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教学目标：
1. 能够写出实际问题中反比例关系的函数解析式，从而解决实际问题。
2. 用描点法画出反比例函数的图象，当时，双曲线的两支在一、三象限；当时，双曲线的两支在二、四象限，双曲线是关于原点的对称图形，这一点在作图时很重要。
3. 用一元方程求解反比例函数的解析式，学习中与正比例函数相类比。
4. 掌握反比例函数增减性，时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大。
5. 熟练反比例函数有关的面积问题。
二. 重点、难点
重点：反比例函数的定义、图象性质。
难点：反比例函数增减性的理解。
【典型例题】
例1. 下列各题中，哪些是反比例函数关系。
（1）三角形的面积S一定时，它的底a与这个底边上的高h的关系；
（2）多边形的内角和与边数的关系；
（3）正三角形的面积与边长之间的关系；
（4）直角三角形中两锐角间的关系；
（5）正多边形每一个中心角的度数与正多边形的边数的关系；
（6）有一个角为的直角三角形的斜边与一直角边的关系。
解：成反比例关系的是（1）、（5）
点拨：若判断困难时，应一一写出函数关系式来进行求解。
例2. 在同一坐标系中，画出和的图象，并求出交点坐标。
点悟：的图象是双曲线，两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小。并且每一支都向两方无限接近x、y轴。而的图象是过原点的直线。
解：
，
双曲线与直线相交于（2，4），（）两点。
点拨：本题求解使用了“数形结合”的思想。
例3. 当n取什么值时，是反比例函数？它的图象在第几象限内？在每个象限内，y随x增大而增大或是减小？
点悟：根据反比例函数的定义：，可知是反比例函数，必须且只需且
解：是反比例函数，则
即
故当时，表示反比例函数
双曲线两支分别在二、四象限内，并且y随x的增大而增大。
点拨：判断一个函数是否是反比例函数，惟一的标准就是看它是否符合定义。
例4. 若点（3，4）是反比例函数图象上一点，则此函数图象必经过点（ ）
A. （2，6） B. （2，－6）
C. （4，－3） D. （3，－4）
（2002年武汉）
点悟：将点（3，4）代入函数式求出m的值。
解：将点（3，4）代入已知反比例函数解析式，得
即，
将A点坐标代入满足上式，故选A。
点拨：本题中求的值的整体思想是巧妙解题的关键。
例5. a取哪些值时，是反比例函数？求函数解析式？
解：
解得，
当时，
当时，
当时，函数是反比例函数，其解析式为
点拨：反比例函数可写成，在具体解题时应注意这种表达形式，应特别注意对这一条件的讨论。
例6. 若函数是反比例函数，求其函数解析式。
解：由题意，得
得
故所求解析式为
点拨：在确定函数解析式时，不仅要对指数进行讨论，而且要注意对x的系数的条件的讨论，二者缺一不可。
例7. （1）已知，而与成反比例，与成正比例，并且时，；时，，求y与x的函数关系式；
（2）直线：与平行且过点（3，4），求的解析式。
解：（1）与成反比例，与成正比例
，
把，及，代入
得
（2）与平行
又过点（3，4）
，
直线的解析式为
点拨：这是一道综合题，应注意综合应用有关知识来解之。
例8. 一定质量的二氧化碳，当它的体积时，它的密度
（1）求与V的函数关系式；
（2）求当时二氧化碳的密度。
解：（1）由物理知识可知，质量m，体积V，密度之间的关系为。由，，得
（2）将代入上式，得
点拨：这是课本上的一道习题，它具有典型性，其意义在于此题与物理知识、化学知识形成了很好的结合，且V的取值可变化。
例9. 在以坐标轴为渐近线的双曲线上，有一点P（m，n），它的坐标是方程的两个根，求双曲线的函数解析式。
点悟：因为反比例函数的图象是以坐标轴为渐近线的双曲线。所以，不妨设所求的函数解析式为。然后把双曲线上一点的坐标代入，即可求出k的值。
解：由方程解得
，
P点坐标为（）或（）
设双曲线的函数解析式为，则
将，代入，得
将，代入，得
故所求函数解析式为
点拨：只需知道曲线上一点即可确定k。
例10. 如图，的锐角顶点是直线与双曲线在第一象限的交点，且
（1）求m的值
（2）求的值
解：（1）设A点坐标为（a，b）（，）
则，
，
又A在双曲线上
，即，
（2）点A是直线与双曲线的交点
或
A（）
由直线知C（－6，0）
，，
点拨：三角形面积和反比例函数的关系，常用来求某些未知元素（如本例中的m）
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
一. 选择题
1. 函数是反比例函数，则m的值是（ ）
A. 或 B.
C. D.
2. 下列函数中，是反比例函数的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 函数与（）的图象的交点个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 不确定
4. 函数与的图象可能是（ ）
A B C D
5. 若y与x成正比，y与z的倒数成反比，则z是x的（ ）
A. 正比例函数 B. 反比例函数
C. 二次函数 D. z随x增大而增大
6. 下列函数中y既不是x的正比例函数，也不是反比例函数的是（ ）
A. B.
C. D.
二. 填空题
7. 一般地，函数__________是反比例函数，其图象是__________，当时，图象两支在__________象限内。
8. 已知反比例函数，当时，_________
9. 反比例函数的函数值为4时，自变量x的值是_________
10. 反比例函数的图象过点（－3，5），则它的解析式为_________
11. 若函数与的图象有一个交点是（，2），则另一个交点坐标是_________
三. 解答题
12. 直线过x轴上的点A（，0），且与双曲线相交于B、C两点，已知B点坐标为（，4），求直线和双曲线的解析式。
13. 已知一次函数与反比例函数的图象的一个交点为P（a，b），且P到原点的距离是10，求a、b的值及反比例函数的解析式。
14. 已知函数是一次函数，它的图象与反比例函数的图象交于一点，交点的横坐标是，求反比例函数的解析式。
【试题答案】
一. 1. B 2. B 3. A 4. A 5. A 6. C
二. 7. ，；双曲线；二、四
8. 9. 10. 11. （，）
三. 12. 由题意知点A（，0），点B（，4）在直线上，由此得
点B（，4）在双曲线上
，
双曲线解析式为
13. 由题设，得
，
，或，
14. 由已知条件
使
代入
因图象交于一点，
即
【励志故事】
愚钝的力量
大科学家爱因斯坦曾做过一个实验：他从村子里找了两个人，一个愚钝且软弱，一个聪明且强壮。爱因斯坦找了一块两英亩左右的空地，给他俩同样的工具，让他们在其间比赛挖井，看谁最先挖到水。
愚钝的人接到工具后，二话没说，便脱掉上衣干起来。聪明的人稍作选择也大干起来。两个小时过去了，两人均挖了两米深，但均未见到水。聪明的人断定选择错了，觉得在原处继续挖下去是愚蠢的，便另选了块地方重挖。愚钝的人仍在原地吃力地挖着，又两个小时过去了，愚钝的人只挖了一米，而聪明的人又挖了两米深。愚钝的人仍在原地吃力地挖着，而聪明的人又开始怀疑自己的选择，就又选了一块地方重挖。又两个小时过去了，愚钝的人挖了半米，而聪明的人又挖了两米，但两人均未见到水。这时聪明人泄气了，断定此地无水，他放弃了挖掘，离去了。而愚钝的人此时体力不支了，但他还是在原地挖，在他刚把一锨土掘出时，奇迹出现了，只见一股清水汩汩而出。
比赛结果，这个愚钝的人获胜。爱因斯坦后来对学生说，看来智商稍高、条件优越、聪明强壮者不一定会得到成功，成功有时需要一种近乎愚钝的力量啊！
