爱华网命题和充要条件
二. 知识讲解：
本考点内容在高考中主要考查基本概念和基本原理，不会单独命题，但会与其它知识结合，解逻辑问题的关键是熟练地掌握基本概念和基本方法。
1. 命题：所谓命题，是指可以判断真假的语句，命题分为真命题和假命题两种。
2. 命题有四种形式，即原命题、逆命题、否命题、逆否命题，其中原命题与逆否命题同真同假，逆命题和否命题同真同假，即逆否关系是等价关系。
3. 判断充要条件问题时，要注意以下几点：
（1）明确命题中的条件是什么，结论是什么；
（2）若，，则是的充分不必要条件，也称是的必要不充分条件；若，则称是的充要条件，若，，则称是的既不充分也不必要条件。
4. 要知道数学用语，如“当且仅当”，“有且仅有”是指充要条件的。
【典型例题】
[例1] 已知命题：方程有两个不相等的负实根，：方程
无实根，如果或为真，且为假，求实数的取值范围。
解：由则，即：
由，则，即：
而或为真，且为假等价于和中有且仅有一个为真，另一个为假
（1）当真假时，有则
（2）当假真时，有，则
综上，实数的取值范围是或
[例2] 设集合，，
，则点P（2，3）的充要条件是（ ）
A. B.
C. D.
解：由，则P（2，3）等价于
即故应选A
[例3] 一元二次方程（）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
解：设（）的两根为，则方程有一个正根和一个负根，等价于即，而A是充要条件，B、D均为既不充分也不必要条件，只有C是充分不必要条件。
[例4]（1）若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；（2）若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线，以上命题中，逆命题为真命题的是（ ）。
解：
（1）的逆命题为：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面，显然为假命题。
（2）的逆命题为：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点，根据异面直线的概念可知其为真命题，所以应填（2）。
该题也可利用逆否关系的等价性进行分析。
（1）的逆命题与否命题等价，否命题为：若四点不共面，则这四点中存在三点共线，它是假命题。
（2）的否命题为：若两条直线有公共点，则这两条直线不是异面直线，它是真命题，故应填（2）。
【模拟试题】
一. 选择题：
1. 设全集为U，A、B为U的子集，则下列命题中与等价的有（ ）
① ，② ，③ ，④
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 已知：，：的两根介于和4之间，则是的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 如果是B的充分而不必要条件，那么A是B的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知，，其中为正实数，则，，同时成立是成立的是（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也不必要条件
二. 填空题：
5. “对任意实数，不等式（）成立，则，”的逆命题，否命题和逆否命题中，真命题共 个。
6. 下列四个命题：
① “”是“，或”的充分不必要条件
② “”是“”的必要不充分条件
③ “”是“有实根”的充分不必要条件
④ “”是“”的充要条件
⑤ “若，则”的逆否命题是“若”，则，其中真命题的序号是 。
【试题答案】
一. 选择题：
1. D 2. A 3. B 4. C
二.
5. 3
6. ①②③
