爱华网二轮复习专题讲座：集合与简易逻辑、函数与导数部分
第1讲 集合的基本概念与运算
第2讲 简易逻辑
第3讲 函数的概念与性质
【典型例题】
二. 知识分析：
第1讲 集合的基本概念与运算
例1. 指出下列几个集合的异同处
解：集合A是指指数函数的定义域，；
集合B是指指数函数的值域，
集合C是指指数函数的图像上所有的点构成的集合，是一个点集；
集合D是一个单元素集合，这个元素是一个方程；
集合A、B、C是描述法表示集合，集合D是列举法表示集合。
例2. 设集合，，则集合中元素的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解：选B．如上图，在同一坐标系画出两个点集所表示的图象．由图象可知，两曲线有两个交点，即有两个元素．
例3. 设、为两个非空实数集合，定义集合，若，则中元素的个数是_______________．
解：因为，所以．当时，分别取1，2，6可得分别为1，2，6；当时，分别取1，2，6可得分别为3，4，8；当时，分别取1，2，6可得分别为6，7，11．综上：，故中有8个元素．
例4. 已知集合，，若，则实数的取值构成的集合为______________________．
解：方程两根分别为：，因此．
由得或{2}或{－3}，
所以，实数的取值构成的集合为．
例5. 已知，二次函数．设不等式的解集为A，又知集合，若，求的取值范围．
解：易知，由得：，，
由此可得：．
（1）当时，，的充要条件是，
即，解得；
（2）当时，，的充要条件是，
即，解得．
综上所述，使成立的的取值范围为．
例6. 设集合A中不含有元素－1，0，1，且满足条件：若，则有，请考虑以下问题：（Ⅰ）已知，求出A中其它所有元素；
（Ⅱ）自己设计一个实数属于A，再求出A中其它所有元素；
（Ⅲ）根据已知条件和前面（Ⅰ）（Ⅱ）你能悟出什么道理来，并证明你的猜想．
解：（Ⅰ）由，则，
所以集合；
（Ⅱ）任取一常数，如3，则同理（Ⅰ）可得：；
（Ⅲ）猜想任意的，则集合．
下面作简要证明：
，则．
这四个元素互不相等，否则．
第2讲 简易逻辑
例1. 直线与平行（不重合）的充要条件是（ ）
A. B. C. D. 或
解：，所以；故选C．
例2. 命题p：若、∈R，则是的充要条件；
命题q：函数的定义域是则（ ）
A. “p或q”为假 B. “p且q”为真
C. p真q假 D. p假q真
解：由三角形不等式知：是的必要不充分条件，即p为假命题；由可得或，即为真命题．故选D．
例3. 在空间中：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中逆命题为真命题的是 ．
解：①的逆命题为：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．例如：正方形的四个顶点不共线但共面，故其不正确；②的逆命题为：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点．由异面直线定义知，异面直线没有公共点，故②的逆命题为真命题．
例4. 已知；?是?的必要不充分条件，求实数的取值范围.
解：由得，
由，得，
∴?即，或，而?即，或；
由?是?的必要不充分条件，知?，
设A=，B=，
则有A，故且不等式中的第一、二两个不等式不能同时取等号，
解得，此即为“?是的必要不充分条件”时实数的取值范围。
例5. 已知条件和条件，请选取适当的实数的值，分别利用所给的两个条件作为A、B构造命题：“若A则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题。则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题。
解：已知条件即，或，∴，或，
已知条件即，∴，或；
令，则即，或，此时必有成立，反之不然.
故可以选取的一个实数是，A为，B为，对应的命题是若则，
由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题.
例6. 已知p：是的反函数，且；
q：集合，B = { x | x >0}，且AB=．
求实数a的取值范围，使“p或q”为真命题，“p且q”为假命题．
解：先考虑：∵是f （x ）=1－3x的反函数，∴，由，可得，解得：；
再考虑：①当△＜0时，，，此时：由得；
②当△≥0时，由可得：，解得．
由①②可知．
要使p真q假，则；要使p假q真，则，综上所述，当的范围是时，p、q中有且只有一个为真命题．
第3讲 函数的概念与性质
例1. 设，则的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
解：∵在中，由，得， ∴，
∴的定义域满足，．
故选B．
例2. 已知是上的减函数，那么a的取值范围是（ ）
A. （0，1） B. C. D.
解：∵是上的减函数，
当时，，∴；
又当时，，∴，∴，
且，解得：．
∴综上，，故选C．
例3. 函数对于任意实数满足条件，若，则 ．
解：∵函数对于任意实数满足条件，
∴，即的周期为4，
∴，
∴．
例4. 设的反函数为，若，则 ．
解：∵，∴．
例5. 已知是关于的方程的两个实根，则实数为何值时，大于3且小于3？
解：令，
则方程的两个实根可以看成是
抛物线与轴的两个交点（如图所示），故有：，
所以：，解之得：．
例6. 定义在上的奇函数满足，且当时，有
（1）求证：是上的增函数；
（2）证明：当时，
解：（1）任取，且，
则
因为，所以
所以，是上的增函数。
（2）由（1）可知：当时，，
所以，当时，
【模拟试题】
1、已知，则（ ）
A. B.
C. D.
2、设集合，，
，那么满足点P（2，3）条件是（ ）
A. m＞—1，n＜5 B. m＜—1，n＜5
C. m＞—1，n＞5 D. m＜—1 ，n＞5
3、不等式的解集为Q，，若，则（ ）
4、“”是“直线与圆相切”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
5、不等式成立的一个必要而不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
6、给出下列三个命题：
①若，则；
②若正整数m和n满足，则；
③设为圆上任一点，圆O2以为圆心且半径为1．当时，圆O1与圆O2相切．
其中假命题的个数为 （ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
7、函数的反函数是（ ）
A. B.
C. D.
8、是定义在R上的偶函数，是奇函数，又知，且，则的值是 （ ）
A. 150 B. －150 C. 2008 D. －2008
9、若函数，则该函数在上是（ ）
A. 单调递减无最小值 B. 单调递减有最小值
C. 单调递增无最大值 D. 单调递增有最大值
10、函数，若，则的所有可能值为（ ）
A. 1 B. C. 1， D. 1，
11、已知集合，若AB =，则实数P的取值范围是______________________．
12、定义运算： 则函数的值域为 ．
13、已知在其定义域上为增函数，，则不等式的解集是_________________
14、以下同个关于圆锥曲线的命题中：
①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线；
②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若则动点P的轨迹为椭圆；
③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线与椭圆有相同的焦点.
其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）
15、集合，，且，求实数a的取值范围．
16、设集合，，问是否存在非零整数，使？若存在，请求出的值及；若不存在，请说明理由．
17、已知设：函数在R上单调递减；：不等式的解集为R．如果p或q为真，p且q为假，求的取值范围．
18、定义在R上的奇函数有最小正周期2，且时，．
（1）求在[－1，1]上的解析式；
（2）判断在（0，1）上的单调性，并给予证明．
【试题答案】
1、A 2、A 3、B 4、A 5、D 6、B 7、A 8、B 9、C 10、C
11、 12、 13、 14、③④
15、解：
（1）当时，，满足；
（2）当时，是二次函数，
若，，则；
若，；
由得，
综合（1）（2）得．
16、由知，a是否存在，取决于方程组是否有x的正整数解，
消去y得：①，
由，即，解得．
因为a为非零整数，所以a可能取的值为．
当时，代入①解得，这与矛盾，故；
当时，代入①解得，符合题意．
所以存在，使得，此时．
17、对于命题p:函数在R上单调递减；对于命题q：不等式的解集为R函数，所以函数在R上最小值为，故不等式的解集R．
由“p或q为真，p且q为假”p、q中一真一假．如果p 真q假，即，
解得；如果p假q真，即，解得，综上的取值范围为．
18、（1）当时，，
∵为奇函数，∴，
又，，，
∴．∴
（2）在（0，1）上是减函数。
下面证明：任取且，
因为。
由于，则，则，
由知，即，
所以，即，所以在（0，1）上为减函数．
