爱华网启发式教学在数学教学中的应用
摘要：启发式教学不仅是我国古代教育思想的瑰宝，也是现代教育学界永恒不变的话题，而当今社会随着知识经济的兴起，对创新型人才的需求日益迫切，启发式教学作为一种培养人才的有效手段被广泛地应用于教学实践。因此，研究如何在课堂教学中有效实施启发式教学具有重大意义。本文着眼于启发式教学法的特征，结合实例，列举启发式教学法在数学教学中的常见形式，体味其在数学教学中的应用。
关键字：启发式教学；数学教学 ；实例应用
我国古代的教育家孔子主张“不愤不启，不悱不发，举一隅不以三隅反，则不复也”。这种教学方法的含义，就是“启发”。启发式教学法，主要实践是结合有关通俗易懂，易于引起学生联想的具体事例来激发学生的思维，使学生能在观察中引起思考，悟出其中道理，并从中得到启迪，获得意念的变化，达到举一反三和独立解决问题的目的。
1 启发式教学的特征
1.1 客观性
指教学内容、方法的设计和实施符合学生的客观实际。这个实际的内容包括学生实际的需求、水平、特点、兴奋点等。教育作为一种教育人的实践活动，必须对教育的对象，取得一定的认识和了解，这样才能获得行动的主动权。凡是不符合学生生理、心理、思想、知识、能力、个性诸方面的做法，或单凭老师的“主观臆断”，都必然使得教学不和谐。
1.2 主动性
指在教学活动中，学生学习的自觉性、积极性、创造性得到了较好的发挥。启发式教学强调通过多种思维活动，充分调动学生的积极性，开拓学生的思维境界，促进学生对知识的迁移，帮助学生掌握事物的本质和规律，培养学生独立思考、独立分析和解决问题的能力，从根本上发挥学生学习的主人翁作用。它体现在学生对学习的意义有明确的认识，采取主动进取的态度，有客服困难的毅力，有较浓厚的学习兴趣，掌握科学的学习方法，在学习中发挥独创性。
1.3 互动性
启发式教学强调教学中教师的“教”和学生的“学”双边活动的有机结合。是指在教与学之间的相互配合与相互作用，它是针对学生的问题、需要等所进行的双向信息交流，是有针对性的而不是盲目的，是教师指点方法，引导学生思考和解决问题，而不是将问题的答案简单地告诉给学生。教师的作用在于有针对性地点化、引导，一是启发学生的积极性，二是教给学生学习与思维的方法。这两点是学生能够主动学习的条件。
1.4 发展性
指在教学过程中，教能有效地促进学，促进学生的全面发展，使教学活动富有成效。促进学生全面发展是教育教学的目标，实现这一目标需要一定的条件和机制，不是自然而然就能实现的。启发式教学既保证了学生对知识的理解，又保证了学生智力和能力的发展，适应了当今社会对教育的需要和对教育人才的创造性能力的需要。
2 常用启发式教学法及其应用
启发式教学法是求知与思想、感情、意识、行为、习惯等的结合体。在教学中没有固定的模式，它的方式、方法、形式是多种多样的。数学教学中常用的启发形式有问题启发、激疑启发、实验启发、操作启发、直观启发、引趣启发、激情启发、图示启发等，下面举例说明各种启发形式在数学教学中的应用。
2.1 激疑启发
“学起于思，思源于疑”，让学生在质疑——问疑——解疑的过程中获得知识。
例如：一个学生问到“两个数是不是数列？”老师没有直接回答，而是说：“你能提出这样的问题很好，我相信你看书后能正确回答的！”学生看过数列的定义后，对老师说：“根据数列的定义，两个数可以排成一列，可以叫做数列。”老师给予肯定，并说：“我再问一个问题：0和1两个叫不叫等差数列？”学生仔细考量了等差数列的定义，后一项与前一项的差是常数，1?0?1，只有一个差，所以0和1不叫等差数列。在老师的指引下，通过同学自己看书、思考，弄清了两个问题，两个数可以叫数列，但0和1不叫等差数列，一般地，等差（等比）数列要有三项
2.2 实验启发
即指导学生做实验，启发学生掌握有关数学知识。通过实验的方法来讲解比较抽象的内容，形象直观，不仅可以启发学生思考，还容易留下深刻的印象
例如：在讲数学归纳法前，指导学生做一个实验：首先，将一块砖放于讲台上，将其推倒，则此砖倒下是必然发生的；然后，把十块砖按一定距离顺次排列，使第一块砖倒下后把第二块砖打倒，顺次下去，第十块砖也被打倒；最后，把砖头按一定距离顺次立着，使一块砖头倒下后能把第二块砖打倒，第二块把第三块打倒，??。砖头从教室内讲台旁开始，一直排到教室外，老师先把讲台旁第一块砖推到，第二块，第三块? ?顺次倒下，派同学到外面看下最后的砖头有没有倒下。然后老师问：“如果我们的砖头摆放在无穷远处，能否保证每块砖都倒下呢？在此基础上讲数学归纳法，学生兴趣盎然，而且对由n=1的验证推至无穷的真实性确信无疑了。
2.3 引趣启发
学习积极性来源于兴趣，善于“寓教于乐”，就教学有方，“开窍”有术。善于运用生动形象、具体鲜明、准确精炼、妙趣典雅的语言进行教学，或者用趣题激发学生的兴趣，使学生在领会知识的同时，得到艺术美、数学美的享受，引起强烈的学习兴趣。
2.4 操作启发
教师引导学生操作，通过学生自己的实践活动，既启发学生掌握某些数学知识，又培养了学生的动手能力，发展智力。
例如：讲授圆与圆的位置关系时，老师引导学生自己动手，剪两个面积相等的三角形，再剪两个面积不等的三角形。然后移动两个圆的位置，感受圆与圆的位置关系，比较面积相等的三角形与面积不等的三角形在位置关系上的异同。
两面积相等的圆 两面积不相等的圆
2.5 直觉启发
给出实物、模型、图形等让学生观察，引导学生获得一类事物的特性。学生对生动具体的实际现象比抽象理论叙述感兴趣，直觉启发有利于培养敏锐的观察能力，周密的审题能力，从形象思维过渡到抽象思维。数学教学中引出定义、定理、公式常用此法。常用形式有演示启发、实例启发、观察启发、比喻启发??
例如：讲授三角函数图像时，常采用几何画板，让学生在动态中观察各变量的变化对函数图形的影响，将抽象的理论直观化。讲授约当测度的时候，老师将约当内测度比喻为热水瓶的内活塞，约当外测度比喻为热水瓶的外盖子，将抽象的概念与实际生活常见实物相联系，深刻理解数学中的概念。 2.6 情境启发
给学生创设学习某种数学知识的情境，使其身临其境，有感性认识，减少解题困难，培养学生的独创精神。通过分析学生生活环境，从他们的生活中找到与新知识相关联的事物，从熟悉的事物出发，利用知识迁移手段，让他们进入一个新的领域，掌握新的内容，这样不但可以大大地激发学生的学习积极性，而且还可以将抽象的概念简单化、具体化。
例如：在学习《平均数、众数和中位数使用》时，创设这样的情景：李先生有一个小工厂，管理人员由李先生、他的弟弟、六个亲戚组成，工作人员由5个领工和10个工人组成。工厂经营很顺利，需要增加一个新的工人。小张去应聘时，李先生说：“我们这里的报酬不错，平均薪金是每周300元。”小张工作几天后找到李先生说：“你欺骗了我，我已经问过其他的工人，没有一个工人的工资超过每周100元的，平均工资怎么可能是一周300元呢？”李先生说：“小张，
问题：
（1）李先生说每周平均工资300元是否欺骗了小张？平均工资300元能否反
映工人的平均收入？若不能，你认为应该用什么工资反映比较合适？
（2）小张找工作时，你认为应该了解什么工资？
通过创设这样的问题情境，提出一个真实的问题，造成学生认知上的冲突（原
有的“平均数”的经验有点行不通了）。形成学生欲罢不能的态势，很快对教学
内容产生浓厚的兴趣，就会积极去探索和发现，这样将抽象的“中位数、众数”的概念简单化、具体化，对它们的应用就有了亲身的感受。
2.7 图示启发
运用图示启发学生，是常用方法。无论是讲解概念、法则、定理，还是讲解
应用题，运用图示法都有良好效果。
例如：在教学《长方形的面积公式》时，教师可以通过以下操作演示，启发
学生概括长方形面积的计算公式。
（1） 让学生把准备好的12个1平方厘米的小正方形，摆成如图1的长方形，
并说出所摆长方形的长、宽和面积各是多少?
（2） 仔细观察，想象图2、图3、图4长方形的面积各是多少平方厘米？
（3） 根据以上的观察和计算，思考长和宽的乘积与长方形的面积有什么关系？
（4） 根据以上规律，谁能总结出长方形面积的计算公式？
通过以上操作演示，教师逐步引导学生概括出长方形面积的计算公式。这样步步为营，层层深入，为学生提供了表象，让学生经历了从感性认识到理想认识的过程，使学生深刻理解所学知识。
2.8 类比启发
运用从特殊到特殊的思维形式，“以此类推”有利于发展学生的求同思维，
培养举一反三、触类旁通的能力，促进知识与能力的迁移。
例如：弄清了多元函数可微与全微分概念这两个定性问题后，全微分dz?A?x?B?y结构的定量问题即A??B??瓜熟蒂落、自然来到眼前。为此，依据类比原理，我们引导学生借助一元微分所获得性质、结论、经验和方法等，有表及里寻求相似，建构类比关系如下：
类比对象 类比属性
(1)?y?A?x??(?x)
y?f(x) (2)dy?A?x
(3)可微必可导，且A?f?(x)
(4)反之，可导必可微
(1)?z?A?x?b?y??(?),??(?x)2?(?y)2
z?f(x,y) (2)dz?A?x?B?y
(3)?
(4)?
让学生在观察、思考的基础上，提出问题、进行猜想：二元是否具有与一元函数(3)和（4）类似的结论？若有，如何准确表述？又如何进行严格论证？以引导学生类比一元微分获得的结论、经验和方法，经由自己的独立思考与探究，以及同伴之间的讨论与交流，来发现规律、做出结论、进行论证。彻底改变了传统上将知识当作一个现成的结论告知学生，教师要做的主要是解释、验证工作的简单作法，使学生在这种主动探究、积极建构的数学创造活动中，体验发现的喜悦，感受创造的快乐。
2.9 讨论启发
在数学课中采用讨论式，受到学生的普遍欢迎。具体做法是：提前两天向学生布置讨论题，要求认真预习，充分准备，讨论课时将学生分成几组，提倡各抒己见，畅所欲言，课后每组交一份小结。
例如：讨论多元复合函数求导法则时：
设z?f(u,x,y),u??(x,y)
?z?f?u?f ????x?u?x?x
?z?f?u?f????y?u?y?y
举例说明公式中
数”? (1)若u?f(x,xy,xyz),求?u ?x?y?z?f?z?f与,与的区别，如何理解多元复合函数的“全导?x?x?y?y
(2)若z?f(x??(y)),证明?z?z?z?z???2 ?x?x?y?y?x
讨论缩短了学生与教师间的距离，使气氛变得融洽，这样的教学活动使原本枯燥乏味的东西变得有趣味，提高了大家的热情，对提高学生的综合能力很有帮助。讨论课的形式自由，随意插话，无拘无束，集思广益，容易收到举一反三的效果。
2.10 多解启发
启发学生一题多解、一题多证、多题一法，培养学生的发散思维能力，培养思维的灵活性、敏捷性、广阔性。
例如：：化简sin220??cos250??sin20?cos50?
解：（法一）利用三角函数有关计算公式直接化简
sin220??cos250??sin20?cos50?
1?cos40?1?cos100?
???sin20?cos50?
22
11?1?cos40??cos100??sin20?cos50?
22
11?1?cos40??cos(60??40?)?sin20?cos(30??20?)22
111?1?cos40??cos60?cos40??sin60?sin40?
222
?sin20?cos30?cos20??sin20?sin30?sin20?
11331?1?cos40??cos40??sin40??sin40??sin220?
24442
131?cos40?
????1?cos40?sin40?sin40?4444
3? 4
（法二）构造数式
令x?sin220??cos250??sin20?cos50?...................（1） y?cos220??sin250??cos20?sin50?................... (2)
(1)+ （2）得：x?y?2?sin70?
（1）-（2）得：
x?y??cos40??cos100??sin30?
1
2
311??cos10??sin10??sin10??222 311??(cos10??sin10?)?222
1??sin70??2??cos(30??10?)?cos(90??10?)?
3 4
比较：法一：简单易懂，对公式进行充分的应用，适用范围广；计算繁琐易出错 法二：构思巧妙，计算简单；仅对特定题型适用
2.11 其他启发形式
激情启发：运用形象化语言讲述富于生动感人的具体实例中。有助于突出主题，强化认识，在引导学生明理激情的过程中，教师要先做到感情丰富、直观形象、生动活泼，抓住激发学生感情的热点。有情有理，情景交融，以情感人。
攻难启发：积极地思维与疑难并存，学生在克服困难、解决问题时，会显得很有兴致。教学中设置一定难度，经过努力可以解决的问题，让学生“尝尝梨子”。在难题面前，学生会思维高度集中、大胆探索，通过自己劳动攻克难关，获得知识，产生愉快心里，感受学习欢快。
对比启发：将有内在联系的旧知识作为学习新知识的基础；或将所发生在同一事物中的许多为他相对集中，或将同类知识整理归类，或将容易混淆的知识进行对比，启发学生分清异同，找出本质差别，认识规律，灵活运用。 故有：x?3 怎样应用启发式教学
在众多的启发式教学形式的指引下，启发式教学怎样才能在数学教学中发挥其作用呢？
首先，应从传统的注入式教学观念的束缚中解脱出来，不断加深对启发式教学的理解，高度认识启发式教学的重要作用和价值，积极大胆地进行启发式教学的探索，在数学教学中贯彻启发式教学的精神。
其次，努力提高专业水平，掌握广博高深的专业知识，熟悉教材的体系结构、重点难点。只有这样才能在讲授中左右逢源，触类旁通；专业知识不强往往只能照本宣科简单地进行灌输。
最后，深入钻研课堂教学艺术，借鉴成功的启发式教学范例。吸取行之有效地启发式教学的经验和办法，为运用启发式教学提供有益的启示。全面了解学生的情况，学生的全面情况是启发式教学之目标，只有找准了目标，才能有的方矢，启发式教学才能获得成功。
4 结语
实践证明，启发式教学为学生留有探索与思考的空间，使学生的主动性、创造性得到了很好的发挥，是十分有效的教学方法。所以，在数学教学中，只有充
分合理的应用启发式教学，激发学生探索数学的兴趣，体验数学的价值和神奇，让学生在数学学习活动的过程中发现问题，学生才能走出数学苦旅的沙漠，奔向生活数学、活动数学、探索数学的绿洲。
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学年论文任务书
江西科技师范学院数学与计算机科学学院
学年论文成绩评定表
教研室主任：
