爱华网1.(2013·衡水调研)椭圆＋＝1(a>b>0)上任一点到两焦点的距离分别为d1，d2，焦距为2c.若d1,2c，d2成等差数列，则椭圆的离心率为(A )
A. B.
C. D.
解析：由d1＋d2＝2a＝4c，所以e＝＝，故选A.
2.(2012·福建省宁德市质量检查)已知方程＋＝1(k∈R)表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是(B )
A．k>1或k<3 B．1<<I>k<3
C．k>1 D．k<3
解析：因为方程＋＝1(k∈R)表示焦点在x轴上的椭圆，所以，解得1<<I>k<3，故选B.
3.(2013·温州五校)椭圆＋＝1的左焦点为F1，点P在椭圆上，若线段PF1的中点M在y轴上，则|PF1|＝(A )
A. B.
C．6 D．7
解析：由条件知PF2⊥x轴，
则|PF2|＝＝，
于是|PF1|＝2a－|PF2|＝2×5－＝，故选A.
4.(2012·海淀二模)已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|＋|的最小值是(C)
A．0 B．1
C．2 D．2
解析：由于O为F1、F2的中点，
则|＋|＝2||，
而当P为短轴端点时，||取得最小值1，
所以|＋|的最小值为2，故选C.
5.(2012·重庆市第二次七区联考)椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的三倍，则m的值为.
解析：由题意得＝3×1，所以m＝.
6.(2012·广东省潮州市上学期期末)直线x－2y＋2＝0经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为.
解析：由直线方程知椭圆的焦点为(－2,0)，顶点为(0,1)，则b＝1，c＝2，所以a＝＝，所以e＝＝.
7.(2012·广东省肇庆第一次模拟)短轴长为，离心率e＝的椭圆的两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为6 .
解析：由题知，即，
解得，
由椭圆的定义知△ABF2的周长为4a＝4×＝6.
8.设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为2.
(1)求椭圆C的焦距；
(2)如果＝2，求椭圆C的方程．
解析：(1)设椭圆C的焦距为2c.
由已知可得F1到直线l的距离为c＝2，
故c＝2.所以椭圆C的焦距为4.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由题意知y1<0，y2>0.
直线l的方程为y＝(x－2)．
联立，得方程组，
消去x，得(3a2＋b2)y2＋4b2y－3b4＝0，
解得y1＝，y2＝.
因为＝2，所以－y1＝2y2，
即＝2×，得a＝3.
而a2－b2＝4，所以b＝.
故椭圆C的方程为＋＝1.
9.(2012·广东省江门市第一次模拟)已知椭圆C的中心在原点，长轴在x轴上，经过点A(0,1)，离心率e＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线ln：y＝(n∈N*)与椭圆C在第一象限内相交于点An(xn,yn)，记an＝x，试证明：对?n∈N*，a1·a2·…·an>.
解析：(1)依题意，设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，
则，解得，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由，得x＝，
an＝x＝，
所以a1·a2·…·an＝×××…×＝>.
1.(2013·广东韶关市调研)函数y＝xex的最小值是( C)
A．－1 B．－e
C．－ D．不存在
解析：y′＝ex＋xex，令y′＝0，则x＝－1.
当x＜－1时，y′<0；当x＞－1时，y′>0，
所以x＝－1时，ymin＝－，故选C.
2.(2012·安徽省“江南十校”3月联考)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的图象如图所示，则下列叙述正确的是(C )
A．f(b)>f(c)>f(d)B．f(b)>f(a)>f(e)
C．f(c)>f(b)>f(a)D．f(c)>f(e)>f(d)
解析：观察函数f(x)的特征图象可知函数f(x)在区间(－∞，c]上单调递增，由于a＜b＜c，所以f(c)>f(b)>f(a)，故选C.
3.函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝( D )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：因为f′(x)＝3x2＋2ax＋3，且f(x)在x＝－3时取得极值，所以f′(－3)＝3×9＋2a×(－3)＋3＝0，解得a＝5，故选D.
4.函数f(x)＝(x2＋x＋1)ex(x∈R)的单调减区间为(－2，－1) .
解析：f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x＋1)ex
＝(x2＋3x＋2)ex(x∈R)，
令f′(x)<0，则x2＋3x＋2<0，
解得－2<<I>x<－1，即所求的单调减区间为(－2，－1)．
5.函数y＝f(x)在定义域(－，3)内的图象如图所示．记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为[－，1]∪[2,3) .
解析：因为导函数f′(x)≤0为函数f(x)的减区间，所以根据函数图象易知f′(x)≤0的解集为[－，1]∪[2,3)．
6.已知定义在R上的函数f(x)，g(x)满足＝ax，且f′(x)g(x)<<I>f(x)·g′(x)，＋＝，则a的值是.
解析：令F(x)＝，
则F(x)＝＜0，
所以函数F(x)在R上是减函数，于是0<<I>a<1.
则由＋＝，得a＋＝，解得a＝.
7.(2012·四川省自贡市第一次诊断)下列图象中，有且只有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导数f′(x)的图象，则f(－1)的值为－.
解析：由f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1＝(x＋a－1)(x＋a＋1)，且a≠0，所以导函数f′(x)的图象开口向上，且对称轴不是y轴，因此其图象就为第三个，所以由f′(x)的图象与x轴的交点为原点与y轴右侧的点可得a＝－1，所以f(－1)＝－－1＋1＝－.
8.设f(x)＝，其中a为正实数．
(1)当a＝时，求f(x)的极值点；
(2)若f(x)为[，]上的单调函数，求a的取值范围．
解析：因为f′(x)＝.
(1)当a＝时，若f′(x)＝0，
则4x2－8x＋3＝0，解得x1＝，x2＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，)
(，)
(，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
递增
极大值
递减
极小值
递增
由表可知，x1＝是极大值点，x2＝是极小值点．
(2)记g(x)＝ax2－2ax＋1，则g(x)＝a(x－1)2＋1－a.
因为f(x)为[，]上的单调函数，
则f′(x)在[，]上不变号．
因为>0，
所以g(x)≥0或g(x)≤0在x∈[，]上恒成立，
由g(1)≥0或g()≤0，得0<<I>a≤1或a≥，
所以a的取值范围是0<<I>a≤1或a≥.
9.已知函数f(x)＝x2－ax－aln(x－1)(a∈R)．
(1)当a＝1时，求函数f(x)的最值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
解析：(1)函数f(x)＝x2－ax－aln(x－1)(a∈R)的定义域是(1，＋∞)．
当a＝1时，f′(x)＝2x－1－＝，
所以f(x)在(1，)上为减函数，在(，＋∞)上为增函数，所以函数f(x)的最小值为f()＝＋ln2.
(2)f′(x)＝2x－a－＝，
若a≤0时，则≤1，f(x)＝>0在(1，＋∞)恒成立，
所以f(x)的增区间为(1，＋∞)．
若a>0，则>1，
故当x∈(1，]，f′(x)＝≤0，
当x∈[，＋∞)时，f(x)＝≥0，
所以a＞0时，f(x)的减区间为(1，)，f(x)的增区间为[，＋∞)．
1.点P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25内弦AB的中点，则直线AB的方程为(C )
A．x＋y－1＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x－y－3＝0 D．2x－y－5＝0
解析：由圆的方程知圆心坐标为(1,0)，圆心与P点的连线的斜率为－1，所以直线AB的斜率为1，又过点P(2，－1)，所以直线AB的方程为x－y－3＝0，故选C.
2.在平面直角坐标系内，若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则实数a的取值范围为(D )
A．(－∞，－2) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0，
即(x＋a)2＋(y－2a)2＝4表示以(－a,2a)为圆心，2为半径的圆，当－a<－2且2a＞0，即a>2时，曲线C上所有的点均在第二象限内，故选D.
3.已知A、B、C是圆O：x2＋y2＝1上不同的三个点，且·＝0，存在实数λ，μ满足＝λ＋μ，则点(λ，μ)与圆的位置关系是(B )
A．在单位圆外 B．在单位圆上
C．在单位圆内 D．无法确定
解析：因为点A、B、C在单位圆上，
故|OC|＝1，于是有|OC|2＝1，
即(λ＋μ)2＝1，展开得λ2＋μ2＝1，
所以点(λ，μ)在圆x2＋y2＝1上，故选B.
4.圆心在原点且与直线x＋2y＝4相切的圆的方程是x2＋y2＝ .
解析：由题意，半径R＝＝，
所以圆的方程为x2＋y2＝，故填x2＋y2＝.
5.以抛物线y2＝4x上的点(x0,4)为圆心，并过此抛物线焦点的圆的方程是(x－4)2＋(y－4)2＝25 .
解析：抛物线的焦点为(1,0)，准线为x＝－1，
根据点(x0,4)在抛物线上知42＝4x0，解得x0＝4，
所以圆心为(4,4)，半径为x0＋1＝5，
故所求圆的方程为(x－4)2＋(y－4)2＝25.
6.(2013·广东高州市第一次模拟)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝1 .
解析：设圆上任一点为Q(s，t)，PQ的中点为A(x，y)，
则，解得，
将其代入圆的方程，
得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，
整理得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
7.(2012·浙江省温州市2月适应性测试)若x2＋y2－4x＋2my＋m＋6＝0与y轴的两交点位于原点的同侧，则实数m的取值范围是m>3或－6<<I>m<－2 .
解析：圆方程配方，得(x－2)2＋(y＋m)2＝m2－m－2，
则，
解得m>3或－6<<I>m<－2.
8.已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，求圆心为C的圆的标准方程．
解析：由已知求得AB 的垂直平分线l′的方程为x－3y－3＝0.
圆心C的坐标是方程组的解，
解得.
半径r＝|AC|＝＝5.
故所求圆的方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
9.在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x－y＋4＝0相切．
(1)求圆O的方程；
(2)圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使||，||，||成等比数列，求·的取值范围．
解析：(1)依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x－y＋4＝0的距离，即r＝＝2.
所以圆O的方程为x2＋y2＝4.
(2)不妨设A(x1,0)，B(x2,0)，x1<<I>x2.
由x2＝4即得A(－2,0)，B(2,0)．
设P(x，y)，由||，||，||成等比数列，
得·＝x2＋y2，
即x2－y2＝2.
·＝(－2－x，－y)· (2－x，－y)
＝x2－4＋y2＝2(y2－1)．
由于点P在圆O内，故，由此得y2<1.
所以·的取值范围为[－2,0)．
1.下列求导运算正确的是( B )
A．(x＋)′＝1＋ B．(log2x)′＝
C．(3x)′＝3xlog3eD．(x2cos x)′＝－2xsin x
解析：(x＋)′＝1－；(3x)′＝3x·ln3；
(x2cos x)′＝(x2)′·cosx＋x2·(cos x)′
＝2xcos x－x2sin x，
所以A、C、D错．故选B.
2.若f′(x0)＝3，则 等于( B )
A．3 B．6
C．9 D．12
解析：
＝
＝ ＋
＝f′(x0)＋f′(x0)＝6，选B.
3.(2012·山东省日照市12月)设函数f(x)＝x2－6x，则f(x)在x＝0处的切线斜率为(D )
A．0 B．－1
C．3 D．－6
解析：f(x)在x＝0处的切线斜率为
f′(0)＝(2x－6)|x＝0＝－6.
4.已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f′(x)的图象大致形状是( B )
解析：设二次函数y＝ax2＋b(a<0，b>0)，则y′＝2ax，又因为a<0，故选B.
5.(2012·安徽皖南联考)曲线f(x)＝sin x的切线的倾斜角α的取值范围是[0，]∪[，π) .
解析：f′(x)＝cos x，而cos x∈[－1,1]，即－1≤tanα≤1，又α∈[0，π)，由正切函数图象得α∈[0，]∪[，π)．
6.(2012·广东省揭阳段考)如图，直线l是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线，则f′(4)＝ .
解析：由图象知l过点(0,3)、(4,5)，因此可以求出切 线l在点(4,5)处的斜率，f′(4)＝＝.
7.(2012·广东省汕头市质量测评)设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝1 .
解析：由y′＝2ax，又点(1，a)在曲线y＝ax2上，
依题意得k＝y′|x＝1＝2a＝2，解得a＝1.
8.设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，试求a1＋a2＋…＋a99的值．
解析：因为y′＝(n＋1)xn，故y′|x＝1＝n＋1，
所以切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)．
令y＝0，则xn＝，所以an＝lg.
所以a1＋a2＋…＋a99＝lg＋lg＋…＋lg＝lg＝－2.
9.已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.
(1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；
(2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于P的直线方程．
解析：(1)由f(x)＝x3－3x，得f′(x)＝3x2－3，
过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率f′(1)＝0，
所以所求直线方程为y＝－2.
(2)设过P(1，－2)的直线l与y＝f(x)切于另一点(x0，y0)，
则f′(x0)＝3x－3，
又直线l过(x0，y0)，P(1，－2)，
故其斜率可表示为＝，
所以＝3x－3，
即x－3x0＋2＝3(x－1)·(x0－1)，
解得x0＝1(舍去)或x0＝－，
故所求直线的斜率为k＝3×(－1)＝－，
所以直线方程为y－(－2)＝－(x－1)，
即9x＋4y－1＝0.
