爱华网专题八 平面向量线性运算及综合应用问题
1．若向量＝(2,3)，＝(4,7)，则＝( )．
A．(－2，－4) B．(2,4)
C．(6,10) D．(－6，－10)
答案： A [抓住向量的起点与终点，用终点坐标减去起点坐标即可．由于＝(2,3)，＝(4,7)，那么＝＋＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)．]
2．设a，b都是非零向量．下列四个条件中，使＝成立的充分条件是( )．
A．a＝－b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
答案：C [对于A，注意到当a＝－b时，≠；对于B，注意到当a∥b时，与可能不相等；对于C，当a＝2b时，＝＝；对于D，当a∥b，且|a|＝|b|时，可能有a＝－b，此时≠.综上所述，使＝成立的充分条件是a＝2b.]
3．设a，b是两个非零向量，下列选项正确的是( )．
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa
D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|
答案：C [对于A，可得cos〈a，b〉＝－1，因此a⊥b不成立；对于B，满足a⊥b时，|a＋b|＝|a|－|b|不成立；对于C，可得cos〈a，b〉＝－1，因此成立，而D显然不一定成立．]
4．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.
解析 依题意，可知|2a－b|2＝4|a|2－4a·b＋|b|2＝4－4|a||b|·cos45°＋|b|2＝4－2|b|＋|b|2＝10，即|b|2－2|b|－6＝0，
∴|b|＝＝3(负值舍去)．
答案 3
1．高考一般会以客观题的形式重点考查向量的线性运算及其应用，向量的垂直、平移、夹角和模的运算，向量的几何运算等．
2．平面向量作为工具在考查三角函数、平面解析几何等内容时常用到，属于中等偏难题．
1．要理解平面向量具有两个方面的特征：几何特征和代数特征，可以认为平面向量是联系几何图形和代数运算的纽带，因此复习时要抓住平面向量的核心特征．
2．由于平面向量在三角函数、平面解析几何中的工具作用，所以备考时要熟练掌握平面向量的基础知识.
必备知识
向量的概念
(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.
(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为±.
(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．
(4)如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)是直线l的一个方向向量．
(5)向量的投影：|b|cos〈a，b〉叫做b在向量a方向上的投影．
向量的运算
(1)向量的加法、减法、数乘向量是向量运算的基础，应熟练掌握其运算规律．
(2)平面向量的数量积的结果是实数，而不是向量，要注意运算数量积与实数运算律的差异，平面向量的数量积不满足结合律与消去律．a·b运算结果不仅与a，b的长度有关而且与a与b的夹角有关，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
两非零向量平行、垂直的充要条件
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a∥b?a＝λb，a∥b?x1y2－x2y1＝0.
a⊥b?a·b＝0，a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
可利用它处理几何中的两线平行、垂直问题，但二者不能混淆．
必备方法
1．当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量＝－(其中O为我们所需要的任何一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量．
2．根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a＋b|＝|a－b|等价于向量a，b互相垂直，反之也成立．
3．两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线．
常考查平面向量的基本概念、线性运算、加减运算等基础知识．同时，要加强三角形法则、平行四边形法则应用技巧的训练和常用结论的记忆，难度以中低档为主．
【例1】已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝( )．
A．2 B．3 C．4 D．5
[审题视点]
[听课记录]
[审题视点] 由＋＋＝0, 可知M是△ABC的重心．
B [∵＋＋＝0，∴点M是△ABC的重心．∴＋＝3.∴m＝3.]
(1)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．
(2)有的问题可以采用坐标化解决更简单．
【突破训练1】 如图，
平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．
解析 法一 如图，
＝1＋1，|1|＝2，|1|＝||＝4，∴＝4＋2.∴λ＋μ＝6.
法二 以O为原点，OA为x轴建立直角坐标系，则A(1,0)，C(2 cos 30°，2sin 30°)，B(cos 120°，sin 120°)．
即A(1,0)，C(3，)，B－，.
由＝λ＋μ得，
∴∴λ＋μ＝6.
答案 6
数量积是平面向量最易考查的知识点，常考查：①直接利用数量积运算公式进行运算；②求向量的夹角、模，或判断向量的垂直关系，试题较容易．也常常与解析几何结合命制解答题．
【例2】
如图，△ABC中，∠C＝90°，且AC＝BC＝3，点M满足＝2，则·＝( )．
A．2 B．3[来源:学+科+网]
C．4 D．6
[审题视点]
[听课记录]
[审题视点] 用向量、表示．
B [·＝(＋)·＝2＋·＝2＋·(－)＝2＝3.]
平面向量问题的难点就是把平面向量的几何运算与数量积运算的结合，这里要充分利用平面向量的几何运算法则、平面向量的共线向量定理、两向量垂直的条件以及平面向量数量积的运算法则，探究解题的思想．
【突破训练2】设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝( )． [来源:学+科+网]
A. B. C．2 D．10
答案：B [由题意可知，解得故a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝，选B.]
在近年高考中，三角函数与平面向量相结合来命制综合问题是高考考查的热点，三角函数的变换与求值、化简及解三角形等问题常以向量为载体，复习时应注意解题的灵活性，难度不大．
【例3】已知向量a＝(sin x，－1)，b＝.
(1)当a∥b时，求cos2x－3sin 2x的值；
(2)求f(x)＝(a＋b)·b的最小正周期和单调递增区间．
[审题视点]
[听课记录]
[审题视点] (1)由向量平行列方程解出tan x的值，所求式子转化成正切单角名称的三角代数式，代入可求解；(2)进行向量坐标形式的数量积运算得到f(x)的解析式，转化为y＝Asin (ωx＋φ)＋b的函数结构．
解 (1)由a∥b，得sin x＋cos x＝0，即tan x＝－，
∴cos2x－3sin 2x＝＝＝.
(2)因为a＝(sin x，－1)，b＝cos x，，
∴a＋b＝sin x＋cos x，；
f(x)＝(a＋b)·b
＝(sinx＋cosx)cos x＋
＝(sin 2x＋cos 2x)＋
＝sin2x＋＋，
所以最小正周期为π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，
得kπ－≤x≤kπ＋，
故单调递增区间为kπ－，kπ＋(k∈Z)．
平面向量与三角函数结合的这类题目的解题思路通常是将向量的数量积与模经坐标运算后转化为三角函数问题，然后利用三角函数基本公式求解．
【突破训练3】 在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足cos ＝，·＝3.
(1)求△ABC的面积；
(2)若b＋c＝6，求a的值．
解 (1)因为cos ＝，
所以cos A＝2cos2－1＝，sin A＝，
又由·＝3，得bccos A＝3，所以bc＝5，
所以S△ABC＝bcsin A＝2.
(2)对于bc＝5，又b＋c＝6，所以b＝5，c＝1或b＝1，c＝5，由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝20，所以a＝2.
突破平面向量的得分障碍
近几年高考对平面向量的考查突出了“创新性”与“灵活性”，其实质可以归源于平面向量的几何特征和代数特征．试题常以选择、填空的形式考查，难度较大．平面向量问题的难点就是平面向量的几何运算与数量积运算的结合，这里要充分利用向量的几何运算法则、共线向量定理，下面举例说明．
【示例1】已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为____________；·的最大值为____________．[来源:学.科.网]
解析 以，为基向量，设＝λ(0≤λ≤1)，则＝－＝λ－，＝－，所以·＝(λ－)·(－)＝－λ·＋2＝－λ×0＋1＝1.又＝，所以·＝(λ－)·＝λ2－·＝λ×1－0＝λ≤1，即·的最大值为1.
答案 1 1
老师叮咛：本题考查了平面向量的线性运算、几何运算和数量积运算.求·值时，不会利用平面向量的几何运算法则将其转化为··是造成失分的主要原因.
【试一试1】已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：
p1：|a＋b|>1?θ∈；p2：|a＋b|>1?θ∈；
p3：|a－b|>1?θ∈；p4：|a－b|>1?θ∈.
其中的真命题是( )．
A．p1，p4 B．p1，p3 C．p2，p3 D．p2，p4
答案：A [∵|a|＝|b|＝1，且θ∈[0，π]，若|a＋b|＞1，则(a＋b)2＞1，∴a2＋2a·b＋b2＞1，即a·b＞－，∴cos θ＝＝a·b＞－，∴θ∈；若|a－b|＞1，同理求得a·b＜，∴cos θ＝a·b＜，∴θ∈，故p1，p4正确，应选A.]
【示例2】若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为( )．
A.－1 B．1 C. D．2
解析 设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，则x2＋y2＝1，a－c＝(1－x，－y)，b－c＝(－x，1－y)，则(a－c)·(b－c)＝(1－x)(－x)＋(－y)·(1－y)＝x2＋y2－x－y＝1－x－y≤0，即x＋y≥1.又a＋b－c＝(1－x，1－y)，
∴|a＋b－c|＝
＝ ，①
法一 如图，c＝(x，y)对应点在上，而①式的几何意义为P点到上点的距离，其最大值为1.
法二 |a＋b－c|[来源:Zxxk.Com]
＝
＝[来源:学科网ZXXK]
＝＝，
由x＋y≥1，∴|a＋b－c|≤＝1，最大值为1.
答案 B
老师叮咛：解决本题的关键是将向量坐标化，利用向量的坐标运算解决问题.其中，不会将向量坐标化是造成失分的主要原因.
【试一试2】已知△ABC为等边三角形，AB＝2.设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R，若·＝－，则λ＝( )．
A. B. C. D.
答案：A [∵|a|＝|b|＝1，且θ∈[0，π]，若|a＋b|＞1，则(a＋b)2＞1，∴a2＋2a·b＋b2＞1，即a·b＞－，∴cos θ＝＝a·b＞－，∴θ∈；若|a－b|＞1，同理求得a·b＜，∴cos θ＝a·b＜，∴θ∈，故p1，p4正确，应选A.]
