爱华网动能定理及能量守恒定律
二. 具体过程
本章知识点：
（一）功和功率
1. 功
2. 功率
（二）动能和动能定理
1. 动能定理
（1）内容：_________的功等于物体_________的变化。
（2）表达式：=__________________。
2. 动能定理的另一种表述
外力对物体做功的代数和等于_________的增量
考纲要求：功能关系、机械能守恒定律及其应用 II
（三）机械能守恒定律
1. 条件
（1）只有重力或系统内弹力做功。
（2）虽受其他力但其他力不做功或做功的代数和为_________。
2. 表达式
（四）功能关系
内容：（1）势能定理：重力做的功等于重力势能增量的负值
弹力做的功等于弹性势能增量的负值
（2）动能定理：合力做的功等于动能的增量
（3）机械能定理：除了重力和弹力之外的其他力做的
功等于机械能的增量
（4）系统滑动摩擦力做的功等于系统内能的增量
（5）安培力做的功等于电路中产生的电能
表达式：
（1）WG=－ΔEP （2）W弹=－ΔE弹
（3）W合=ΔEK （4）WF（除G）=ΔE机
（5）W滑=ΔE内 （6）W安=ΔE电
重点知识：
（一）常用的几种功的计算方法
1. 恒力的功：。
2. 变力的功
（1）用动能定理或功能关系求解（功是能量转化的量度）。
（2）作出变力F随位移l变化的图象，图线与横轴所围的面积，即为变力的功。
（3）当变力的功率一定时，可用求功，如机车牵引力的功。
（4）将变力的功转化为恒力的功
①当力的大小不变，而方向始终与运动方向相同或相反时，如滑动摩擦力、空气阻力做的功，这类力的功等于力和路程的乘积。
②当力的方向不变，大小随位移做线性变化时，可先求出力对位移的平均值，再由计算功，如弹簧弹力做的功。
3. 合力的功：
（1）当合力是恒力时；
（2）当合力是变力时；
（3）。
特别提醒：（1）在运用公式求功时，F必须是恒力，l是力的作用点对地的位移，有时与物体的位移不相等。
（2）功是标量，有正、负，正功表示该力是物体前进的动力，能使物体动能增加，负功表示该力是物体前进的阻力，能使物体动能减小。
（二）动能定理的进一步理解
1. 外力对物体做的总功等于物体受到的所有力做功的代数和。
2. 动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，其中做功的力可以是各种性质的力，各种力既可以同时作用，也可以分段作用，只要求出作用过程中各力做功的多少和正负即可。
3. 动能定理中功和能均与参考系的选取有关，中学物理中一般取地球为参考系。
4. 对涉及单个物体的受力、位移及过程始末速度的问题的分析，尤其不涉及时间时，应优先考虑用动能定理求解。
5. 若物体运动包含几个不同过程时，可分段运用动能定理列式，也可以全程列式（不涉及中间速度时）。
（三）机械能守恒定律及能量守恒定律
1. 机械能是否守恒的判断
（1）用做功来判断：
分析物体或系统的受力情况（包括内力和外力），明确各力做功的情况，若对物体或系统只有重力或弹力做功，或虽受其他力，但其他力不做功或做功的代数和为零，则机械能守恒。
（2）用能量转化来判定：
若系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式能的转化，则系统机械能守恒。
（3）对一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等问题，机械能一般不守恒，除非题目中有特别说明及暗示。
2. 对能量守恒定律的理解
（1）某种形式能量的减少，一定存在其他形式能量的增加且减少量与增加量相等。
（2）某个物体能量的减少，一定存在其他物体能量的增加且减少量与增加量相等。
高考视点
1. 本专题知识还可结合曲线运动知识如平抛运动、圆周运动等进行综合考查，如典例2。
2. 本专题知识还可结合电、磁场知识进行考查，如典例4。
【典型例题】
一、做功的问题
例题1、（全国高考卷）一个圆柱形的竖直井里存有一定量的水，井的侧面和底部都是密闭的。在井中固定的插着一根两端开口的薄壁圆管，管和井共轴，管的下端未触及井底。在圆管内有一不漏气的活塞，它可沿圆管上下滑动。开始时，管内外水面相齐，且活塞恰好接触水面，如图所示。现用卷扬机通过绳子对活塞施加一个向上的力F，使活塞缓慢向上移动。已知管筒半径r=0.100m，井的半径R=2r，水的密度ρ=1.00×103kg/m3，大气压强ρ0=1.00×105Pa。求活塞上升H=9.00m的过程中拉力F所做的功。（井和管在水面以上及水面以下的部分都足够长。不计活塞质量及摩擦。重力加速度g取10m/s2）
解析：从开始提升到活塞升至内外水面高度差为的过程中，活塞始终与管内液体接触。（再提升活塞时，活塞和水面之间将出现真空，另行讨论）设活塞上升距离为，管外液面下降的距离为，如图所示。
因为液体的体积不变，有
得
题目中给出的，由此可知确实有活塞下面是真空的一段过程。
活塞移动距离从零到的过程中，对于水和活塞这个整体，其机械能的增量应等于除重力以外的其它力所做的功。因为始终无动能，所以机械能的增量也等于重力势能的增量，即
其它力有管内、外大气压力和拉力F。因为液体不可压缩，所以管内、外大气压力做的总功为
故外力做功就只是拉力F做的功，由功能关系知
即
活塞移动距离从到H的过程中，液面不变，F是恒力，其大小为，做功为
所以拉力F做的总功为
二、动能定理
例题2、如图所示，斜槽轨道下端与一个半径为0.4m的圆形轨道相连接.一个质量为0.1kg的物体从高为H＝2m的A点由静止开始滑下，运动到圆形轨道的最高点C处时，对轨道的压力等于物体的重力.求物体从A运动到C的过程中克服摩擦力所做的功.（g取10m/s2）
解析：在C点有 FN+mg=mvC2/r 而 FN =mg
则： vC ==m/s
全过程由动能定理得mg（h－2r）－Wf=mvC2
代数据得Wf=0.8J
例题3、（全国高考卷）如图所示，一辆汽车通过一根跨过定滑轮的绳PQ提升井中质量为m的物体，绳的P端拴在车后的挂钩上，Q端拴在物体上. 设绳的总长不变，绳的质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计. 开始时，车在A点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左侧绳长为H. 提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A经过B驶向C，设A到B的距离也为H，车过B点时的速度为v。求在车由A移到B的过程中，绳Q端的拉力对物体做的功.
解析：当车过B点时的速度为v，此时物体的速度为
v0＝vcosα
车由A运动到B的过程中，物体上升的高度为
设Q端的拉力对物体做功为W，对物体上升过程分析，由动能定理得
由几何关系知
所以可求得，绳Q端的拉力对物体做的功为
三、机械能守恒定律
例题4、（江苏高考卷）如图所示，半径为R、圆心为O的大圆环固定在竖直平面内，两个轻质小圆环套在大圆环上. 一根轻质长绳穿过两个小圆环，它的两端都系上质量为m的重物，忽略小圆环的大小。
（1）将两个小圆环固定在大圆环竖直对称轴的两侧θ=30°的位置上（如图）. 在两个小圆环间绳子的中点C处，挂上一个质量M=m的重物，使两个小圆环间的绳子水平，然后无初速释放重物M. 设绳子与大、小圆环间的摩擦均可忽略，求重物M下降的最大距离.
（2）若不挂重物M. 小圆环可以在大圆环上自由移动，且绳子与大、小圆环间及大、小圆环之间的摩擦均可以忽略，问两个小圆环分别在哪些位置时，系统可处于平衡状态?
解析：（1）重物向下先做加速运动，后做减速运动，当重物速度为零时，下降的距离最大. 设下降的最大距离为，由系统机械能守恒定律得
解得
（另解h=0舍去）
（2）系统处于平衡状态时，两小环的可能位置为
a. 两小环同时位于大圆环的底端.
b. 两小环同时位于大圆环的顶端.
c. 两小环一个位于大圆环的顶端，另一个位于大圆环的底端.
d. 除上述三种情况外，根据对称性可知，系统如能平衡，则两小圆环
的位置一定关于大圆环竖直对称轴对称. 设平衡时，两小圆环在大
圆环竖直对称轴两侧角的位置上（如图所示）.
对于重物，受绳子拉力与重力作用，有
对于小圆环，受到三个力的作用，水平绳子的拉力、竖直绳子的拉力、大圆环的支持力.两绳子的拉力沿大圆环切向的分力大小相等，方向相反
得，而，所以 。
例题5、（上海高考卷）如图所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A处固定质量为2m的小球，B处固定质量为m的小球。支架悬挂在O点，可绕过O点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动。开始时OB与地面垂直，放手后开始运动，在不计任何阻力的情况下，下列说法正确的是：
A. A球到达最低点时速度为零
B. A球机械能减少量等于B球机械能的增加量
C. B球向左摆动所能到达的最高位置应高于A球开始运动的高度
D. 当支架从左向右回摆时，A球一定能回到起始高度
解析：题中是三根杆子与两个小球组成的系统及机械能守恒。若以初始状态B球所在水平面为零势能面，则总的机械能为2mgh，当A球在最低点时B球势能为mgh，还有mgh的能量应该为A球与B球共有的动能，因此，B球还要继续上升，但整个过程系统机械能守恒，则A球机械能的减少量应该等于B球机械能的增加量，故选项B、C、D正确。
四、动能定理在电磁场中的应用
例题6、如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一个固定点O，用一根长度为L=0.80m的绝缘细线把质量为m=0.3kg、带有正电荷的金属小球挂在O点，小球静止在B点时细线与竖直方向的夹角为37度，现将小球拉至位置A使细线水平后由静止无初速度释放，求
（1）小球静止在B点时，细线对小球的拉力
（2）小球运动通过最低点C时的速度大小
（3）小球通过B点时细线对小球的拉力大小
解析：
五、功能关系
例题7、质量为M的木板在光滑的水平面上做速度为V0的匀速直线运动，在右端静止放上一个质量为m的小木块，为了使木板保持以原来的速度运动，需在木板的左端施加一个恒力作用，直到木块获得与木板相同的速度时撤去，设木板的长度足够长，木板与木块间的动摩擦因数为μ，求恒力的大小和做功的多少.
【模拟试题】
1. 滑块以速率靠惯性沿固定斜面由底端向上运动，当它回到出发点时速度变为，且，若滑块向上运动的位移中点为A，取斜面底端重力势能为零，则 （ ）
A. 上升时机械能减小，下降时机械能增大。
B. 上升时机械能减小，下降时机械能减小。
C. 上升过程中动能和势能相等的位置在A点上方
D. 上升过程中动能和势能相等的位置在A点下方
2. 如图所示，DO是水平面，AB是斜面，初速为v0的物体从D点出发沿DBA滑动到顶点A时速度刚好为零。如果斜面改为AC，让该物体从D点出发沿DCA滑动到A点且速度刚好为零，则物体具有的初速度 （ ）
（已知物体与路面之间的动摩擦因数处处相同且为零。）
A. 大于 v0 B. 等于v0
C. 小于v0 D. 取决于斜面的倾角
3. 光滑水平面上有一边长为的正方形区域处在场强为E的匀强电场中，电场方向与正方形一边平行。一质量为m、带电量为q的小球由某一边的中点，以垂直于该边的水平初速进入该正方形区域。当小球再次运动到该正方形区域的边缘时，具有的动能可能为：（ ）
A. 0 B.
C. D.
4. 如图所示，质量为m，带电量为q的离子以v0速度，沿与电场垂直的方向从A点飞进匀强电场，并且从另一端B点沿与场强方向成150°角飞出，A、B两点间的电势差为 ，且ΦA ΦB（填大于或小于）。
5. 如图所示，竖直向下的匀强电场场强为E，垂直纸面向里的匀强磁场磁感强度为B，电量为q，质量为m的带正电粒子，以初速率v0沿水平方向进入两场，离开时侧向移动了d，这时粒子的速率v为 （不计重力）。
6. 1914年，弗兰克和赫兹在实验中用电子碰撞静止的原子的方法，使原子从基态跃迁到激发态，证明了玻意尔提出的原子能级存在的假设，设电子的质量为m，原子的质量为M，基态和激发态的能量差为ΔE，试求入射电子的最小初动能。
7. 如图所示，斜面倾角为θ，质量为m的滑块距挡板P为s0，以初速度v0沿斜面上滑。滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面的下滑力。若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失。问滑块经过的路程有多长？
8. 图示装置中，质量为m的小球的直径与玻璃管内径接近，封闭玻璃管内装满了液体，液体的密度是小球的2倍，玻璃管两端在同一水平线上，顶端弯成一小段圆弧。玻璃管的高度为H，球与玻璃管的动摩擦因数为μ（μ＜tg37°＝，小球由左管底端由静止释放，试求：
（1）小球第一次到达右管多高处速度为零？
（2）小球经历多长路程才能处于平衡状态？
9. 在水平向右的匀强电场中，有一质量为m. 带正电的小球，用长为l的绝缘细线悬挂于O点，当小球静止时细线与竖直方向夹角为θ，现给小球一个垂直悬线的初速度，使小球恰能在竖直平面内做圆周运动。试问（1）小球在做圆周运动的过程中，在哪一个位置的速度最小？速度最小值是多少？（2）小球在B点的初速度是多长？
10. 如图所示，一块质量为M长为L的均质板放在很长的光滑水平桌面上，板的左端有一质量为m的物块，物块上连接一根很长的细绳，细绳跨过位于桌面的定滑轮，某人以恒定的速率v向下拉绳，物块最多只能到达板的中央，而此时板的右端尚未到达桌边的定滑轮处，试求
（1）物块与板的动摩擦因数及物块刚到达板的中央时板的位移
（2）若板与桌面之间有摩擦，为使物块能达到板的右端，求板与桌面间的动摩擦因数范围
（3）若板与桌面之间的动摩擦因数取（ 2 ）问中的最小值，在物块从板的左端运动到板的右端的过程中，人拉绳的力所做的功（其它阻力不计）
11. 滑雪者从A点由静止沿斜面滑下，经一平台后水平飞离B点，地面上紧靠平台有一个水平台阶，空间几何尺度如图所示。斜面、平台与滑雪板之间的动摩擦因数为。假设滑雪者由斜面底端进入平台后立即沿水平方向运动，且速度大小不变。求：
（1）滑雪者离开B点时的速度大小；
（2）滑雪者从B点开始做平抛运动的水平距离S。
12. 如图所示，一质量为M，长为l的长方形木板B放在光滑的水平面上，其右端放一质量为m的小物体A（m＜M）。现以地面为参照系，给A和B以大小相等，方向相反的初速度使A开始向左运动，B开始向右运动，但最后A刚好没有滑离B板。（1）若已知A和B的初速度大小为v0，求它们最后的速度大小和方向；（2）若初速度的大小未知，求小木块A向左运动到达最远处（从地面上看）离出发点的距离。
13. 如图所示，摆球质量为m，摆线长为l，若将小球拉至摆线与水平方向成30°角的P点处，然后自由释放，试计算摆球到达最低点时的速度和摆线中的张力大小。
14. 如图所示，AB是一段位于竖直平面内的光滑轨道，高度为h，末端B处的切线方向水平。一个质量为m的小物体P从轨道顶端A处由静止释放，滑到B端后飞出，落到地面上的C点，轨迹如图中虚线BC所示，已知它落地时相对于B点的水平位移OC = l。现在轨道下方紧贴B点安装一水平传送带，传送带的右端与B的距离为l/2。当传送带静止时，让 P再次从A点由静止释放，它离开轨道并在传送带上滑行后从右端水平飞出，仍然落在地面的C点，当驱动轮转动带动传送带以速度v匀速向右运动时（其他条件不变），P的落地点为 D。不计空气阻力。
（1）求P滑到B点时的速度大小
（2）求P与传送带之间的摩擦因数
（3）求出OD间的距离S 随速度v变化的函数关系式。
【试题答案】
1. BC
2. B
3. ABC
4. 小于
5.
6.
7.
8. （1），（2）
9. （1）A点， （2）
10. （1）， （2）（3）
11. （1） （2）；
12. （1） 方向向右
（2）在（1）中：A与B相对静止，A. B的对地位移大小分别为SA，SB，则SA+SB=l
则
得
设A向左运动最大位移为SA‘，则
所以
13. A球从P点做自由落体运动至B点，速度为，方向竖直向下
在B点，由于绳绷紧，小球速度为，方向垂直于OB，则
小球从B点沿圆弧运动至最低点C，则
则
在C点
14. （1），（2）（3）
