。
图2.2正弦图
平行束扫描模式需要在每个角度下多次平移射线源和探测器，导致了很长的扫描时间和高剂量。因此出现了第三代CT，采用相对静止的扇束放射源和环形探测器，单次曝光即可完成一个扫描角度的全部投影值，如图2.3所示。扇束扫描极大的缩短了扫描时间，是CT发展过程中的一次飞跃，目前的CT都采用这种模式。
图2.3扇束扫描模式
平行束扫描模式是绝大部分CT理论的基础，很多CT相关的定理都是先在平行束模式下推导得出，然后再拓展到其他模式。本文的部分工作内容也是按照这种思路，即先研究平行束扫描情形，然后再推广到扇束或者锥束扫描。
2.1.3 CT系统结构
CT由扫描系统、数据采集和传输系统以及主控台构成，整个系统的结构示意图如图2.4所示。扫描系统提供X射线发生装置并将穿过受检物体的射线转换为电信号，数据采集系统将探测器输出的模拟电信号转换成数字信号，并通过射频或光纤发送给主控台完成图像重建。主控台由一个控制整个系统工作的主控计算机和一个实现图像重建的高性能计算平台组成。
图2.4 CT系统结构示意图
扫描系统主要包括X射线源、探测器、机架以及扫描床等。射线源由高压发生器、X光管以及过滤器等组成。高压发生器提供一个120KV左右的高压，加速电子用于轰击钨靶产生X射线，并采用蝶形过滤器滤除低能光子。探测器直接接收X线束穿过受检物体后的光子信号，通过其自身的特性转换为相应的电信号。一个典型的探测器包括介质(如气体、闪烁体等)、光电转换阵列和电子学部分，此外还有准直器、电源等辅助设备。机架是 CT系统的又一个关键的部件，它的核心是滑环和电刷。滑环是一个导电的金属环，它与电刷接触导电来处理机架旋转部分和静止部分的馈电和信号传输，省却了电缆，从而使得机架可以单向连续旋转进行连续扫描，是螺旋CT的基础。
目前的CT都采用了多排探测器，能在单次扫描完成多层切片成像。层厚的选择可以通过调节准直器和改变探测器单元连接线路来实现。图2.5是一个具有22排探测器的情况，若要选择4层1mm层厚的切片，可以通过如图所示方式选择探测器单元，即中间两个切片用两个0.5mm的单元合并获得，上下两层切片由单独的1mm单元完成。显然，由这个22排探测器可以获得多种层厚组合。
图2.5 22排结构探测器实现四层lmm层厚的组合示意图
数据采集系统(Data Acquisition System, DAS)的功能是将探测器产生的模拟电信号进行积分、放大和A/D变换，最终转换成计算机可以使用的数据，并通过先进的通讯方式，快速、准确地传给计算机。
主控台由主控计算机和重建引擎组成。主控计算机运行着整个CT的软件系
根据投影定理，可以把投影数据转换为频域数据。因此，可以将频域信号处理的一些工具引入到CT的重建和图像处理中。例如，可以采用傅里叶重建方法重建CT图像，即每个角度下的投影数据对应于频域空间空间切片，所有的投影数据可以构造出整个二维频域空间，然后通过直接傅里叶变换重建或者先网格化后用快速傅里叶变换重建。
3.3 基于Randon变换的FBP重建
3.3.1 算法的流程
设待重建图像为a(x,y)，它的二维傅氏变换为A(?1,?2)?A(?,?)。根据中心切片定理，A(?,?)可通过a(x,y)在不同视角?下的投影p?(xr)的一维傅氏变换求得。即:
A(?1,?2)?A(?,?)?F1[p?(xr)]?P?(?)?P(?,?) (3.4) 待建图像： ^^^
a(r,?)?a(x,y)?F2?1[A(?1,?2)]
?
^14?2?0?????^
?????A(?1,?2)ei(?1x??2y)d?1d?2 (3.5) ????????A(?,?)ei2??rcos(???)?d?d?
?
0??P(?,?)ei2??rcos(???)?d?d?
?
????d??0??P(?,?)ei2??rcos(???)d?
因为xr?rcos(???)，所以有：
?1x??2y?2??(xcos??ysin?)?2??xr?2??rcos(???)
(3.6)
同时：
d?1d?2?Jd?d?
先来看该式的第二个积分：
??
???P(?,?)ei2??rcos(???)d????P(?,?)ei2??x|x?rcos(???)d?r?
??r
?h(xr)?p(xr,?)|xr?rcos(???)
?g(xr,?)|xr?rcos(???)
?g?rcos(???),?? (3.8)
式中：
g(x?)?h(rx?)p(?x , (3.9) r,r
式(3.9)的物理意义是投影p(xr,?)经过传递函数为??F1[h(xr)]的滤波器后得到的修正后的投影g(xr,?)在满足xr?rcos(???)时的值。将(3.9)代入(3.5)，得到：
a(r,?)??g[rcos(???),?]d? (3.10) 0^?
称为滤波反投影方程，其物理意义是经过给定点(r,?)的所有滤波后的投影在??0-?范围内的累加—反投影重建，得出(r,?)点的像素值。
可见，滤波（卷积）反投影算法具体包含三大步：
(1)把在固定视角?i下测得的投影p(xr,?)经过滤波，得到滤波后的投影g(xr,?)；
(2)对每一个?i，把g(xr,?i)反投影于满足xr?rcos(???i)的射线上的所有各点(r,?)；
(3)将步骤(2)中的反投影值对所有0<???进行累加（积分），得到重建后的图像。
3.3.2 算法的缺陷
滤波反投影算法（FBP 算法）：FBP 算法在绝大部分情况下重建质量好且运算量小，几乎被所有的 X 射线 CT 系统所采用。在过去的几十年中，CT 扫描系统发生了一次又一次的大变革，然而采用的重建算法本质上没有太多变化，基本上都是二维 FBP 算法的改进和推广，FBP 算法是 CT重建的金标准。
FBP 算法的缺陷：FBP 算法在 CT 领域占有举足轻重的地位，但自身一直存在很多缺陷。(1)需要在均匀且密集的角度下获取大量投影数据才能达到良好的重建效果，通常在2?扫描中需要采集 1000 个以上角度下的投影，投影角度偏少会导致明显的条状伪影。这导致了 CT 扫描需要的时间很长，带来了剂量大以及运动伪影等相关问题。(2)对投影数据集要求非常高，投影数据集必须精确且连续。探测器故障、长物体扫描或者被检测物体的运动等很多因素都可能导致数据损坏，金属物体会导致投影数据不连续，从而引起各种伪影。(3)它对噪声较为敏感，因此需要高剂量才能保证信号的高信噪比。
3.4 实验结果
(a)原图 (b)FBP重建图像(无噪声) (c)FBP重建图像（有噪声）
图3.3 原图和FBP重建图像
4 基于小波变换的CT图像重建
4.1图像金字塔
近年来，小波变换使图像的传输以及处理变得更加的方便。虽然在很长的时间了傅里叶变换在图像的各种处理中起着主导的作用，但是由于它的一些局限性，使得小波变换的方法诞生了。
当我们仔细的看图像时，会看到一些相互连接的图形纹理，它们的灰度级是相似的。我们用高分辨率进行观察。多分辨率处理方法适用于不同的目标物体，比如:分辨率有高有低，被检测的物件形状不规则等原因。而小波的方法将适用于这些条件下的物件的检测。
从数学的角度，图像是一个二维矩阵，对比强烈区和像边界域的突变性组合会使统计值发生的局部变换。在同一个图像中不同的部分，即便是一阶统计值也有很大的区别。所以，无法得到整个图像定的简单的统计模型。
用多分辨率来说明图像结构是图像金字塔。图像金字塔早期是用于图像压缩和机器视觉，图像金字塔是指一系列的以分辨率逐步降低的图像集合是金字塔状的。图像金字塔是用图像的多分辨率来解释图像的。由下自上，越往高图像的分辨率就越来越高。金字塔是由J+1个分辨率级构成的，2J?2J到20?20。但是大部分的金字塔只有P+1级。J?J?P......J?2,J?1,J。根据上述的理论可以退出结论:
如:一个图像的单像素近似值将会变得非常的小，它所对应的金字塔上一级的元素的总数为:
N2(1?11142??)?N (4.1) 12P3(4)(4)(4)
4.2 小波用于CT图像重建概述
在小波变换中，尤其是二维的小波变换理论中小波函数和小波包的选择。一维的小波变换与其相对应的二维小波变换是有联系的。此种关系也是类似于傅
里叶变换。小波变换是用伸缩和平移小波形成的小波基来分解（变换）或重构（反变换）时变信号的过程。不同的小波具有不同带宽和中心频率，同一小波集中的带宽与中心频率的比是不变的，小波变换是一系列的带通滤波响应。它的数学过程与傅立叶分析是相似的，只是在傅立叶分析中的基函数是单频的调和函数，而小波分析中的基函数是小波，是一可变带宽内调和函数的组合。
小波变换是一种新的变换分析方法，它继承和发展了短时傅立叶变换局部化的思想，同时又克服了窗口大小不随频率变化等缺点，能够提供一个随频率改变的“时间-频率”窗口，是进行信号时频分析和处理的理想工具。它的主要特点是通过变换能够充分突出问题某些方面的特征，因此，小波变换在许多领域都得到了成功的应用，特别是小波变换的离散数字算法已被广泛用于许多问题的变换研究中。从此，小波变换越来越引起人们的重视，其应用领域来越来越广泛。
小波稀疏变换重构图像分为三步：（1）对图像进行离散小波稀疏分解，分解低通和高通滤波器；（2）求出正交分解的系数，即正交矩阵；（3）对分解的正交矩阵用OMP算法进行系数矩阵的重构。
4.2.1 正交匹配追踪(OMP)算法
匹配追踪算法是一种贪婪迭代算法，该算法的思想是在每次迭代过程中，首先从原子库中选择与信号最为匹配的原子，并同时求出原始信号并表示残差，再选择和信号残差最为匹配的原子，再经过一定数目的迭代过程之后，原始信号便可以由一些原子线性地表示出来。
正交匹配追踪算法[33]是匹配追踪算法的经典算法，该算法是在匹配追踪(MP)算法的基础上改进而来的，其改进特点主要是把最小二乘方法引入到原匹配追踪算法中，使得重建信号的计算更为准确，但其计算时间则相对比较长，重建速度慢。目前所有的贪婪匹配算法都是建立在OMP算法基础上的，本文也是使用OMP算法和小波稀疏变换相结合进行图像的重构。
该算法如下：
输入：感知信号y,感知矩阵?(M?N)；
初始化：余量r0?y，支撑集F0??，循环次数t?1； 过程如下所示：
(1)选择感知矩阵和余量内积绝对值最大的一个元素，将其对应在感知矩阵中的原子记为?t，并且更新支撑集Ft?Ft?1??t；
(2)利用最小二乘法计算重建信号xt?argminxy??Ftx2，更新之后的余量
rt?y??Ftxt；
(3)如果rt?10?7，退出循环；
否则更新循环次数t?t?1，若t?M则转至步骤（1），否则退出循环； 输出：x??Fty；
OMP算法首次把最小二乘法引入压缩感知信号的重建中，用正交化的思想来计算重建信号使得结果更加准确，这是压缩感知重建算法取得重大研究进展的一个标志。
?
2
4.2.2 实验结果
(a)原始图像 (b)小波重建后的图像 图4.1 原图和小波重建的图像
4.3 小波变换及多分辨率分析 4.3.1 小波变换
设?(t)是一个平方可积的函数，即?(t)?L2(R)。如它的傅里叶变换?(?)达
到条件：?(t)：表示一个小波的母函数，或者表示一个小波基。
?
2
(?)
C???
R
?
??? (4.2)
将小波的母函数进行变换例如（平移），得到了下面的?a,b(t)：
?a,b(t)?
1t?b
()a,b?R;a?0 (4.3)
aa
式中，a为伸缩因子，b为平移因子。称?a,b(t)为依赖参数a,b连续小波基的函数。函数f(t)?L2(R)，f(t)的连续小波变换为：
Wf(a,b)?f(t),?a,b(t)?
2
1
a
?
R
f(t)??(
t?b
)dt (4.4) a
(?)
与傅里叶变换相似，C???公式如下：
R
?
?
???是?(t)所提出的条件。它的反演
1f(t)?
C?
??
da
Wf(a,b)?a,b(t)dt (4.5) 2??a??
??
它的离散形式是:给定a0?1，b0?1，得：
?a
j
0,kb0
?j
(t)?a0(a0t?kb0)j,k?Z (4.6)
?
j
2
公式(4.6)是由(4.3)所定义的离散的小波函数。因而，f(t)?L2(R)对应的离散的小波变换为：
Wf(a0j,kb0)??f(t)?aj,kb(t)dtj,k?Z (4.7)
?
它的反演公式为：
f(t)?
j,k?Z
?W
f
(a0j,kb0)?j,k(k) (4.8)
公式(4.7)及(4.8)给出离散小波变换公式以及相对应的反演公式。在实际的小波应用中，离散的小波变换较为广泛的应用。而连续的小波变换是一个理想的状态。可以应用于理论上的问题分析。
4.3.2 小波多分辨率的重建算法
由小波的多分辨率的性质可得出：小波变换能够在小波正交空间中分解能量有限的信号。
h(n)，g(n)所对应的傅里叶变换为：H(?)，G(?)，H(?)得：
H(?)?H(???)?1,H(0)?1。h，g二者之间关系式g(n)?(?1)1?nh(1?n)：
2
2
h2j(x,y)?2jh(2jx,2jy)?2jh2j(x)h2j(y) (4.9)
设V2j是一尺度的正交空间，A2j是一投影算子，则函数f在V2j可分解为：
A2j(m,n)?(f(u,v)?h2j(u)h2j(v))(2?jn,2?jm) (4.10)
式中h2(u)?h2j(?u)镜像滤波器，A2jf(x,y)与A2j?1f(x,y)的差为在分辨率2j
j
~~
~~
上的细节信号空间为O2j，是V2j在V2j?1上的正交补，即Vi?Oj?Vj?1O2j，又叫W2j，即小波空间。
假设g1(x,y)?h(x)g(y),g2(x,y)?h(x)g(y),g3(x,y)?h(x)g(y)，
f(x,y)在三个小波空间上可分解为：
D2j,1f(m,n)?(f(x,y)?h2(x)g2j(y))(2?jn,2?jm)
j
~~
D2j,2f(m,n)?(f(x,y)?h2(x)g2j(y))(2?jn,2?jm)
j
~~
D2j,3f(m,n)?(f(x,y)?h2(x)g2j(y))(2?jn,2?jm)
j
~~
(4.11)
其中g2j(u)?g2j(?u)。
分辨率是2j?1的图像可由2j(j?0)的分辨率图像小波逆变换得出：
~
~
A?
d2j?1
f(m,n)?
k,l???
?h(n?2k)h(m?2l)A
d2j
??
d2j
f(k,l)?
k,l???
?h(n?2k)g(m?2l)D
d2j
??
d2j
f(k,l)
k,l???
?g(n?2k)h(m?2l)D
??
f(k,l)?
k,l???
?g(n?2k)g(m?2l)D
??
f(k,l)
H(?)和假设在小波的空间有两个滤波器h和g是小波空间的两个正交滤波器，G(?)，相应的傅里叶变换。
R?(w)?(?)H(?x)H(?y),R?(w)?(?)H(?x)G(?y),R?(w)?(?)G(?x)H(?y),R?(w)(?)G(?x)G(?y)
斜滤波器K?对于小波修正后的滤波器。
4.4 小波的选择
每一副图像都会有小波的正向以及逆向的变换，所以小波基的选取会直接影响到小波的编码和它对图像处理的性能等各个方面的处理能力。数字滤波可以处理带有尺度的小波变换。其中滤波器的选择很重要。小波变换的主要能力是对图像信息的有效的压缩以及对它的重构。小波基包括：哈尔小波基，对称小波基，Daubechies小波基，双正交小波基。它们的滤波器抽头分别为：2+2，8+8,17+11,8+8(尺度+小波)。它们的调整系数为：46%，51%，51%，55%。滤波器的抽头数字越多说明，信息是很复杂的，但它的压缩能力很好。
除了小波的选择，对于小波的分解等级也是很重要的方面。它直接影响图像的重构误差，以及他的分解的级别。还会影响图像的分辨率。小波压缩图像也有
它的对应的标准例如：CCITT(二值图像图像压缩标准)的认可。其它的协议还有：ISO等。此外还有Coiflet系列的小波基。它的优点在于：在用这类小波基重建图像时，在尺度函数的支撑区间较小时，Coiflet小波的滤波器的长度会随着消失距的阶数的提高，而很快增大。此类常见的小波基有：Coif3,Coif4等小波基。
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