爱华网椭圆题型总结
一、 椭圆的定义和方程问题
(一) 定义:
1. 命题甲:动点P到两点A,B的距离之
2. 和??2a(a?0,常数);命题乙: P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的 ( B )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
3. 已知F1、F2是两个定点，且F1F2?4,若动点P满足PF1?PF2?4则动点P的轨迹是（ D ）
A.椭圆 B.圆 C.直线 D.线段
QFPQFF4. 已知1、2是椭圆的两个焦点, P是椭圆上的一个动点,如果延长1到,使得PQ?PF2,那么动点的轨迹
是( B )
A.椭圆 B.圆 C.直线 D.点
x2y2
O是椭圆的中心，??1上一点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，5. 椭圆则ON的值是 259
x2y2
??1的左焦点，P在椭圆上运动，定点A（1，1）6. 选做：F1是椭圆，求|PA|?|PF1|的最小值。 95
解：|PA|?|PF1|?|PA|?2a?|PF2|?2a?|AF2|?6?2
(二) 标准方程求参数范围
x2y21. 试讨论k的取值范围，使方程（略） ??1表示圆，椭圆，双曲线。5?kk?3
mx?ny?1表示焦点在y轴上的椭圆”的2. “m?n?0”是“方程( C )
A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
3. 若方程xsin??ycos??1表示焦点在y轴上的椭圆，?所在的象限是（ A ）
A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 方程x??3y所表示的曲线是
5. 已知方程x2?ky2?2表示焦点在X轴上的椭圆,则实数k的范围是
1. 根据下列条件求椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，－5），椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26； 22222(三) 待定系数法求椭圆的标准方程
y2x2
??1 169144
（2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，－6）；
y2x2x2y2
??1,或??1 521314837
,求椭圆方程. （3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(6,1),P2(?,?2)
x2y2
9
?3?1
2. 简单几何性质
26e?3； （2）过（3，0）点，离心率为3。 1． 求下列椭圆的标准方程（1）
y2x2x2y2y2x2x2y2
??1,或??1 ??1,或??1 144801448027993c?8,e?
（3）椭圆的对称轴为坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆的最近距离是。 y2x2x2y2
??1,或??1 912912
（4）椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程为
y2x2x2y2
??1,或??1 16251625
（5）已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为
圆的一个焦点。 42和，过P作长轴的垂线恰好过椭33
y23x2x23y2
??1,或??1 510510
x2y2
3．过椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若?F1PF2?60?，则椭圆ab
________________ 的离心率为_____3
（四）椭圆系————共焦点，相同离心率
1． 椭圆x2y2??1259与x2y2??1(0?k?9)25?k9?k
的关系为（ A ）
A．相同的焦点 B。有相同的准线 C。有相等的长、短轴 D。有相等的焦距
x2y2
??1有相同焦点，且经过点?3，2、求与椭圆?2?的椭圆标准方程。 94
x2y2
??1 1510
（五）焦点三角形4a
x2y2
1. 已知F1、F2为椭圆??1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点。若F2A?F2B?12，则AB? 259
8 。
x2y2
2. 已知F1、F2为椭圆??1的两个焦点，过F2且斜率不为0的直线交椭圆于A、B两点，则?ABF1的周长259
是 20 。
x2
3. 已知?ABC的顶点B、C在椭圆?y2?1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，3
则?
ABC
（六）焦点三角形的面积： x2
1. 已知点P是椭圆，求点P到x轴的距离。 ?y2?1上的一点，F1、F2为焦点，1?PF2?04
?x2?y2?3?x轴的距离为|y|? 解：设P(x,y)则?x2解得，所以求点到P|y|?233??y?1?4
?x2y2
2. 设M是椭圆??1上的一点，F1、F2为焦点，?F1MF2?，求?F1MF2的面积。 62516
|PF1|2?|PF2|2?|F1F2|2(|PF1|?|PF2|)2?2|PF1|?|PF2|?4c2
cos???2|PF1|?|PF2|2|PF1|?|PF2|解：4b?2|PF1|?|PF2|
2|PF1|?|PF2|
?当?F1MF2?，S=1|PF|?|PF|sin??16(2?) 12626?
2 1x2y2?3. 已知点P是椭圆 ，则?
PF??1上的一点，F1、F
21F22259
x2y2
4. 已知AB为经过椭圆2?2?1(a?b?0)的中心的弦，F(c,0)为椭圆的右焦点， 则△AFB的面积的最大值为 cb 。a
b
（七）焦点三角形
1.
2.
3.
4. x2y2 设椭圆??1的两焦点分别为F1和F2，P为椭圆上一点，求PF1?PF2的最大值，并求此时P点的坐标。94x2y2O 椭圆则PF2?；?F1PF2???1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若PF1?4，92x2y2椭圆??1的焦点为F1、F2，P为其上一动点，当?F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围为94 1x2y2
MO?5?PF1；F2分别是椭圆的左、F1、P为椭圆右焦点。（1）若PF的中点是，M??1上一点，122516
（2）若?F1PF2?60?，求PF1?PF2的值。
111|PF2|?(2a?|PF1|)?5?|PF1| 222解：（1）MO为三角形PF1F2的中位线，|MO|?
（2）PF1?PF2=64 3
（八）与椭圆相关的轨迹方程
定义法：
1. 点M(x,y)满足x2?(y?3)2?x2?(y?3)2?10，求点M的轨迹方程。
y2x2
（??1） 2516
2. 已知动圆P过定点A(?3,0)，并且在定圆B:(x?3)2?y2?64的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程.
x2y2
??1 167
3. 已知圆C1:(x?3)2?y2?4,圆C2:(x?3)2?y2?100，动圆P与C1外切，与C2内切，求动圆圆心P的轨迹方程.
解：由题|PC1|?|PC2|?r?2?10?r?12
x2y2
所以点P的轨迹是：以C1，C2为焦点的距离之和为12的椭圆。c?3,a?6，方程为??1 3627
4. 已知A(?1,0)，是圆F:(x?1)2?y2?4（为圆心）上一动点,线段BFAB的垂直平分线交BF于P,则动点P2
4y22 的轨迹方程为 x?3?12
x2y2
5. 已知A(0,-1),B(0,1),△ABC的周长为6，则△ABC 的顶点C的轨迹方程是 3?4?1 直接法
6. 若?ABC的两个顶点坐标分别是B(0,6)和C(0,?6)，另两边AB、AC的斜率的乘积是?4，顶点A的轨迹方程9
x2y2
??1 为 8136
相关点法
7. 已知圆x2?y2?9，从这个圆上任意一点P向x轴引垂线段PP'，垂足为P'，点M在PP'上，并且?2'，
求点M的轨迹。
x2
?y2?1 9
8. 已知圆x2?y2?1， 从这个圆上任意一点P向X轴引垂线段PP’，则线段PP’的中点M的轨迹方程是22x2y2
9. 已知椭圆2?2?1，A、B分别是长轴的左右两个端点，P为椭圆上一个动点，求AP中点的轨迹方程。 54
(2x?5)2y2
??1 254
10. 一条线段AB的长为2a，两端点分别在x轴、y轴上滑动 ，,求点M的点M在线段AB上，且AM:MB?1:2
轨迹方程.
9x2
?9y2?1 4
二、 直线和椭圆的位置关系
(一)判断位置关系
1． 当m为何值时,直线l:y?x?m和椭圆9x2?16y2?144 (1)相交；(2)相切；(3)相离。
?y?x?m解：由?2消去y得25x2?32mx?16m2?144?0，判别式：??576(25?m2) 2?9x?16y?144
所以，当?5?m?5时直线与椭圆相交；当m??5时直线与椭圆相切；当m??5或m?5时直线与椭圆相离。 2． 若直线y?kx?2与椭圆2x2?3y2?6有两个公共点，则实数k的取值范围为。k??66 或k?33
(二)弦长问题
x2y2
1. 设椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左右两个焦点分别为F1、F2，过右焦点F2且与x轴垂直的直线l与椭圆Cab
相交，其中一个交点为M(2,1)。
x2y2
（1） 求椭圆的方程；??1 42
（2） 设椭圆C的一个顶点为B（0，-b），直线BF2交椭圆C于另一点N，求?F1BN的面积。
解：由（1）点B（0，?2），F2(2,0)，直线BF2的方程为：x?y?2
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