新旧公司法比较分析 品析一道新旧融合名题背景的高考题

2011年高考湖北数学卷理科第15题是一道很值得品味的考题。该题图文并茂、能力立意、新旧融合、背景新颖厚重、渗透课改理念，重点考查学生阅读理解能力、分析问题和解决问题的能力，考查分类讨论思想、合情推理能力和数学素养。

题目  给个自上而下相连的正方形着黑色或白色。当时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相连的着色方案如下图1所示：

  图1                            图2

由此推断，当时，黑色正方形互不相连的着色方案共有       种，至少有两个黑色正方形相连的着色方案共有       种，（结果用数值表示）。

本题图文并茂信息量大，信息的选择直接影响解题方向。题目中给出的当时，黑色正方形互不相连的着色方案的4组图形信息，看是可有可无好象只是用来帮助考生理解题意的，其实不然，这四组图形信息才是本命题的最大亮点，若去掉这一图形信息该命题则黯然失色命题效果则大打折扣。笔者认为给出的四组图形的结构不尽合理，不符合分类讨论由易到难由简到繁循序渐进的认知规律，特别是时的着色方案图给人分类混乱之感。若将给出的四组图换成图2的结构形式，更能帮助考生理解题意，这样命题就更加完美了，这不能不说是本命题的一个小小的瑕疵，当然瑕不掩瑜。如果认为图形信息只是用来帮助理解题意，可得如下解法1，若将四组图形当作是四个特例，作为归纳的起点可得如下解法2。可见这一图形信息不仅用来帮助理解题意，而且给考生提供了更多的思维空间，给考生创造性地简捷有效地解决问题提供了平台。

解法1  去掉四组图形信息后本题即为：给个自上而下相连的正方形着黑色或白色，黑色正方形互不相连的着色方案共有多少种，至少有两个黑色正方形相连的着色方案共有多少种（结果用数值表示）。

由于黑色正方形互不相连，涂黑的小正方形个数可以是。显然，当k=0时，6 个正方形全白只1种涂法；当k=1时，即只有一个正方形涂黑有6种涂法；当k=2时，在6个正方形中有两个涂黑又互不相邻，可采用插空法，先自上而下排好 4个白色正方形，这样形成5个空档，任选两个空档插入2个黑色正方形有种方法；当k=3时，在6个正方形中有三个涂黑又互不相邻，同样用插空法，先自上而下排好 3个白色正方形，这样形成4个空档，任选3个空档插入3个黑色正方形有种插法。

综上可知，给个自上而下相连的正方形着黑色或白色，黑色正方形互不相连的着色方案共有种。

每个小正方形都有黑、白两种填法，所以6个小正方形共有种填法。如前所述，其中黑色正方形互不相连的着色方案有21种，故至少有两个黑色正方形相连的着色方案共有64-21=43种。

解法2  将问题一般化，构建数列模型。用表示给个自上而下相连的正方形着黑色或白色，其中黑色正方形互不相连的着色方案种数。由这四组图形容易得出，，观察这个数列，如果考生能发现这几项是著名的斐波那契数列（也称黄金数列）的前几项，或能从中发现：，，由此提出猜想：从第三项起后面一项等于前两项之和即。于是，，故给个自上而下相连的正方形着黑色或白色，黑色正方形互不相连的着色方案共有种。下同法1略。

另一方面，由于采用不完全归纳法，从有限的几项归纳出的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，其正确性有待进一步的验证和证明。本题有不少考生作出如下归纳：因为，，，由此猜想，于是，，这也是合情推理，两个合情推理，一对一错结果大相径庭。

仿解法1知，，，都是斐波那契数列的项，于是我们更加坚信数列就是斐波那契数列，由此可见本题是以著名的斐波那契数列为背景的一道考题，以数学文化和数学名题为背景命题是近几年湖北卷的一大特色。

本题是大纲教材和新课标的一个很好对接的案例。解法1是大纲教材的缩影，解法2 正是新课标合情推理的要求。解法2以图形为依托，构造数列，通过观察分析进行归纳推理或联想发现规律，从而使问题得以解决。归纳推理是一种合情推理，归纳推理从形式上看，是由部分到整体、个别到一般的推理。应用归纳推理可以发现新事实，获得新结论。法国数学家拉普拉斯曾经说过：“即使在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比。”随着新课改的不断深入，新课标高考不仅考归纳推理还会考类比推理，事实上类比推理出现在高考卷上已不是什么新鲜事了，类比推理与归纳推理相比，类比推理更富创造性和开拓性，同样会成为高考的亮点。归纳推理和类比推理统称为合情推理，其推理过程都是根据已有的事实，从具体的问题出发，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想。数学结论、证明思路的发现，主要靠合情推理，因此我们不仅要教学生学会证明，也要教学生学会猜想。

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