梯形的几何中心 一个几何结论在梯形中的应用

结论：任意四边形中，如果两条对角线互相垂直，那么这个四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．

简证：如图（1），因为AC⊥BD， 又＝AC×BO，＝AC×DO，所以＝AC（BO+ DO）＝ AC×BD．

某些问题应用这个结论来解很方便，但往往被同学们忽视，现仅就它在梯形问题中的应用列举几例，以开阔学生的视野．

例1梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AC＝5，BD＝6，中位线长为（如图2），求梯形的高．

解析：设梯形的面积为S，由于梯形的上下底和高都是未知数，故用梯形的面积公式求S困难不小．若考虑到上述结论，则问题立马解决．因为S＝ AC×BD＝×5×6＝15，又梯形的面积等于中位线乘以高，所以梯形的高为15÷＝．

例2 梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AB＝DC，若＝9（如图3），求梯形的中位线长．

解析：因梯形的中位线长等于两底和的一半，而分别求两底的长较困难，故不妨先过D作DE∥AC交BC的延长线于E（如图3），则AD＋BC＝BE；由条件，知△BDE是等腰直角三角形，只要能求出AC（或BD）的长，问题就容易解决．因为＝ AC×BD＝BD＝9，所以BD＝3，所以BE＝＝＝6，从而梯形的中位线长为3．

例3 梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，若AD＝1，∠ADB＝60，∠ACB＝30（如图4），求梯形的面积．

解析：本题学生的习惯思路是：欲求梯形的面积，需先求出梯形的两底和高，再用梯形的面积公式．但若能证明AC⊥BD及对角线AC、BD的长，则用上述结论易于求解．

∵AD∥BC，∠ADB＝60，∴∠DBC＝∠ADB＝ 60，

又∠ACB＝30，∴∠BOC＝90，即AC⊥BD；

在Rt△ABD中，∵∠ABD＝90－60＝30，∴BD＝2AD＝2，AB＝＝，从而AC＝2AB＝2；

故梯形ABCD的面积＝ AC×BD＝×2×2＝2．

例4 在△ABC中，BD和CE是两边上的中线，并且BD⊥CE，若BD＝12，△ABC的面积为108（如图5），求的值．

解析：连DE，由条件，不难发现四边形BCDE是一个梯形．因为DE∥BC且DE＝BC，所以 ＝＝＝×108＝27，所以梯形BCDE的面积为108－27＝81，因为BD⊥CE，由上述结论，知CE＝81×2÷12＝，由重心性质，知BF ＝BD＝8，故 ＝8÷＝．

长期的教学发现：学生因受图形常用面积公式的影响，在解题时常走弯路或解法复杂，甚至难以解答，忽视或不习惯用一些现成的结论来进行简易的解答。基于此，笔者写作此文，以防止同学们因受图形常用面积公式的影响而形成一种思维定势。

注:本文曾发表于<中学生数学>2011年第2期

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