学而思二年级奥数讲义 二年级奥数第二十四讲:整数的分拆


二年级奥数第二十四讲:整数的分拆

  例1 小兵和小军用玩具枪做打靶游戏,见下图所示.他们每人打了两发子弹.小兵共打中6环,小军共打中5环.又知没有哪两发子弹打到同一环带内,并且弹无虚发.你知道他俩打中的都是哪几环吗?

  解:已知小兵两发子弹打中6环,要求每次打中的环数,可将6分拆6=1+5=2+4;同理,要求小军每次打中的环数,可将5分拆5=1+4=2+3.

  由题意:没有哪两发子弹打到同一环带内并且弹无虚发,只可能是:

  小兵打中的是1环和5环,小军打中的是2环和3环.

  例2 某个外星人来到地球上,随身带有本星球上的硬币1分、2分、4分、8分各一枚,如果他想买7分钱的一件商品,他应如何付款?买9分、10分、13分、14分和15分的商品呢?他又将如何付款?

  解:这道题目的实质是要求把7、9、10、13、14、15各数按1、2、4、8进行分拆.

  7=1+2+4

  9=1+8

  10=2+8

  13=1+4+8

  14=2+4+8

  15=1+2+4+8

  外星人可按以上方式付款.

  例3 有人以为8是个吉利数字,他们得到的东西的数量都能要够用“8”表示才好.现有200块糖要分发给一些人,请你帮助想一个吉利的分糖方案.

  解:可以这样想:因为200的个位数是0,又知只有5个8相加才能使和的个位数字为0,这就是说,可以把200分成5个数,每个数的个位数字都应是8.

  这样由8×5=40及200-40=160,

  可知再由两个8作十位数字可得80×2=160即可.

  最后得到下式:88+88+8+8+8=200.

  例4 试将100以内的完全平方数分拆成从1开始的一串奇数之和.

  解:1=1×1=12=1(特例)

  4=2×2=22=1+3

  9=3×3=32=1+3+5

  16=4×4=42=1+3+5+7

  25=5×5=52=1+3+5+7+9

  36=6×6=62=1+3+5+7+9+11

  49=7×7=72=1+3+5+7+9+11+13

  64=8×8=82

  =1+3+5+7+9+11+13+15

  81=9×9=92

  =1+3+5+7+9+11+13+15+17

  100=10×10=102

  =1+3+5+7+9+11+13+15+17+19.

  观察上述各式,可得出如下猜想:

  一个完全平方数可以写成从1开始的若干连续奇数之和,这个平方数就等于奇数个数的自乘积(平方).

  检验:把11×11=121,和12×12=144,两个完全平方数分拆,看其是否符合上述猜想.

  121=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21

  144=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23

  结论:上述猜想对121和144两个完全平方数是正确的.

  例5 从1~9九个数中选取,将11写成两个不同的自然数之和,有多少种不同的写法?

  解:将1~9的九个自然数从小到大排成一列:

  1,2,3,4,5,6,7,8,9.

  分析 先看最小的1和最大的9相加之和为10不符合要求.

  但用次大的2和最大的9相加,和为11符合要求,得11=2+9.

  逐个做下去,可得11=3+8,11=4+7,11=5+6.

  可见共有4种不同的写法.

  例6 将12分拆成三个不同的自然数相加之和,共有多少种不同的分拆方式,请把它们一一列出.

  解:可以做如下考虑:若将12分拆成三个不同的自然数之和,三个数中最小的数应为1,其次是2,那么第三个数就应是9得:12=1+2+9.

  下面进行变化,如从9中取1加到2上,

  又得12=1+3+8.

  继续按类似方法变化,可得下列各式:

  12=1+4+7=2+3+7,

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  12=1+5+6=2+4+6.

  12=3+4+5.

  共有7种不同的分拆方式.

  例7 将21分拆成四个不同的自然数相加之和,但四个自然数只能从1~9中选取,问共有多少种不同的分拆方式,请你一一列出.

  解:也可以先从最大的数9考虑选取,其次选8,算一算21-(9+8)=4,所以接着只能选3和1.这样就可以得出第一个分拆式:21=9+8+3+1,

  以这个分拆式为基础按顺序进行调整,就可以得出所有的不同分拆方式:

  

  

  21=7+6+5+3}以7开头的分拆方式有1种

  ∴ 共有11种不同的分拆方式.

  例8 从1~12这十二个自然数中选取,把26分拆成四个不同的自然数之和.

  

  

  

  

  26=8+7+6+5}以8开头的分拆方式共1种不同的分拆方式总数为:

  10+10+8+4+1=33种.

  总结:由例4明显看出,欲求出所有的不同的分拆方式,必须使分拆过程按一定的顺序进行.

  

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