爱华网反函数、方程根的分布
二. 本周教学重、难点：
1. 了解反函数的概念及互为反函数图象的关系，会求一些简单的反函数。
2. 掌握解决有关方程根的分布的基本方法。
【典型例题】
[例1] 记函数的反函数为，则等于（ ）
A. 2 B. C. 3 D.
解：设，
则，即
[例2] 设的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数，，求。
解：∵ 的图象关于点（1，2）对称
∴ ∴
∴
两边用作用 ∴
[例3] 已知是R上的增函数，点A（）、B（1，3）在它的图象上，是它的反函数，求不等式的解集。
解：由题意知在R上是增函数，且
又由，得，
即
∴
[例4] 已知函数，是的反函数，记
。
（1）求函数的反函数；
（2）求的最小值。
解：（1）∵
又 ∵ ∴ ∴
故 由，得，
解得
故
（2）
当且仅当即时，
取得最小值
[例5] 方程两根在（2，3）内，求的取值范围。
解：设
∴
∴
∴
[例6] 方程的两个根为，且，，求的取值范围。
解： ∴
∴
[例7] 关于的方程至少有一个负的实根的充要条件是 。
解：方法一
（1）时，成立
（2）时，
设
① 2个负根
∴
∴
② 1正根1负根
∴
∴
③ 1负根1零根，不可能 ∴
∴ 由（1）（2）知：
方法二：
（1）时，成立
（2）时，设
① 方程有2个正根的条件
∴
∴
② 1正根1零根，不可能 ∴
③方程无实根的条件 ∴
∴ 方程至少有一个负根的充要条件是
[例8] 若二次函数在内至少存在一点，使，求的取值范围。
解：设在内不存在这样的点
∴
∴
∴ ∴ 或
∴ 要使在内至少存在一点使，则
[例9] 已知抛物线上有一点M（）位于轴下方。
（1）求证：抛物线与轴必有2个交点，A（）B（）（设）且
（2）若M，求整数。
证：（1）∵ ∴
∴
∴
∴ ∴ 抛物线与轴必有2个交点
又 ∵
∴
∴
（2）
∴ 或
∴ 或
【模拟试题】
一. 选择题：
1. 的反函数是（ ）
A.
B.
C.
D.
2. 设函数的图象关于点（1，）对称，且存在反函数，若，则等于（ ）
A. B. 1 C. D. 2
3. 函数的反函数的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知函数存在反函数且，则函数的图象必经过点（ ）
A.（2，0） B.（0，2） C.（3，） D.（）
5. 设函数则的值是（ ）
A. B. C. D.
6. 设是函数的反函数，则使成立的的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知和是定义在上的函数，对任意的，存在常数，使得，，且，则在A上的最大值是（ ）
A. B. C. 5 D.
8. 如果函数的反函数是它本身，那么点（）的轨迹是（ ）
A. 定点（1，0）
B. 定点（）
C. 直线
D. 直线和定点（1，0）
二. 解答题：
1. 已知函数（，且）
（1）求函数的反函数；
（2）判定的奇偶性；
（3）解不等式
2. 若方程的两根，一个比2大，一个比2小，求的取值范围。
3. 关于的实系数二次方程的两个实根为，证明：若且，那么。
【试题答案】
一.
1. B
解析：，，即（）
2. A
解析：由题意分析知点（3，0）关于点（1，）的对称点（）也在上，结合反函数的意义分析知，故选A。
3. A
解析：由
∴ ，即
∴ ∴
交换得
4. D
解析：由题意，则
令，则有，故点必在的图象上
5. D
解析：由题意知时，
设，则 即
解之，得或（舍）
6. A
解析：方法一：求得
由，得
∴ ，解得
方法二：∵ ∴ 为增函数
根据函数与反函数的定义域、值域之间的关系，，即在中，在的条件下求的范围。
∴
7. C
解析：由题设知和在上的同一点处取得最小值，且
∵ ，即
从而
又 ∴
8. D
解析：由互为反函数的图象关于对称，知的图象与重合成垂直
故或
二.
1. 解：
（1）化简，得，设，则
∴
∴ 所求反函数为
（2）∵
∴ 是奇函数
（3）
当时，原不等式
∴ 当时，
解得
∴
综上，当时，所求不等式的解集为（）；当时，所求不等式的解集为（）
2. 解： ∴
∴
3. 证明：，
