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此外，还将外部的一个角从120度变成30度、60度、75度、90度，分别得出了不同的结论。
真是一波未平一波又起，在这一篇文章中，作者又继续将上一篇文章中最后一个模型进行拓展，讲解和等边三角形有关的一个最值模型。
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《初中数学 | 平面几何的模型与方法系列分享（一）总纲》
《初中数学 | 平面几何的模型与方法系列分享（二）“两形”之等边三角形》
《初中数学 | 平面几何的模型与方法系列分享（三）“两形”之等边三角形2》
如图，在上一篇文章的最后，我们讲到了这个模型。△ABC是等边三角形，在其外部有一点D，当∠BDC=90度时，把△ABD旋转至△ACM，连接CM、DM，可以证明∠DCM=150度。
延长DC，过M做MQ垂直于DQ，运用勾股定理可以得出m,x,y,之间的数量关系，即AD、BD、CD之间的数量关系如下：
此时，∠BDC=90度，我们也可以换一个角度来理解，把BD和CD看成坐标系的y轴和x轴，这就变成了一个和等边三角形相关的一个非常重要的最值模型：
问题描述：如图，边长为2的等边三角形△ABC的两个顶点A、B分别在y轴和x轴上运动，求OC的最大值和最小值？
要解决这个问题，我们介绍两种方法。第一种方法叫做“三角形法则“。
如图所示：
当我们需要求一条“未知”的线段（AC）的最大值或最小值的时候，通常的做法就是将这条线段“放进”一个另外两边（AB、BC）都已知的三角形中，利用三角形“两边之和大于第三边，两边只差小于第三边”的法则，得出未知线段的最值。
在上述示意图中，|AB-BC|≤AC≤AB+BC ，当AB和BC反向共线时取得最大值，当AB和BC同向重合时取得最小值。
运用这个方法，我们要求OC的最值，首先要想办法把OC放进一个另外两边都已知的三角形中，我们发现△OAC，△OBC都不可以，因为OA和OB都不是已知线段。这时，联想到要在“变化之中寻找不变量”，应该取AB的中点M，因为斜边中线OM的长度始终等于AB的一半，等于1，这就是不变量。继续连接CM，它也是可求的，等于根3。
于是，当O，M，C共线时，OC取得最大值=1+根3。
当OC取最小值的时候，比较难直观理解，我们来看一下图：
第二种方法是“构造辅助圆”，如图：
要求一条线段的最值，通常的情况是这条线段一个端点是定点，一个端点是动点。（两个端点都是定点就是定值啦，两个端点都是动点的情况以后讲“最值专题”的时候专门再讲。）如果我们能找到这个动点是在一个圆上运动，就可以利用“圆外一个定点到圆上一个动点”的法则来求最值：如图，当线段过圆心时，PA最大，PB最小。
接下来，我们再看原题，也可以理解为△ABC不动，坐标系在运动，这是相对运动的思想。由于∠AOB始终等于90度，可以知道，点O在以AB为直径的⊙M上运动。
此时，当OC过圆心M时取得最大值和最小值。取最大值的情况如下：
取最小值的情况如下：
到这里我们要小结一下：请记住这两种方法，求“单条线段的最值”，一是用三角形法则，二是用辅助圆法则。（还是要备注一下，这里我们仅仅讲到了最值问题的皮毛，详细的最值问题以及分类我们后面会讲到哈。）
接下来，我们继续进行拓展，又继续思考当∠AOB不等于90度，而是其他特殊角度的时候，如何求最值。
变式一：如下图：当∠AOB=60度时，等边三角形ABC的顶点A、B分别在直线OA和OB上运动，求OC的最大值和最小值。
这个时候，我们经过实践探究就会发现，“三角形法则”在这里不太好用，OC无法放进一个两边都已知的三角形中。这里用辅助圆法则更好。
如图：
当OC过△ABC的外接圆圆心时可以求最值，此时，求解的关键是要求出△ABC的外接圆半径，求解过程如下：
此时，OC的最大值和最小值如下：
变式二：如下图：当∠AOB=30度时，等边三角形ABC的顶点A、B分别在直线OA和OB上运动，求OC的最大值和最小值。
变式三：如下图：当∠AOB=45度时，等边三角形ABC的顶点A、B分别在直线OA和OB上运动，求OC的最大值和最小值。
变式四：如下图：当∠AOB=62.5度时，等边三角形ABC的顶点A、B分别在直线OA和OB上运动，求OC的最大值和最小值。
变式五：如下图：当∠AOB=75度时，等边三角形ABC的顶点A、B分别在直线OA和OB上运动，求OC的最大值和最小值。
以上几种变式的最值，请各位读者自行参考变式一的求解方法进行求解，顺便可以巩固一下这个模型及方法。 此外，这个模型的出题方式还可以作一点修改，比如说限定点A和点B只能在“射线”OA和OB上运用，请思考OC有最大值还是有最小值？
总结 好了，又到了总结的时间。在本篇文章中，我们从上一篇文章《初中数学 | 平面几何的模型与方法系列分享（三）“两形”之等边三角形2》的最后一个模型出发，将等边三角形外部的一个直角变成了“直角坐标系”，进而引入了一个非常重要的和等边三角形相关的最值模型。我们对这个最值模型给出了两种求解方法：1三角形法则；2辅助圆法则。
同时，我们又继续进行拓展和变形，将“直角坐标系”变成了“特殊角度的两条直线”，给出了五个变式。对第一个变式，给出了证明过程，其余变式留给读者思考。
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下期内容预告初中数学 | 平面几何的模型与方法系列分享（五）“两形”之等边三角形4
关于作者樊浪，新东方教育科技集团中级教学培训师，新东方优能中学推广管理中心高级产品架构师，新东方二十周年功勋教师。
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