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专题限时集训(五)[第5讲 三角恒等变换与三角函数]<?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />
(时间：10分钟＋35分钟)
1．sin15°＋cos165°的值为( )
A.2(2) B．－2(2)C.2(6) D．－2(6)
2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝( )A．－5(4) B．－5(3)C.5(3) D.5(4)
3．设函数f(x)＝cosωx(ω>0)，将y＝f(x)的图象向右平移3(π)个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.3(1) B．3C．6 D．9
4．将函数y＝sinωx(ω>0)的图象向左平移6(π)个单位后的图象如图5－1所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是( )
图5－1
A．y＝sin6(π) B．y＝sin6(π)C．y＝sin3(π) D．y＝sin3(π)
1．若sinθ＋cosθ＝，则tan3(π)的值是( )
A．2－ B．－2－C．2＋ D．－2＋
2．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)2(π)的部分图象如图5－2所示，则ω，φ的值分别为( )
图5－2
A.2(1)，3(π) B．2，3(π) C.2(1)，6(π) D．2，6(π)
3．设函数f(x)＝2cos3(π)，若对于?x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值为( )
A．4 B．2 C．1 D.2(1)
4．将函数y＝(sinx＋cosx)(sinx－cosx)的图象向左平移4(π)个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，则y＝g(x)的图象( )
A．关于原点对称 B．关于y轴对称C．关于点，0(π)对称 D．关于直线x＝8(π)对称
5．若f(x)＝asin4(π)＋bsin4(π)(ab≠0)是偶函数，则实数a，b满足的关系是____________．
6．已知2(π)<β<α<4(3π)，cos(α－β)＝13(12)，sin(α＋β)＝－5(3)，则sinα＋cosα的值________．
7.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图5－3所示．
(1)求ω，φ的值；
(2)设g(x)＝2f2(x)f8(π)－1，当x∈2(π)时，求函数g(x)的值域．
图5－3
8．已知函数f(x)＝cos2ωx＋sinωxcosωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求f3(2π)的值；
(2)求函数f(x)的单调区间及其图象的对称轴方程．
专题限时集训(五)
【基础演练】
1．B 【解析】 方法1：sin15°＋cos165°＝sin15°－cos15°＝＝sin(－30°)＝－2(2).
方法2：显然sin15°－cos15°<0，
(sin15°－cos15°)2＝1－sin30°＝2(1)，故sin15°－cos15°＝－2(2).
2．B 【解析】 解法1：在角θ终边上任取一点P(a,2a)(a≠0)，则r2＝|OP|2＝a2＋(2a)2＝5a2，
∴cos2θ＝5a2(a2)＝5(1)，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝5(2)－1＝－5(3).
解法2：tanθ＝a(2a)＝2，cos2θ＝cos2θ＋sin2θ(cos2θ－sin2θ)＝1＋tan2θ(1－tan2θ)＝－5(3).
3．C 【解析】 方法1：将y＝f(x)的图象向右平移3(π)后得到的函数是y＝cosω(π)，因为该函数的图象与原图象重合，所以－3(π)ω＝2kπ(k∈Z)，得ω＝－6k，k∈Z，ω的最小值等于6.
方法2：3(π)是函数f(x)的最小正周期ω(2π)的整数倍，即ω(2π)k＝3(π)(k∈Z)，即ω＝6k(k∈Z)，又ω>0，所以ω的最小值等于6.
4．C 【解析】 平移后不改变函数的周期，即不改变ω的值，根据图中数据可以列出关于ω的方程．将函数y＝sinωx(ω>0)的图象向左平移6(π)个单位后得到的函数解析式为y＝sinωx＋6(π)，由图象知ω6(π)＝2(3π)，所以ω＝2，所以平移后的图象所对应函数的解析式是y＝sin3(π).【提升训练】
1．B 【解析】 由sinθ＋cosθ＝，得θ＝2kπ＋4(π)，所以tanθ＋3(π)＝tan3(π)＝3(3)＝－2－. 2．B 【解析】 最小正周期ω(2π)＝6(5π)－6(π)＝π，解得ω＝2，令2×6(π)＋φ＝0，得φ＝3(π). 3．B 【解析】 对于?x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)等价于函数f(x1)是函数f(x)的最小值、f(x2)是函数f(x)的最大值．函数f(x)的最小正周期为4，故|x1－x2|≥2(1)T＝2.
4．A 【解析】 y＝－cos2x，故平移后得g(x)＝－cos2x＋4(π)＝sin2x，这个函数是奇函数，故其图象关于原点对称．
5．a＋b＝0 【解析】 f(x)＝asin4(π)＋bsin4(π)＝a2(2)sinx＋2(2)cosx＋b2()＝2(2)[(a＋b)sinx＋(a－b)cosx]，因为f(x)是偶函数，所以对任意x，f(－x)＝f(x)，即2(2)[(a＋b)sin(－x)＋(a－b)cos(－x)]＝2(2)[(a＋b)sinx＋(a－b)cosx]，即(a＋b)sinx＝0对任意x恒成立，即a＋b＝0.
6.65(65) 【解析】 根据已知得sin(α－β)＝13(5)，cos(α＋β)＝－5(4)，
所以sin2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)
＝－5(3)×13(12)＋5(4)×13(5)＝－65(56).所以(sinα＋cosα)2＝1＋sin2α＝1－65(56)＝65(9).因为2(π)<α<4(3π)，所以sinα＋cosα>0，所以sinα＋cosα＝65(65).
7．【解答】 (1)由图象知T＝44(π)＝π，则ω＝T(2π)＝2.由f(0)＝－1得sinφ＝－1，即φ＝2kπ－2(π)(k∈Z)，∵|φ|<π，∴φ＝－2(π).
(2)由(1)知f(x)＝sin2(π)＝－cos2x，∴g(x)＝2f2(x)f8(π)－1
＝2(－cosx)4(π)－1＝2cosx(cosx＋sinx)(2)－1＝2cos2x＋2sinxcosx－1
＝cos2x＋sin2x＝sin4(π).∵x∈2(π)，∴2x＋4(π)∈4(5π)，
∴sin4(π)∈，1(2)，∴g(x)的值域为[－1，]．
8．【分析】 (1)利用降幂、辅助角公式先化为f(x)＝sin6(π)＋2(1)，再求解．
(2)结合正弦函数的单调区间、对称轴方程求解．
【解答】 (1)f(x)＝2(1)(1＋cos2ωx)＋2(3)sin2ωx＝2(1)＋sin6(π).
因为f(x)的最小正周期为π，所以2ω(2π)＝π，解得ω＝1
所以f(x)＝sin6(π)＋2(1)，所以f3(2π)＝－2(1).
(2)分别由2kπ－2(π)≤2x＋6(π)≤2kπ＋2(π)(k∈Z)，2kπ＋2(π)≤2x＋6(π)≤2kπ＋2(3π)(k∈Z)，可得kπ－3(π)≤x≤kπ＋6(π)(k∈Z)，kπ＋6(π)≤x≤kπ＋3(2π)(k∈Z)．
所以，函数f(x)的单调增区间为6(π)(k∈Z)；
函数f(x)的单调减区间为3(2π)(k∈Z)．
由2x＋6(π)＝kπ＋2(π)(k∈Z)得x＝2(k)π＋6(π)(k∈Z)．
所以f(x)图象的对称轴方程为x＝2(k)π＋6(π)(k∈Z)．
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