爱华网几何：直角三角形全等的判定及角的平分线
［学习目标］
代数：掌握含有字母系数的一元一次方程的解法，及进行简单的公式变形。
几何：掌握直角三角形全等的判定及角的平分线的性质、判定。
二. 重点、难点：
重点：
代数：
①含字母系数的一元一次方程的解法
②公式变形
几何：
①直角三角形全等的判定方法
②用角平分线性质证明线段或角相等
难点：
代数：字母系数的理解；在公式中准确区分未知数与字母系数，并进行正确的公式变形。
几何：HL公理的灵活运用；分清命题中的已知和结论，把角平分线看作点的集合。
三. 知识要点：
代数
1. 含有字母系数的一元一次方程
2. 含有字母系数的一元一次方程的解法
（1）与含有数字系数的一元一次方程的解法相同的步骤。
去分母、去括号、移项、合并同类项、方程两边同除以未知数的系数。
（2）与含有数字系数的一元一次方程的解法不同之处：
方程两边同除以的未知数的系数不能为零。
（3）方程的解是分式形式时，一般要化成最简分式或整式
3. 公式变形
几何：
1. 斜边、直角边公理
2. 判定直角三角形全等的方法：
（1）SAS （2）ASA （3）AAS （4）SSS （5）HL
3. 角平分线的性质：
定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
4. 角的平分线的判定：
定理2：到一个角的两边的距离相等的点，在角的平分线上。
5. 角的平分线的实质：到角的两边的距离相等的所有点的集合。
6. 角的平分线两个定理的应用：证明线段相等或角相等。
【典型例题】
例1. 如图，AB=DC，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别是E，F，且AE=DF，求证：BE=CF，∠B=∠C。
证明：∵AE⊥BC
∴∠AEB=90°（垂直定义）
∵DF⊥BC
∴∠DFC=90°（同上）
在Rt△AEB和Rt△DFC中，
∴Rt△AEB≌Rt△DFC（HL）
∴BE=CF（全等三角形对应边相等）
∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）
例2. 如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内一点，且AB=AD，BC=DC，CE⊥AD，CF⊥AB，垂足分别是E，F，求证：CE=CF
证明：连结AC，
在△ADC和△ABC中，
∴△ADC≌△ABC（SSS）
∴∠DAC=∠BAC（全等三角形对应角相等）
∴C在∠EAF的角平分线上（角平分线定义）
∴CE=CF（定理1）
例3. 解下列关于x的方程
（1）
（2）
解：（1）去括号，得
（2）去分母，得
去括号，得
移项，得
例4. 已知
（1）试用含x的代数式表示y
（2）试用含y的代数式表示x
解：（1）去分母，得
移项，得
∵式中
（2）去分母，得
移项，得
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 解下列关于x的方程
（1）
（2）
（3）
（4）
2. 公式变形
（1）已知。
（2）已知，用x的代数式表示y。
3. 如图，DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，AC、BD交于点O，且AC=BD，AE=BF。
求证：OC=OD。
4. 如图，在△ABC中，∠A=60°，BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，BE、CF相交于O，求证：OE=OF。
【试题答案】
1. 解下列关于x的方程
（1）
（2）
（3）
（4）
2. 公式变形
（1）
（2）
3. 证明：连结AD、BC，
∵AE=BF，∴AF=BE
又∵AC=BD
∴Rt△ACF≌Rt△BDE（HL）
∴DE=CF，∠DBA=∠CAB
∴Rt△AED≌Rt△BFC（HL）
∴∠DAE=∠CBF，AD=BC
∴∠DAO=∠CBO
又∵∠AOD=∠COB
∴△AOD≌△BOC（AAS）
∴OC=OD
4. 在BC上截取BD=BF
∵∠A=60°，BE、CF分别平分∠ABC、∠ACB
∴∠FOB=60°，∠BOC=120°
又∵∠FBO=∠DBO，BO=BO，BD=BF
∴△FBO≌△DBO（SAS）
∴OD=OF，∠BOD=∠BOF=∠COD=60°
∵∠EOC=∠DOC=60°，OC=OC，∠DCO=∠ECO
∴△DCO≌△ECO，（ASA）
∴OD=OE
∴OF=OE
