2012年全国初中数学竞赛试题（副题）参考答案 #TRS_AUTOADD_1334543380552 {MARGIN-TOP: 0px; MARGIN-BOTTOM: 0px}#TRS_AUTOADD_1334543380552 P {MARGIN-TOP: 0px; MARGIN-BOTTOM: 0px}#TRS_AUTOADD_1334543380552 TD {MARGIN-TOP: 0px; MARGIN-BOTTOM: 0px}#TRS_AUTOADD_1334543380552 DIV {MARGIN-TOP: 0px; MARGIN-BOTTOM: 0px}#TRS_AUTOADD_1334543380552 LI {MARGIN-TOP: 0px; MARGIN-BOTTOM: 0px}/**---JSON--{"":{"margin-top":"0","margin-bottom":"0"},"p":{"margin-top":"0","margin-bottom":"0"},"td":{"margin-top":"0","margin-bottom":"0"},"div":{"margin-top":"0","margin-bottom":"0"},"li":{"margin-top":"0","margin-bottom":"0"}}--**/DIV.MyFav_1334543338219 P.MsoNormal{TEXT-JUSTIFY: inter-ideograph; TEXT-ALIGN: justify; MARGIN: 0cm 0cm 0pt; FONT-FAMILY: "Times New Roman"; FONT-SIZE: 10.5pt}DIV.MyFav_1334543338219 LI.MsoNormal{TEXT-JUSTIFY: inter-ideograph; TEXT-ALIGN: justify; MARGIN: 0cm 0cm 0pt; FONT-FAMILY: "Times New Roman"; FONT-SIZE: 10.5pt}DIV.MyFav_1334543338219 DIV.MsoNormal{TEXT-JUSTIFY: inter-ideograph; TEXT-ALIGN: justify; MARGIN: 0cm 0cm 0pt; FONT-FAMILY: "Times New Roman"; FONT-SIZE: 10.5pt}DIV.MyFav_1334543338219 P.MsoHeader{BORDER-BOTTOM: medium none; TEXT-ALIGN: center; BORDER-LEFT: medium none; PADDING-BOTTOM: 0cm; MARGIN: 0cm 0cm 0pt; PADDING-LEFT: 0cm; LAYOUT-GRID-MODE: char; PADDING-RIGHT: 0cm; FONT-FAMILY: "Times New Roman"; FONT-SIZE: 9pt; BORDER-TOP: medium none; BORDER-RIGHT: medium none; PADDING-TOP: 0cm}DIV.MyFav_1334543338219 LI.MsoHeader{BORDER-BOTTOM: medium none; TEXT-ALIGN: center; BORDER-LEFT: medium none; PADDING-BOTTOM: 0cm; MARGIN: 0cm 0cm 0pt; PADDING-LEFT: 0cm; LAYOUT-GRID-MODE: char; PADDING-RIGHT: 0cm; FONT-FAMILY: "Times New Roman"; FONT-SIZE: 9pt; BORDER-TOP: medium none; BORDER-RIGHT: medium none; PADDING-TOP: 0cm}DIV.MyFav_1334543338219 DIV.MsoHeader{BORDER-BOTTOM: medium none; TEXT-ALIGN: center; BORDER-LEFT: medium none; PADDING-BOTTOM: 0cm; MARGIN: 0cm 0cm 0pt; PADDING-LEFT: 0cm; LAYOUT-GRID-MODE: char; PADDING-RIGHT: 0cm; FONT-FAMILY: "Times New Roman"; FONT-SIZE: 9pt; BORDER-TOP: medium none; BORDER-RIGHT: medium none; PADDING-TOP: 0cm}DIV.MyFav_1334543338219 P.MsoFooter{MARGIN: 0cm 0cm 0pt; LAYOUT-GRID-MODE: char; FONT-FAMILY: "Times New Roman"; FONT-SIZE: 9pt}DIV.MyFav_1334543338219 LI.MsoFooter{MARGIN: 0cm 0cm 0pt; LAYOUT-GRID-MODE: char; FONT-FAMILY: "Times New Roman"; FONT-SIZE: 9pt}DIV.MyFav_1334543338219 DIV.MsoFooter{MARGIN: 0cm 0cm 0pt; LAYOUT-GRID-MODE: char; FONT-FAMILY: "Times New Roman"; FONT-SIZE: 9pt}DIV.MyFav_1334543338219 P.CharCharCharCharCharCharCharCharCharCharCharCharCharCharCharCharCharCharChar{TEXT-JUSTIFY: inter-ideograph; TEXT-ALIGN: justify; LINE-HEIGHT: 125%; TEXT-INDENT: 10pt; MARGIN: 0cm 0cm 0pt; FONT-FAMILY: Verdana; FONT-SIZE: 10.5pt}DIV.MyFav_1334543338219 LI.CharCharCharCharCharCharCharCharCharCharCharCharCharCharCharCharCharCharChar{TEXT-JUSTIFY: inter-ideograph; TEXT-ALIGN: justify; LINE-HEIGHT: 125%; TEXT-INDENT: 10pt; MARGIN: 0cm 0cm 0pt; FONT-FAMILY: Verdana; FONT-SIZE: 10.5pt}DIV.MyFav_1334543338219 DIV.CharCharCharCharCharCharCharCharCharCharCharCharCharCharCharCharCharCharChar{TEXT-JUSTIFY: inter-ideograph; TEXT-ALIGN: justify; LINE-HEIGHT: 125%; TEXT-INDENT: 10pt; MARGIN: 0cm 0cm 0pt; FONT-FAMILY: Verdana; FONT-SIZE: 10.5pt}DIV.MyFav_1334543338219 P.a{TEXT-JUSTIFY: inter-ideograph; TEXT-ALIGN: justify; TEXT-INDENT: 21pt; MARGIN: 0cm 0cm 0pt; FONT-FAMILY: Calibri; FONT-SIZE: 10.5pt}DIV.MyFav_1334543338219 LI.a{TEXT-JUSTIFY: inter-ideograph; TEXT-ALIGN: justify; TEXT-INDENT: 21pt; MARGIN: 0cm 0cm 0pt; FONT-FAMILY: Calibri; FONT-SIZE: 10.5pt}DIV.MyFav_1334543338219 DIV.a{TEXT-JUSTIFY: inter-ideograph; TEXT-ALIGN: justify; TEXT-INDENT: 21pt; MARGIN: 0cm 0cm 0pt; FONT-FAMILY: Calibri; FONT-SIZE: 10.5pt}DIV.MyFav_1334543338219 SPAN.CharChar1{FONT-FAMILY: "Times New Roman"}DIV.MyFav_1334543338219 SPAN.CharChar{FONT-FAMILY: "Times New Roman"}DIV.MyFav_1334543338219 DIV.Section1{page: Section1}一、选择题
1．D
解：第k行的最后一个数是，故第100行的最后一个数是．
2. B
解：这个表格中的矩形可由对角线的两个端点确定，由于包含黑色小方格，于是，对角线的一个端点确定，另一个端点有3×4=12种选择.
3．B
解：由于方程的两根均为有理数，所以根的判别式≥0，且为完全平方数．
≥0，又2≥，所以，
当时，解得 ；
当时，解得 ．
4. C
解：当函数为二次函数时，有
k2－1≠0，
=(k+1)2－4(k2－1)＜0.
解得k＞，或k＜－1．
当函数为一次函数时，k=1，此时y=－2x+1与x轴有公共点，不符合题意．
当函数为常数函数时，k=－1，此时y=1与x轴没有公共点.
所以，k的取值范围是k＞，或k≤－1.
5. B
（第5题）
解：如图，设，作BKCE，则
，
于是A，B，E，C四点共圆. 因为是的中点，所以，从而有
，
即平分.
二、填空题
6. 30
（第6题）
解：如图，连接PD，则
．
7．180
解：设甲、乙、丙三车的速度分别为每分钟x，y，z米，由题意知
， ．
消去z，得．
设甲车出发后t分钟追上乙车，则，即
，
解得．
8．＜
解：由an==， 得
a1+a2+…+a2012=
=＜1.
9．25
解：设甲袋中红、黑、白三种颜色的球数分别为，则有
1≤≤9，
且
， （1）
即 ， （2）
于是 ．因此中必有一个取5．不妨设，代入（1）式，得到
．
此时，y可取1，2，…，8，9（相应地z取 9，8，…，2，1），共9种放法．同理可得y=5，或者z=5时，也各有9种放法．但时，两种放法重复．因此共有
9×3－2 = 25种放法．
10. 6
（第10题）
解：如图，设△ABC内切圆为⊙I，半径为r，⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，连接IA，IB，IC，ID，IE，IF.
由切线长定理得
AF=p－a，BD=p－b，CE=p－c，其中p=(a+b+c).
在Rt△AIF中，tan∠IAF=，即
tan.
同理， tan， tan.
代入已知等式，得
.
因此 a+c=.
三、解答题
11. 解：已知，又，且，所以b，c是关于x的一元二次方程
的两个根.
故 ≥0，
≥0，
即 ≥0，
所以≥20．
于是≤-10，≥10，从而≥≥10，故
≥30，
当时，等号成立．
12. 解：将abc=d 代入10ab+10bc+10ca=9d得
10ab+10bc+10ca=9abc.
因为abc≠0，所以，.
不妨设a≤b≤c，则
≥≥＞0.
于是， ＜≤，
即 ＜≤，
＜a≤.
从而，a=2，或3.
若a=2，则.
因为＜≤，所以，＜≤，＜b≤5.
从而，b=3，4，5. 相应地，可得 c=15，(舍去)，5.
当a=2，b=3，c=15时，d=90；
当a=2，b=5，c=5时，d=50.
若a=3，则.
因为＜≤，所以，＜≤，＜b≤.
从而，b=2（舍去），3.
当b=3时，c=(舍去).
因此，所有正整数解为
(a，b，c，d)=(2，3，15，90)，(2，15，3，90)，(3，2，15，90)，
(3，15，2，90)，(15，2，3，90)，(15，3，2，90)，
(2，5，5，50)，(5，2，5，50)，(5，5，2，50).
13. 证明：延长DA至，使得，则，于是
△DPC∽△，
故
，
所以PO∥．
（第13题）
又因为△DPO ∽△，所以
．
同理可得 ，
而AB∥CD，所以，故OP＝OQ．
14. 解：（1）由题设可得 ，或，或
.
由，解得 ；
由，解得 ；
由，解得 .
所以满足题设要求的实数.
（2）不存在.
由题设（整数≥1）满足首项与末项的积是中
间项的平方，则有
，
解得 ，这与矛盾.
故不存在这样的数列.
（3）如果删去的是1，或者是，则由（2）知，
或数列均为1，1，1，即，这与题设矛盾.
如果删去的是，得到的一列数为，那么 ，可得.
如果删去的是，得到的一列数为，那么
，开得.
所以符合题设要求的的值为1，或.
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