爱华网原卷道题均为不定项选择题．这里收录的是回忆版试题，故将部分选择题改编为填空题．
1．已知函数有最小值，则函数的零点个数为（ ）
A．
B．
C．
D．取决于的值
2．已知的三个角所对的边分别为．下列条件中，能使得的形状唯一确定的有（ ）
A．
B．，
C．，
D．
3．已知函数，．下列说法中正确的有（ ）
A．与在点处有公切线
B．存在的某条切线与的某条切线互相平行
C．与有且只有一个交点
D．与有且只有两个交点
4．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，为线段的中点．下列说法中正确的有（ ）
A．以线段为直径的圆与直线一定相离
B．的最小值为
C．的最小值为
D．以线段为直径的圆与轴一定相切
5．已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点．下列说法中正确的有（ ）
A．时，满足的点有个
B．时，满足的点有个
C．的周长小于
D．的面积小于等于
6．甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两人获奖．比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测．
甲：两名获奖者在乙、丙、丁中；
乙：我没有获奖，丙获奖了；
丙：甲、丁中有且只有一人获奖；
丁：乙说得对．
已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两名获奖者是（ ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
7．已知为圆的一条弦（非直径），于．为圆上任意一点，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点．以下说法正确的有（ ）
A．四点共圆
B．四点共圆
C．四点共圆
D．前三个选项都不对
8．是为锐角三角形的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
9．已知为正整数，，那么方程的解的组数为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知集合，任取，这三个式子中至少有一个成立，则的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知，，，则下列各式中成立的有（ ）
A．
B．
C．
D．
12．已知实数满足，则的最大值与最小值乘积属于区间（ ）
A．
B．
C．
D．
13．已知，满足，则下列结论正确的有（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为
C．的最大值为
D．的最小值为
14．数列满足．对任意正整数，以下说法中正确的有（ ）
A．为定值
B．或
C．为完全平方数
D．为完全平方数
15．若复数满足，则可以取到的值有（ ）
A．
B．
C．
D．
16．从正边形的顶点中任取若干个，顺次相连构成多边形，其中正多边形的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
17．已知椭圆与直线，，过椭圆上一点作的平行线，分别交于两点．若为定值，则（ ）
A．
B．
C．
D．
18．关于的不定方程的正整数解的组数为（ ）
A．
B．
C．
D．
19．因为实数的乘法满足交换律与结合律，所以若干个实数相乘的时候，可以有不同的次序．例如，三个实数相乘的时候，可以有等等不同的次序．记个实数相乘时不同的次序有种，则（ ）
A．
B．
C．
D．
20．甲乙丙丁个人进行网球淘汰赛，规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛，两组的胜者争夺冠军．个人相互比赛时的胜率如下表所示：表中的每个数字表示其所在行的选手击败其所在列的选手的概率，例如甲击败乙的概率是，乙击败丁的概率是．那么甲赢得冠军的概率是________．
21．在正三棱锥中，的边长为．设点到平面的距离为，异面直线与的距离为，则________．
22．如图，正方体的棱长为，中心为，，，则四面体的体积为________．23．________．
24．实数满足，则的最大值为________．
25．均为非负实数，满足，则的最大值为________，最小值为________．
26．为内一点，满足．设，则________．
27．已知复数，则________．
28．已知为非零复数，和的实部和虚部均为不小于的正数，则在复平面中，所对应的向量的端点运动所形成的图形面积为________．
29．若，则
30．将个数：个，个，个，个填入一个的数表中，要求每行、每列都恰好有两个偶数，共有________种填法．
31．是集合的子集，从中任取个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，则中元素个数的最大值为________．
答案及解析1．C．
注意．
2．AD．
对于选项A，由于，于是有唯一取值，符合题意；
对于选项B，根据正弦定理，有于是可得，，无解；
对于选项C，条件即于是，不符合题意；
对于选项D，根据正弦定理，有，又，于是，，符合题意．
3．BD．
注意为函数在点处的切线，如图．4．AB．
对于选项A，点到准线的距离为于是以线段为直径的圆与直线一定相切，进而与直线一定相离；
对于选项B和C，设，则，于是最小值为．也可以将转化为的中点到准线的距离的两倍去得到最小值；
对于选项D，显然中点的横坐标与不一定相等，因此命题错误．
5．ABCD．
对于选项A和B，椭圆中使得最大的点位于短轴的两个端点；
对于选项C，的周长为；
对于选项D，的面积为
6．BD．
乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可．
7．AC．对于选项A，即得；
对于选项B，若命题成立，则为直径，必然有为直角，不符合题意；
对于选项C，即得．
8．B．
必要性：由于类似的，有，，于是
不充分性：
当，时，不等式成立，而并非锐角三角形．
9．B．
由于，故．
情形一 若，则，即，解得情形二 若，则，即，解得情形三 若，则，此时有于是，从而，进而解得情形四 若，则，即，解得
10．B．
不妨假设．若集合中的正数的个数大于等于，由于和均大于，于是有所以，矛盾．所以集合中至多有个正数．同理可知集合中至多有个负数．取，满足题意，所以的最大值为．
11．BD．
令，，，则
所以以上三式相加，即有
类似的，有以上三式相加，即有
12．B．
设函数的图象，则其导函数作出函数的图象，函数的图象在处的切线以及函数的图象过点和的割线如图．
于是可得左侧等号当或时取得；右侧等号当时取得．因此原式的最大值为，当时取得；最小值为，当，时取得．从而原式最大值与最小值的乘积为．
13．ABD．
由，可知．设，则是关于的方程的三个实根．令，利用导数可得所以，等号显然可以取到．故选项A，B都对．因为所以，等号显然可以取到．故选项C错，选项D对．
14．ACD．
因为所以A正确．
由于，故
对任意正整数恒成立，所以，，故C, D正确．
计算前几个数即可判断B错误．
注 若数列满足，则为定值．
15．CD．
因为故，等号分别当和时取得．
16．C．
从的约数中去掉，其余的约数均可作为正多边形的边数．设从个顶点中选出个构成正多边形，这样的正多边形有个，因此所求的正多边形的个数就是的所有约数之和减去和．考虑到，因此所求正多边形的个数为
17．C．
设点坐标为，可得故为定值，所以
故．
注 (1) 若将两条直线的方程改为，则；
(2) 两条相交直线上各取一点，使得为定值，则线段中点的轨迹为圆或者椭圆．
18．B．
方程两边同时模，可得．因为，故，所以故所以是偶数．设，则解得即
19．AB．
根据卡特兰数的定义，可得关于卡特兰数的相关知识见卡特兰数——计数映射方法的伟大胜利．
20．．
根据概率的乘法公式，所求概率为
21．．
当时，趋于与平面垂直，所求极限为中边上的高，为．
22．．如图．有
23．．
根据题意，有
24．．
根据题意，有于是，等号当时取得，因此所求的最大值为．
25．，．
由柯西不等式可知，当且仅当时，取到最大值．
根据题意，有于是解得于是的最小值当时取得，为．
26．．
根据奔驰定理，有
27．．
根据题意，有
28．．
设，其中．由于，于是如图．弓形面积为四边形的面积为于是所求面积为
29．．
根据题意，有
30．．
首先确定偶数的位置有多少种选择．
第一行两个偶数有种选择，下面考虑这两个偶数所在的列，每列还需再填一个偶数，设为．
情形一 若位于同一行，它们的位置有种选择，此时剩下的四个偶数所填的位置唯一确定．
情形二 若位于不同的两行，它们的位置有种选择，此时剩下的四个偶数所填的位置有种选择．
所以偶数的不同位置数为因此总的填法数位
31．．
一方面，设，其中，．不妨假设．
若，由题意，，，且，故同理，，又因为，所以，矛盾．故．
另一方面，取，满足题意．
综上所述，中元素个数的最大值为．
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