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第九--十四届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试题
第九届华杯赛总决赛一试试题及解答
1. 计算: 2.00×2. 0（结果用最简分数表示）
2.水池装有一个水管和若干每小时注水量相同的注水管，注水管注水时，排水管同时排水．若用12个注水管注水，8小时可注满水池；若用9个注水管注水，24小时可注满水池．现在用8个注水管注水，那么需要多少小时注满水池？
3.在操场上做游戏，上午8：00从A地出发，匀速地行走，每走5分钟就折转90o。问：
(1)上午9：20能否恰好回到原处？
(2)上午9：10能否恰好回到原处？
如果能，请说明理由，并设计一条路线．如果不能，请说明理由。
4. 1到100所有自然数中与100互质各数之和是多少？
5. 老王和老张各有5角和8角的邮票若干张，没有其它面值的邮票，但是他们邮票的总张数一样多．老王的5角邮票的张数与8角邮票张数相同，老张的5角邮票的金额等于8角邮票的金额．用他们的邮票共同支付110元的邮资足够有余，但不够支付160元的邮资．问他们各有8角邮票多少张？
6. 在下面一列数中，从第二个数开始，每个数都比它前面相邻的数大7，8，15，22，29，36，43，……。
它们前n-1个数相乘的积的末尾0的个数比前n个数相乘的积的末尾0的个数少3个，求n的最小值．
答案
1．答：2.00×2. 0
原式＝
2.解:设单开水管需x小时将满池水排完,单开一个注水管需要y小时,则可知排水管每小时排整池水的,
注水管每小时注水,可知有
即为……………………………①
同时由2小时用9个注水管注满水知
即为……………………………②
将①-②得可知
代入①中得
所以用8个注水管注水每小时注水
故需用时(小时)
答:用8个注水管注水,需要72小时注满水池.
3.答:(1)上午9:20分恰好回到原地.我们可以设计如下的路线:我们若没定每走5分钟都按顺时针方向(或逆时针方向)折转90°,则可知每过20分钟回到原处,而到9:20恰好过了80分钟,故可知9:20恰好第4次回原处.
(2)上午9:10不能回到原地.因为到上午9:10共走了70分钟,而我们可以验证不管每一步为逆时针折转90°,还是顺时针折转90°都不能在70分钟内回原地.
4.解:我们可以先去考虑到100的所有自然数中与100不可质的数,因为100=2×2×5×5,故1到100中所有含因子2或5的数都与100不互质.其中含因子2的有2,4,6,8…，100(即为50个数),含因子5的有5，10，15，20…，100但其中10，20，30，…100已经包括在上面内,故与100不互质的1到100之内的数为:2，4，6，…100，5，15，25，…95。
这些数的和为：2+4+6+…+100+5+15+25+…+95=
而1到100的自然而然数和为：
所以与100互质的自然数之和为：5050-3050=2000。
答:1到100所有自然数中与100互质各数之和为2000.
5.解:设老王有8角邮票x张,老张有8角邮票y张,可知老王的5角邮票也有x张,故该总张数为2x张,则老张的5角邮票为张.
由老张5角邮票金额等于8角邮票金额知
即为……………………………①
又由他们可共同支付110元到160元之间的邮资知
……………………………②
将①代入②中得
同时又由为整数知x为13的整数
结合上述两个条件知,又由①知
答:老王共有52张8角邮票,老张有40张8角邮票。
6.解:观察这列数可知每个数除以7余数为1,由题意知若使n最小,则第n个数必须含有3个5的因子,这样由5的因子数少于2因子数知前n个相乘方会比前n-1个多3个0。所以第n个数可写成的形式,即为(k为自然数)且125k除以7余数为1,这样最小的k值为6。即第n个数为.此时再根据第n个数又可表示为知可得
答:n的最小值为107。
第九届华杯赛决赛试题及解答
2004年4月10日 10：00—11：00
一、填空（每题10分，如果一道题中有两个填空，则每个5分）
1.计算：2004.05×1997.05-2001.05×1999.05=( )
2.图１是一些填有数字的方形格子，一个微型机器人从图中阴影格子开始爬行，每爬进邻近一个格子后，它就将该格子也涂上阴影，然后再爬进与该格子有公共边的格子中，继续将该格子涂上阴影，…。依次将微型机器人所涂过的阴影格子中的数除以３得到的余数排成一列，结果是
０１２０１２０１２０１２０１２…… 阴影格子所组成的数字是（ ）。
3.等式：＝39×
恰好出现1、2、3、4、…、9九个数字，“潮州市”代表的三位数是（ ）。
4.一个半径为1厘米的圆盘沿着一个半径为4厘米的圆盘外侧做无滑动的滚动，当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动90度后（如图2），小圆盘运动过程中扫出的面积是（ ）平方厘米。（=3.14）
5.甲、乙、丙三只蚂蚁从A、B、C三个不同的洞穴同时出发，分别向洞穴B、C、A爬行，同时到达后，继续向洞穴C、A、B爬行，然后返回自己出发的洞穴。如果甲、乙、丙三只蚂蚁爬行的路径相同，爬行的总距离都是7.3米，所用时间分别是6分钟、7分钟和8分钟，蚂蚁乙从洞穴B到达洞穴C时爬行了（ ）米，蚂蚁丙从洞穴C到达洞穴A时爬行了（ ）米。
6.如图3，甲、乙二人分别在A、B两地同时相向而行，于E处相遇后，甲继续向B地行走，乙则休息了14分钟，再继续向A地行走。甲和乙到达B和A后立即折返，仍在E处相遇，已知甲分钟行走60米，乙每分钟行走80米，则A和B两地相（ ）米。
图3
二、解答下列各题，要求写出简要过程（每题10分）
7.李家和王家共养了521头牛，李家的牛群中有67%是母牛，而王家的牛群中仅有是母牛，李家和王家各养了多少头牛？
8.一个最简真分数，化成小数后，如果从小数点后第一位起连续若干位的数字之和等于2004，求M的值。
9.小丽计划用31元买每支2元、3元、4元三种不同价格的圆珠笔，每种至少买1支。问她最多能买多少支？最少能买多少支？
10.在3×3的方格纸上（如图4），用铅笔涂其中的5个方格，要求每横行和每竖行列被涂方格的个数都是奇数，如果两种涂法经过旋转后相同，则认为它们是相同类型的涂法，否则是不同类型的涂法。例如图5和图6是相同类型的涂法。回答最多有多少种不同类型的涂法？说明理由。
11.三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”。问所有的小于2008的“美妙数”的最大公约数是多少？
12.用455个棱长为1的小正方体粘成一个大的长方体，若拆下沿梭的小正方体，则尚余下371个小正方体，问所粘成的大长方体的棱长各是多少？拆下沿棱的小正方体后的多面体（图7是示意图）的表面积是多少？
答案一、填空（每题10分，如果一题中有两个填空，则每个5分）
题目
1
2
3
4
5
6
答案
1989．5
9
728
18．84
2．4;2．1
1680
二、解答下列各题，写出简要过程（每题10分）：
7．解答：李家和王家各养了300头和221头牛．
算术解法：
①李家养牛数的67%是母牛，母牛数应当是整数，67是质数，所以，李家养牛数应当是100的倍数，可能是500、400、300、200或100头，王家养牛数则可能是21、121、221、321和421头．
②王家的牛群中有是母牛，21、121、221、321和421中仅有221能为13整除，所以，王家养牛数是221头，李家养牛数是300头．
代数解法：
①李家的牛群中有67%是母牛，67是质数，可以设李家养牛头数为100x，王家的牛群中仅有是母牛，13是质数，可以设王家养牛数是13y，列出方程
100x+13y=521．…………………………………（*）
②x和y是整数，分别取x=1，2，3，4，5．可以得到x=3，y=13．或者解同余方程（*）．
（*）式两边除13，
-4x=1，Mod（13）．…………………………（**）
x=3是（**）式的解，得到y=13．
8．解答：M是3．
，
①把最简分数写成循环小数：，
，
②上面6个最简真分数的循环小数节的数字和都是27，2004被27除的余数是6，仅3/7符合要求．
9．解答：小丽最多能买14支圆珠笔，小丽最少能买9支圆珠笔．
方法一：
①买圆珠笔总费用是奇数，所以，买3元1支的圆珠笔的数量必须是奇数．
②高价格的笔买的越少，买圆珠笔的总数量就越多，若3元和4元的圆珠笔只各买1支，则小丽能买(31-4-3)÷2=12支单价2元的圆珠笔，最多能买12+2=14(支)
③类似，低价格笔买的越少，买圆珠笔总的数量就越少，如果小丽2元和3元的圆珠笔计划各买1支，余下的钱有26元，能买6支单价4元的笔，尚余2元，可以再买1支2元的圆珠笔．所以，小丽最少能买9支圆珠笔．
方法二：
①设2元、3元、4元的圆珠笔各买x、y、z支，则：2x+3y+4z=31，……………………(*)
②分析等式（*）的奇偶性，y必须是奇数．因为x，y，z≥1， 3y=31-2x-4z≤25，y≤7．列下表：
y=1
x 12 10 8 6 4 2
z 1 2 3 4 5 6
y=3
x 1 3 5 7 9
z 5 4 3 2 1
y=5
x 2 4 6
z 3 2 1
y=7
x 1 3
z 2 1
从上表，小丽最多能买14支圆珠笔，小丽最少能买9支圆珠笔．
方法三：
①因为x，y，z≥1，所以从(*)式，2x+2y+2z=31-y-2z≤31-3=28，得到x+y+z≤14．
②取x=12，y=1，z=1满足(*)式，且x+y+z=14．小丽最多能买14支圆珠笔．
③类似，4x+4y+4z=31+2x+y≥31+3=34，≥．
取x=2，y=1，z=6满足(*)式，并且，x+y+z=9．小丽最少可以买9支圆珠笔．
10．解答：不同类型的涂法有3种，如下图A．
说明：
①所涂5个阴影方格分布在3行中，只有一行涂有3个阴影方格．同样，仅有一列涂有3个阴影方格．
②所以，仅有一个方格，它所在的行和列均有3个阴影方格，有这种性质的方格称为“特征阴影方格”．“特征阴影方格”在3×3正方格纸中的位置，就唯一地决定了3×3的方格纸的涂法．“特征阴影方格”在方格纸的角上（图A左边）、外边中间的方格（图A中间）和中心的方格（图A右边）三个位置确定了只有3种类型的涂法．
11．解答：60
说明：
①任何三个连续正整数，必有一个能为3整除．所以，任何“美妙数”必有因子3．
②若三个连续正整数中间的数是偶数，它又是完全平方数，必定能为4整除；若中间的数是奇数，则第一和第三个数是偶数，所以任何“美妙数”必有因子4．
③完全平方数的个位只能是1、4、5、6、9和0，若其个位是5和0，则中间的数必能被5整除，若其个位是1和6，则第一个数必能被5整除，若其个位是4和9，则第三个数必能被5整除．所以，任何“美妙数”必有因子5．
④上述说明“美妙数”都有因子3、4、和5，也就有因子60，即所有的美妙数的最大公约数至少是60．60=3×4×5是一个“美妙数”，美妙数的最大公约至多是60．所有的美妙数的最大公约数既不能大于60，又至少是60，只能是60．
12．解答：多面体的表面积是358．
①设长方体长宽高分别为x、y、z无仿设x≥z≥y，它们只能取正整数．长方体的体积是455，则有x×y×z=455，分解455=5×7×13，即：x×y×z=5×7×13(1)
②沿棱拆下的小正方体有455-371=84个，若认为从“长”边拆下的小正方体为(x-1)个，则从每个“宽”边拆下的小正方体为(y-1)个，而从每个“高”边拆下的小正方体为(z-2)个，应当有下面关系式：
4×(x-1+y-1+z-2)=84，x+y+z=25．(2)
分析(1)和(2)，既然x，y，z只取正整数，验证x=13，z=7，y=5 是唯一解．
③计算表面积：
方法一：如右图B，拆下沿棱的小正方体后的多面体的表面积由两部分组成：
第一部分是突出在外面的6个平面，总面积是：2×(11×5+11×3+5×3)=206．
第二部分是24个宽都是1的长条，总面积是：8×(11+3+5)=152．
方法二：拆下沿棱的小正方体后的多面体的表面积和原长方体表面积去掉8个顶点处的小正方体的三个侧面的面积相同(想像一下为什么)．所以，2×(13×7+13×5+7×5)-3×8=358．
第九届华杯赛总决赛二试试题及解答
1.一正方形苗圃，栽种桃树和李树，一圈一圈地相间种植，即最外一圈种的是桃树，往内一圈是李树，然后是桃树，…，最内一圈种了4棵李树．已知树苗的的行距和列距都相等，桃树比李树多40棵．问：桃树和李树一共有多少棵？
2.如右图，在以AB为直径的半圆上取一点C，分别以AC和BC为直径在△ABC外作半圆AEC和BFC．当C点在什么位置时，图中两个弯月型（阴影部分）AEC和BFC的面积和最大．
3、甲、乙两家医院同时接受同样数量的病人，每个病人患x病或y病中的一种，经过几天治疗，甲医院治好的病人多于乙医院治好的病人．问：经过这几天治疗后，是否可能甲医院对x病的治愈率和对y病的治愈率均低于乙医院的？举例说明．（x病治愈率=）
4、完成某项工程，甲单独工作需要18小时，乙需要24小时，丙需要30小时．现甲、乙和丙按如下顺序工作：甲、乙、丙、乙、丙、甲、丙、甲、乙、…，每人工作一小时换班，直到工程完成．问：当工程完成时，甲、乙、丙各干了多少小时？
5、求同时满足下列三个条件的自然数a，b：1）a＞b； 2） 3）a＋b是平方数
6.如图，正方形跑道ABCD．甲、乙、丙三人同时从A点出发同向跑步，他们的速度分别为每秒5米、4米、3米．若干时间后，甲首次开始看到乙和丙都与自己在正方形的同一条边上，且他们在自己的前方．从此时刻算起，又经过21秒，甲乙丙三人处在跑道的同一位置，这是出发后三人第一次处在同一位置．请计算出正方形的周长的所有可能值．
答案
1．400棵2．当C点在通过圆心且与直径AB垂直的直线与半圆的交点处时，两弯月型的面积最大3．能4．当工程完成时，甲干了7．2小时；乙、丙各干了8小时5．6．正方形跑道的周长是210米或420米
1．解：下图画出苗圃的最里面3层，可以看出，苗圃所种果树的棵数为：4＋12＋20＋28＋……，每外一圈的桃树比相邻内一圈的李树多8棵，40÷8＝5，所以共有10圈，最外圈的桃树为4＋9×8＝76棵，果树总棵数为＝400（棵）
2．解：两弯月形面积＝＋×AC×BC＝×AC×BC
本题即AC×BC何时有最大值.因为，当时，有最大值，此时AC×BC有最大值，即AC＝BC时，阴影面积最大.
3．解：例如，甲、乙医院接收和治愈x，y病的人数如下表：
甲医院
x病
y病
合计
接收人数
20
80
100
治愈人数
1
40
41
治愈率
5%
50%
乙医院
x病
y病
合计
接收人数
80
20
100
治愈人数
20
20
40
治愈率
25%
100%
4．解：三人各干一小时完成，360÷47＝7，
即经过每人干7小时还剩工程的1－×7＝没有干完，
从题目所给的换班规则（每次3小时，各干1小时），
每三次一个周期，三人的工作顺序第8次换班应和第二次相同，
即按乙、丙、甲的顺序，＞，－＝，＞，－＝，
就是说，乙、丙又各干一小时，还剩的工作量，÷＝0.2（小时）
即当工程完成时，甲干了7．2小时；乙、丙各干了8小时．
5．解：由，可得：ab＝169a＋169b，ab－169a＝169b，
a＝，a＋b＝＝，
因为a＋b是平方数，所以b－169是平方数，设b－169＝，b＝＋169；
同理可得ab－169b＝169a，b＝，a＋b＝＝，a－169是平方数，
设a－169＝，a＝+169；于是，a＋b＝＋2×169＋.
2×169＝2×13×13，或2×169＝2×1×169，或2×169＝2×169×1，
因为a＞b，所以m＞n，a＋b是平方数，
所以，m＝169，n＝1，a＝＋169＝＋169＝169×170，b＝＋169＝＋169＝170.
6．解：甲跑5圈孤时间，乙跑4圈，再跑3圈，此时三人处在同一位置，都在A点．倒退21秒，
甲的位置距A点5×21=105（米），甲与丙相距（5-3）×21=42（米）．
因为此时甲首次看到乙、丙与自己在同一条边上，
所以甲此时应恰好在正方形的某一顶点上，即105米是正方形边长的整数倍，且正方形的边长不小于42米．
105÷1＝105＞42， 105÷2＝52.5＞42，105÷3＝35＜42.
所以正方形的边长是105米或52.5米，周长为420米或210米．
第九届华杯赛初赛试题及解答
1. “华杯赛”是为了纪念和学习我国杰出的数学家华罗庚教授而举办的全国性大型少年数学竞赛．华罗庚教授生于1910年，现在用“华杯”代表一个两位数．已知1910与“华杯”之和等于2004，那么“华杯”代表的两位数是多少？
2. 长方形的各边长增加10%，那么它的周长和面积分别增加百分之几？
3. 题目中的图是一个正方体木块的表面展开图．若在正方体的各面填上数，使得对面两数之和为7，则A、B、C处填的数各是多少？
4. 在一列数：中，从哪一个数开始，1与每个数之差都小于？
5. “神舟五号”载人飞船载着航天英雄杨利伟于2003年10月16日清晨6时51分从太空返回地球，实现了中华民族的飞天梦．飞船绕地球共飞行14圈，其中后10圈沿离地面343千米的圆形轨道飞行．请计算飞船沿圆形轨道飞行了多少千米（地球半径为6371千米，圆周率π=3.14）．
6. 如图，一块圆形的纸片分成4个相同的扇形，用红、黄两种颜色分别涂满各扇形，问共有几种不同的涂法？
7. 在9点至10点之间的某一时刻，5分钟前分针的位置与5分钟后时针的位置相同．问：此时刻是9点几分？
8. 一副扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能使其中至少有2张牌有相同的点数？
9. 任意写一个两位数，再将它依次重复3遍成一个8位数．将此8位数除以该两位数所得到的商再除以9，问：得到的余数是多少？
10. 一块长方形的木板，长为90厘米，宽为40厘米，将它锯成2块，然后拼成一个正方形，你能做到吗？
11. 如图，大小两个半圆，它们的直径在同一直线上，弦AB与小圆相切，且与直径平行，弦AB长12厘米．求图中阴影部分的面积（圆周率π=3.14）．
12. 半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的内侧作无滑动的滚动，当小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？
答案
1．94
解：由○+“杯”=4，知“杯”代表4（不进位加法）；再由191+“华”=200，知“华”代表9．因此，“华杯”代表的两位数是94．
2．周长增加10%，面积增加21%
解：设长方形的长为a，宽为b,则原来长方形周长为，面积为ab．
因此各边长增加10%时,周长增加2(1.1a+1.1b)-2(a+b)=2(a+b)×10%，即周长增加10%.
面积增加1.1a×1.1b-ab=1.21ab-ab=ab×21％，即面积增加21％.
3. A—6；B—5；C—3
解：1、4、A、C面是B的临面，2是B的对面，B应填5；1、2、B、A是C的临面，4是C的对面，C应填3；1是A的对面，A应填6.
4. 从开始
解：这列数的特点是每个数的分母比分子大2，分子为奇数列，要1－＜，解出n＞999.5，从n＝1000开始，即从开始，满足条件.
5. 421639.2千米
解：2×3.14×（6371＋343）×10＝421639.2千米
6. 6种。按逆时针方向涂染各扇形：
红红红红 红红红黄 红红黄黄
红黄红黄 红黄黄黄 黄黄黄黄
7. 9点55分
解：因为分针每分钟走＝6度，5分钟走30度，时针每分钟走＝0.5度，5分钟走2.5度，所以此时分针与时针的夹角是30＋2.5＝32.5度，每分钟分针比时针多走6－0.5＝5.5度，从9点到此时，分针比时针多走270＋32.5＝302.5度，302.5÷5.5＝55，所以此时是9点55分.
8. 16张
解：如果不算大、小王，每个花色13张牌，只需14张便一定有两张相同点数的牌，加上大、小王，则需要16张牌.
9. 4
解：不管所写两位数是何数，按题目所给方法写成的8位数除以该两位数的得数都是1010101，1010101÷9＝112233…4.
10. 能够。因为，，所求的正方形的边长为60厘米，可以如下图拼成：
11. 56.52平方厘米
解：将小圆缩小至0，则AB就是大圆直径，阴影部分就是大圆的一半，所以阴影部分的面积是：＝＝56.52（平方厘米）
12. 1圈
解：由于小铁环的半径是大铁环半径的一半，所以大环周长是小环的2倍，即小环沿大环转2个周长时又回到原位.其中有1个周长属于小环公转的，而另一个周长才是小环自身转动的.因此，小环自身转动1圈.
也可以这样理解，初始时小环上一点A,我们观察半径OA,如图（1），当小环沿大环内壁滚动到与初始相对的位置时，如图（2），半径OA也运动到了与初始时相对的位置.这时OA沿大环内壁才走了半圈.继续进行下半圈,OA与初始位置重合，这时OA自身转了1圈，因此小铁环自身也转了1圈.
第十届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛答案 2005年3月19日
1、87年。
2、六九的第一天。
3、。
4、共有6种不同的入座方法。
5、三项的总距离为51.5千米。
6、第9个是55。
7、至少要注水8次。
8、高年级学生46人，低年级学生54人。
9、零售价每本6元。
10、93名。
11、150毫升。
12、至多有6条直线。
第十届全国“华罗庚金杯”
少年数学邀请赛初赛试题
（2005年3月19日上午9：30—10：00）
1、2005年是中国伟大航海家郑和首次下西洋600周年，西班牙伟大航海家哥伦布首次远洋航行是在1492年，问这两次远洋航行相差多少年？
2、从冬至之日起每九天分为一段，依次称之为一九，二九，…，九九。2004年的冬至为12月21日，2005年的立春是2月4日。问立春之日是几九的第几天？
3、右下方是一个直三棱柱的表面展开图，其中，黄色和绿色的部分都是边长等于1的正方形。问这个直三棱柱的体积是多少？
4、爸爸、妈妈、客人和我四人围着圆桌喝茶，若只考虑每人左邻的情况，问共有多少种不同的入座方法？
5、在奥运会的铁人三项比赛中，自行车比赛距离是长跑的4倍，游泳的距离是自行车的，长跑与游泳的距离之差为8.5千米。求三项的总距离。
6、如下图，用同样大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形。其中最小的三角形顶点的个数（重合的顶点只计一次）依次为：
3，6，10，15，21，…
问这列数中的第9个是多少？
……
7、一个圆锥形容器甲与一个半球形容器乙，它们圆形口的直径与容器的高的尺寸如图所示。若用甲容器取水来注满乙容器，问：至少要注水多少次？
单位：分米
甲 乙
8、100名学生参加社会实践，高年级学生两人一组，低年级学生三人一组，共有41组。问：高、低年级学生各多少人？
9、小鸣用48元钱按零售价买了若干本练习本。如果按批发价购买，每本便宜2元，恰好多买4本。问：零售价每本多少元？
10、不足100名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组5人，其他人按8人一组围在外圈；另一种是中间一组8人，其他人按5人一组围在外圈。问最多有多少名同学？
11、输液100毫升，每分钟输2.5毫升。请你观察第12分钟时吊瓶图像中的数据，回答整个吊瓶的容积是多少毫升？
12、两条直线相交而成的锐角或直角称为两条直线的“夹角”。现平面上有若干条直线，它们两两相交，并且“夹角”只能是30°，60°或90°。问至多有多少条直线？
第十届华杯赛总决赛一试试题
一、填空（共3题，每题10分）
1．1000米赛跑，已知甲到达终点时，乙离终点50米；乙到达终点时，丙离终点100米。那么甲到达终点时，丙离终点___米。
2．三个相邻奇数的积为一个五位数2***3，这三个奇数中最小的是___。
3．将两个不同的自然数中较大的数换成这两个数的差，称为一次操作，如对18和42可连续进行这样的操作。则有：18，42→18，24→18，6→12，6→6，6，直到两数相同为止。试给出和最小的两个五位数，按照以上操作，最后得到的相同的数是15，这两个五位数是___与___。
二、解答题（共3题，每题10分，写出简要解答过程）
4.右图中，ABCD是边长为1的正方形，A，E，F，G，H分别是四条边AB，BC，CD，DA的中点，计算图中红色八边形的面积。
5．若干名小朋友购买单价为3元和5元的两种商品，每人至少买一件，但每人购买的商品的总金额不得超过15元。小民说：小朋友中一定至少有三人购买的两种商品的数量完全相同。问：至少有多少名小朋友？
6．A是山脚，B是山顶，C是山坡上的一点，。甲、乙同时从山脚出发，到达山顶，再返回山脚，如此往返运动。甲、乙速度之比为6∶5，并且甲乙下山的速度都是各自上山速度的1.5倍．出发一段时间后，甲第一次在山顶上看见乙在AC段向上爬；又经过一段时间后，甲第二次在山顶上看见乙在AC段向上爬。问：当甲第二次在山顶上看到乙在AC段上爬时（包括此时），甲到过山顶几次？
第十届华杯赛总决赛二试试题
解答题（共6题，每题10分，写出解答过程）
1.如右图，四边形ABCD中，对角线AC和BD 交于O点。已知：AO=1，并且，那么OC的长是多少？
2.将化成小数等于0.5，是个有限小数；将化成小数等于0.090…，简记为，是纯循环小数；将化成小数等于0.1666……，简记为，是混循环小数。现在将2004个分数，，，…，化成小数，问：其中纯循环小数有多少个？
3.计算。
4.表示一个十进制的三位数，若等于由a，b，c三个数码所组成的全体两位数的和，写出所有满足上述条件的三位数。
5.由，可以断定26最多能表示为3个互不相等的非零自然数的平方和，请你判定360最多能表示为多少个互不相等的非零自然数的平方之和？
6.有若干名小朋友，第一名小朋友的糖果比第二名小朋友的糖果多2块，第二名小朋友的糖果比第三名小朋友的糖果多2块，…，即前一名小朋友总比后一名小朋友多2块糖果。他们按次序围成圆圈做游戏，从第一名小朋友开始给第二名小朋友2块糖果，第二名小朋友给第三名小朋友4块糖果，…，即每一名小朋友总是将前面传来的糖果再加上自己的2块传给下一名小朋友，当游戏进行到某一名小朋友收到上一名小朋友传来的糖果但无法按规定给出糖果时，有两名相邻小朋友的糖果数的比是13∶1，问最多有多少名小朋友？
第11届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛小学组试卷
（时间2006年3月18日10：00～11：00，满分100分）
一、选择题 以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内（每小题4分，共24 分）.
1. 如图1所示，将一张正方形纸片先由下向上对折压平，再由右翻起向左对折压平，
得到小正方形ABCD. 取AB的中点M，BC的中点N，剪掉得五边形AMNCD. 则将折叠的五边形AMNCD纸片展开铺平后的图形是（ ）.
2．2008006共有（ ）个质因数.
（A） 4 （B） 5 （C） 6 （D） 7
3. 奶奶告诉小明：“2006年共有53个星期日”. 聪敏的小明立刻告诉奶奶：2007年的元旦一定是（ ）.
（A）星期一 （B）星期二 （C）星期六 （D）星期日
4. 如图2，长方形ABCD中AB︰BC = 5︰4. 位于A点的第一只蚂蚁按的方向，位于C点的第二只蚂蚁按的方向同时出发分别沿着长方形的边爬行，两只蚂蚁第一次在B点相遇，则两只蚂蚁第二次相遇在（ ）边上.
（A）AB （B） BC （C） CD （D） DA
5.图3中ABCD是个直角梯形（）. 以AD为一边向外作长方形ADEF，其面积为6.36平方厘米. 联结BE交AD于P，再连结PC. 则图中阴影部分的面积是（ ）平方厘米.（A）6.36 （B）3.18
（C）2.12 （D）1.59
6.五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮, 排成一排表演节目. 如果贝贝和妮妮不相邻, 共有（ ）种不同的排法.
(A) 48 (B) 72 (C)96 (D) 120
二、A组填空题（每小题7分，共28分）
7. 在算式
第 十 一 届
+ 华 杯 赛
2 0 0 6
中，汉字“第、十、一、届、华、杯、赛”代表1，2，3，4，5，6，7，8，9中的7个数字，不同的汉字代表不同的数字，恰使得加法算式成立.则“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和等于 .
8.全班50个学生，每人恰有三角板或直尺中的一种，28人有直尺，有三角板的人中，男生是14人，若已知全班共有女生31人，那么有直尺的女生有 人.
9. 图4是一个直圆柱形状的玻璃杯，一个长为12厘米的直棒状细吸管（不考虑吸管粗细）放在玻璃杯内. 当吸管一端接触圆柱下底面时，另一端沿吸管最少可露出上底面边缘2厘米，最多能露出4厘米. 则这个玻璃杯的容积为 立方厘米. （取） （提示：直角三角形中“勾6、股8、弦10”作为已知常识）
10. 有5个黑色和白色棋子围成一圈，图5-(1)是初始状态.规定：将同色的两个棋子之间放
入一个白色棋子，在异色的两个棋子之间放入一个黑色棋子，如右图5-(2)，然后将原来的5个棋子拿掉，呈现新放入的5个棋子如图5-(3)，称为完成一次操作. 那么从初始状态起依次操作下去，圆圈上呈现的5个棋子中最多能有___个黑子.
三、B组填空题（每小题12分，共48分.每题两个空，每个空6分）
11. 李大爷用一批化肥给承包的麦田施肥. 如每亩施6千克，则缺少化肥300千克；若每亩施5千克，则余下化肥200千克.那么李大爷共承包了麦田_____亩，这批化肥有____千克.
12. 将从1开始的到103的连续奇数依次写成一个多位数a：
a =13579111315171921……9799101103.
则数a共有 位，数a除以9的余数是 .
13.自制的一付玩具牌共计52张（含4种牌:红桃、红方、黑桃、黑梅.每种牌都有1点、2点、……、13点牌各一张）. 洗好后背面朝上放好. 一次至少抽取_____张牌，才能保证其中必定有2张牌的点数和颜色都相同. 如果要求一次抽出的牌中必定有3张牌的点数是相邻的（不计颜色），那么至少要取_____张牌.
14.图6中有 个正方形，有 个三角形.
第十一届全国"华罗庚金杯"少年数学邀请赛决赛试题
一、填空。
1．计算：
2．图1a是一个长方形，其中阴影部分由一副面积为1的七巧板拼成（如图1b），那么这个长方形的面积是（ ）。
3．有甲、乙、丙、丁四支球队参加的足球循环赛，每两队都要赛一场，胜者得3分，负者得0分，如果踢平，两队各得1分。现在甲、乙和丙分别得7分、1分和6分，已知甲和乙踢平，那么丁得（ ）分。
4．图2中，小黑格表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联。连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量。现在从结点A向结点B传递信息，那么单位时间内传递的最大信息量是（ ）。
5．先写出一个两位数62，接着在62右端写这两个数字的和为8，得到628，再写末两位数字2和8的和10，得到62810，用上述方法得到一个有2006位的整数：628101123……，则这个整数的数字之和是（ ）。
6．智慧老人到小明的年级访问，小明说他们年级共一百多同学。老人请同学们按三人一行排队，结果多出一人，按五人一行排队，结果多出二人，按七人一行排队，结果多出一人，老人说我知道你们年级的人数应该是（ ）人。
7．如图3所示，点B是线段AD的中点，由A，B，C，D四个点所构成的所有线段的长度均为整数，若这些线段的长度之和为10500，则线段AB的长度是（ ）。
8．100个非0自然数的和等于2006，那么它们的最大公约数最大可能值是（ ）。
二、解答下列各题，要求写出简要过程。（每题10分，共40分）
9．如图4，圆O中直径Ab与CD互相垂直，AB＝10厘米。以C为圆心，CA为半径画弧AEB。求月牙形ADBEA（阴影部分）的面积？
10．甲、乙和丙三只蚂蚁爬行的速度之比是8：6：5，它们沿一个圆圈从同一点同时同向爬行，当它们首次同时回到出发点时，就结束爬行。问蚂蚁甲追上蚂蚁乙一共多少次？（包括结束时刻）。
11．如图5，ABCD是矩形，BC＝6cm，AB＝10cm，AC和BD是对角线。图中的阴影部分以CD为轴旋转一周，则阴影部分扫过的立体的体积是多少立方厘米？（π取3.14）
12．将一根长线对折后，再对折，共对折10次，得到一束线。用剪刀将这束线剪成10等份，问：可以得到不同长度的短线段各多少根？
三、解答下列各题，要求写出详细过程。（每题15分，共30分）
13．华罗庚爷爷在一首诗文中勉励青少年：“猛攻苦战是第一，熟练生成百巧来，勤能补拙是良训，一分辛苦一分才。”现在将诗文中不同的汉字对应不同的自然数，相同的汉字对应相同的自然数，并且不同汉字所对应的自然数可以排列成一串连续的自然数。如果这28个自然数的平均值是23，问“分”字对应的自然数的最大可能值是多少？
14．一根长为L的木棍，用红色刻度线将它分成m等份，用黑色刻度线将它分成n等份（m>n）。
（1）设X是红色与黑色刻度线重合的条数，请说明：X＋1是m和n的公约数；
（2）如果按刻度线将该木棍锯成小段，一共可以得到170根长短不等的小棍，其中最长的小棍恰有100根。试确定m和n的值。
第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷(小学组)
(时间：2007年3月24日10：00～11：00)
一、选择题(每小题lO分) 以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内。
1．算式 等于( )。
(A)3 (B)2 (C)1 (D)O
2．折叠一批纸鹤，甲同学单独折叠需要半小时，乙同学单独折叠需要45分钟．则甲、乙两同学共同折叠需要( )。
(A)12分钟 (B)15分钟 (C)18分钟 (D)20分钟
3．如图1，将四条长为16cm，宽为2cm的矩形纸条垂直相交平放在桌面上，则桌面 被盖住的面积是( )。
(A)72cm (B)128 cm (C)124 cm (D)112 cm
图1
4．地球表面的陆地面积和海洋面积之比是29：71，其中陆地的四分之三在北半球．那么南、北半球海洋面积之比是( )。
(A)284：29 (B)284：87 (C)87：29 (D)171：113
5．一个长方体的长、宽、高恰好是3个连续的自然数，并且它的体积的数值等于它的所有棱长之和的数值的2倍，那么这个长方体的表面积是( )。
(A)74 (B)148 (C)150 (D)154
6．从和为55的10个不同的非零自然数中，取出3个数后，余下的数之和是55的，则取出的三个数的积最大等于( )．
(A)280 (B)270 (C)252 (D)216
二、填空题(每小题10分)
7．如图2，某公园有两段路AB=175米，BC=125米。在这两段路上安装路灯，要求A，B，C三点各设一个路灯，相邻两个路灯间的距离都相等。则在这两段路上至少要安装路灯（ ）个。
图2
8．将5.425×O.63的积写成小数形式是（ ）
9．如图3，有一个边长为1的正三角形，第一次去掉三边中点连线围成的那个正三角形；第二次对留下的三个正三角形，再分别去掉它们中点连线围成的三角形；…做到第四次后，一共去掉了 个三角形，去掉的所有三角形的边长之和是 。
图3 …
10．同学们野营时建了9个营地，连接营地之间的道路如图4所示。贝贝要给每个营地插上一面旗帜，要求相邻营地的旗帜色彩不同，则贝贝最少需要 种颜色的旗子。如果贝贝从某营地出发，不走重复路就 （填“能”或“不能”)完成这项任务。
图4
一、选择题
1.解：原式＝＝＝2 答案：B
2.解：＝＝18（分钟） 答案：C
3.解：16×2×4－2×2×4＝112（cm2） 答案：D
4.解：设地球表面积为1，
则北半球海洋面积为：0.5－0.29×＝＝
南半球海洋面积为：0.71－＝＝
南北半球海洋面积之比为：∶＝171∶113
答案：D
5.解：设长方体的三条棱长分别为a－1，a，a＋1，则它的体积为,
它的所有棱长之和为[(a－1)＋a＋(a＋1)]×4＝12a
于是有＝12a×2，即＝25a，＝25，a＝5，
即这个长方体的棱长分别为4，5，6
所以，它的表面积为（4×5＋4×6＋5×6）×2＝148
答案：B
6.解：余下的数之和为：55×＝35，取出的数之和为：55－35＝20，
要使取出的三个数之积尽量大，则取出的三个数应尽量接近，
我们知6＋7＋8＝21，所以取5×7×8＝280
答案：A
二、填空题
7.解：175与125的最大公约数为25，所以取25米为两灯间距，
175＝25×7，125＝25×5，AB段应按7＋1＝8盏灯，BC段应按5＋1＝6盏灯，
但在B点不需重复按灯，故共需安装8＋6－1＝13（盏）
8.解：×0.63＝5×0.63＝＝＝
9.解：第一次去掉1个三角形，得到3个小三角形，去掉的三角形的边长为3×；
第二次去掉3个三角形，得到9个小三角形，去掉的三角形的边长为3×3×；
第三次去掉9个三角形，得到27个小三角形，去掉的三角形的边长为9×3×；
第四次去掉27个三角形，去掉的三角形的边长为27×3×；
所以，四次共去掉1＋3＋9＋27＝40（个）小三角形，
去掉的所有三角形的边长之和是：3×＋9×＋27×＋81×＝12
10.解：最少需要3种颜色的旗子。因为中间的三点连成一个三角形，要使这三点所代表营地两粮相邻，要使相邻营地没有相同颜色的旗子，必须各插一种与其它两点不同颜色的旗子。
不走重复路线不能完成插旗的任务，因为本题共有6各奇点。
第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小学组）
（时间2007年4月21日10︰00～11︰30）
（市）、区________ 学校_____________ 姓名________ 考号_______
一、填空（每题10分，共80分）
1、“华”、“杯”、“赛”三个字的四角号码分别是“2440”、“4199”和“3088”，将“华杯赛”的编码取为“244041993088” 。如果这个编码从左起的奇数位的数码不变，偶数位的数码改变为关于9的补码，例如：0变9，1变8等，那么“华杯赛”新的编码是___________。
2、计算：[20.75＋(3.74－2)9]41.75＝___________。
3、如图1所示，两个正方形ABCD和DEFG的边长都是整数厘米。点E在线段CD上，且CE＜DE。线段CF＝5厘米，则五边形ABCFG的面积等于__________平方厘米。
4、将、、、、从小到大排列，第三个数是_______。
5、图2a是一个密封水瓶的切面图，上半部为圆锥状，下半部为圆柱状，底面直径都是10厘米，水瓶高度是26厘米，瓶中液面的高度为12厘米。将水瓶倒置后，如图2b，瓶中液面的高度是16厘米，则水瓶的容积等于_______立方厘米。（取＝3.14，水瓶壁厚不计）
6、一列数是按以下条件确定的：第一个是3，第二个是6，第三个是18，以后每一个数是前面所有数的和的2倍，则第六个数等于________，从这列数的第________个数开始，每个都大于2007。
7、一个自然数，它的最大的约数和次大的约数的和是111，这个自然数是______。
8、用一些棱长是1的小正方体码成一个立体，从上向下看这个立体，如图3，从正面看这个立体，如图4，则这个立体的表面积最多是_________。
二、简答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9、如图5，在三角形ABC中，点D在BC上，且∠ABC＝∠ACB，∠ADC＝∠DAC，∠DAB＝21°，求∠ABC的度数；并且回答：图中哪些三角形是锐角三角形。
10、李云靠窗坐在一列时速60千米的火车里，看到一辆有30节车厢的货车迎面驶来，当货车车头经过窗口时，他开始记时，直到最后一节车厢驶过窗口时，所记的时间是18秒。已知货车车厢长15.8米，车厢间距1.2米，货车车头长10米。问货车行驶的速度是多少？
11、图6是一个99的方格图，由粗线隔为9个横竖各有3个格子的“小九宫”格，其中，有一些小方格填有1至9的数字。小青在第4列的空格中各填入了一个1至9的自然数，使每行、每列和每个“小九宫”格内的数字都不重复，然后小青将第4列的数字从上向下写成一个9位数。请写出这个9位数，并且简单说明理由。
12、某班一次数学考试，所有成绩得优的同学的平均分数是95分，没有得优的同学的平均分数是80分。已知全班同学的平均成绩不少于90分，问得优的同学占全班同学的比例至少是多少？
三、详答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）
13、如图7，连接一个正六边形的各顶点。问图中共有多少个等腰三角形（包括等边三角形）？
14、圆周上放置有7个空杯子，按顺时针方向依次编号为1，2，3，4，5，6，7。小明首先将第1枚白色棋子放入1号盒子，然后将第2枚白色棋子放入3号盒子，再将第3枚白色棋子放入6号盒子，……，放置了第k－1枚白色棋子后，小明依顺时针方向向前数了k－1个盒子，并将第k枚白色棋子放在下一个盒子中，小明按照这个规则共放置了200枚白色棋子。随后，小青从1号盒子开始，按照逆时针方向和同样的规则在这些盒子中放入了300枚红色棋子。请回答：每个盒子各有多少枚白色棋子？每个盒子各有多少枚棋子？
第十二届华杯赛总决赛一试试题
1.从下面每组数中各取一个数，将它们相乘，则所有这样的乘积的总和是___.
第一组：，0.15；第二组：4，；第三组：，1.2
2.一个正方体，平放于桌面，下图是从初始状态向不同方向翻滚一次所得到的三幅视图，则这个正方体初始状态的正面是___色，右面是___色.
3.如图所示，已知APBCD是以直线l为对称轴的图形，且∠APD＝116°，∠DPC＝40°，DC＞AB，那么，以A、P、B、C和D五个点为顶点的所有三角形中有___个钝角三角形，有___个锐角三角形.
4.A、B、C三项工程的工作量之比为1∶2∶3，由甲、乙、丙三个工程队分别承担，同时开工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成工作量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，则甲、乙、丙三个队的工作效率的比是多少？
5.将1分、2分、5分和1角的硬币投入19个盒子中，使每个盒子里都有硬币，且任何两个盒子里的硬币的钱数都不相同。问：至少需要投入多少硬币？这时，所有的盒子里的硬币的总钱数至少是多少？
6.下图是一种电脑射击游戏的示意图，线段CD、EF和GH的长度都是20厘米，O、P、Q是它们的中点，并且位于同一条直线AB上，AO＝45厘米，OP＝PQ＝20厘米，已知CD上的小圆环的速度是每秒5厘米，EF上的小圆环的速度是每秒9厘米，GH上的小圆环的速度是每秒27厘米。零时刻，CD、EF、GH上各有一个小圆环从左端点同时开始在线段上匀速往返运动。问：此时，从点A向B发射一颗匀速运动的子弹，要想穿过三个圆环，子弹的速度最大为每秒多少厘米？
1.解：设总和为S，则
S＝
＝（0.75＋0.15）×（）
＝0.9×（2.4＋4.8＋0.4＋0.8）
＝0.9×8.4＝7.56
2.解：红面与灰、蓝、棕、白面相邻，故知红面与绿面相对；同理可知白面与蓝面相对，灰面与棕面相对。
初始状态经翻滚后，上面不能仍为上面，故初始状态的上面不能为灰、绿、棕。初始状态的上面只可能是红，或蓝，或白。将题目所给的三幅视图中间的一幅：
翻滚一次可得以下四种状态：
其中必有一种为初始状态，但灰、绿不能是初始状态的上面，故c、d不可能是初始状态。A向左翻滚得：
，
向右翻滚得：
，
而b的前面为绿面，绿面的对面是红面，经一次翻滚不能得到上述两种状态。
由此可知，初始状态为a，它的正面为红面，右侧为灰面。
3.解：＝10，以A、P、B、C、D五个点可以形成10个三角形，这10个三角形的内角中，
∠APD＝∠BPC＝116°＞90°，∠APC＝∠BPD＝116°＋40＝156＞90°
∵DC＞AB，故∠ADC与∠BCD为锐角，∠BAD与∠ABC为钝角，
∠APB＝360°－116°×2－40°＝88°＜90°，
其余均为锐角。
故有6个钝角三角形，4个锐角三角形.
4.解：设三个队的工作效率分别为、、，三项工程的工作量分别为1、2、3，若干天为k天，
则k天后，甲完成的工作量为，未完成的工作量为1－，
乙完成的工作量为，未完成的工作量为2－，
丙完成的工作量为，未完成的工作量为3－，
于是有：
由此可得：
从而可得：，即，
，进而得，即，
∴
5.解：只取一枚有1分、2分、5分、10分（1角）4种；
取二枚有1＋1＝2（分），2＋2＝4（分），5＋5＝10（分），10＋10＝20（分）（2角），
1＋2＝3（分），1＋5＝6（分），1＋10＝11（分）（1角1分），
2＋5＝7（分），2＋10＝12（分）（1角2分），5＋10＝15（分）（1角5分），
共10种，其中重复2种（2分、10分），加上只取一枚的共12种不同币值；
取三枚时，可将以上取两枚的10种情况，分别加1分、2分、5分、10分，共有40种情况。从小到大取出7种不重复的币值为：8分、9分、13分、14分、16分、17分、21分，加上上述12种共19种。
公用硬币的枚数为：1×4＋2×8＋3×7＝41（枚）
总钱数为：1＋2＋3＋…＋17＋20＋21＝194（分）
6．解：小环过O点的时间为4k＋2（k＝0，1，2，…）；
小环过P点的时间为（m＝0，1，2，…）；
小环过Q点的时间为（n＝0，1，2，…）；
由GH上小环的速度刚好为EF上小环的速度的3倍可知，当EF上的小环处于P点时，GH上的小环一定同时处于Q点，子弹经过P点小环后到达Q点，如果能穿过GH上小环，只能是GH上小环下1次，或下2次，或下3次，…再经过Q点，即子弹到达P点与到达Q点的时间差满足×n（n＝1，2，3，…），为的整数倍。
由于OP＝PQ，子弹匀速，所以，子弹从O到P，也应为的整数倍。当k＝0时，，不论m取何值，均不为的整数倍，只有当k＝5x＋2时（x＝0，1，2，…）的值满足的整数倍。由于题目要取最大值，此时k应最小，取x＝0，此时k＝2。
当k＝2时，小环到达O点时间为4k＋2＝10（秒），子弹从A到O也应为10秒，速度为4.5厘米/秒。则子弹由A到P所用时间为秒，即＝，m＝6；子弹由A到Q的时间为秒，即＝，n＝25。
可知，当子弹速度为4.5厘米/秒时，可穿过三个环，且此为穿过三个环的最大速度。
第十二届华杯赛总决赛二试试题
1.设，其中a、b、c、d都是非零自然数，则a＋b＋c＋d＝___.
2.下图是半个圆柱的表面展开图，由两个半园和两个长方形组成，总面积是a，圆柱底面半径是r。用a、r和圆周率π所表示的这个半圆柱的体积的式子是____.
3.在8×8的方格网填入不同的自然数，使每个方格里都只有一个数，如果一个方格里的数，大于它所在的行中至少6个方格内的数，并且大于它所在的列中至少6个方格内的数，则称这个方格为“好格”。那么，“好格”最多有___个.
4.下图中的三角形都是等边三角形，红色三角形的边长是24.7，蓝色三角形的边长是26。问：绿色三角形的边长是多少？
5.若干支球队分成4组，每组至少两队，各组进行循环赛（组内每两队都要比赛一场），共比赛了66场。问：共有多少支球队？（写出所有可能的参赛队数）
6.下图的圆周上放置有3000枚棋子，按顺时针依次编号为1，2，3，…，2999，3000。首先取走3号棋子，然后按顺时针方向，每隔2枚棋子就取走1枚棋子，…，直到1号棋子被取走为止。问：此时，（1）圆周上还有多少枚棋子?（2）在圆周上剩下的棋子中，从编号最小一枚棋子开始数，第181枚棋子的编号是多少？
1. 解：
∴a＋b＋c＋d＝2＋3＋5＋9＝19
2. 解：设圆柱的高为h，则半圆柱的总面积为：a＝π＋πrh＋2rh
∴ h＝
∴ 这个半圆柱的体积为：
3. 解：因为一行有8个数，至多有2个数可以大于同行的6个数，只有当这两个数分别同时大于所在列的6个数时，这个格才是“好格”，所以一行最多有两个“好格”，8行最多有2×8＝16个“好格”。16个“好格”是可能的，下面给出一个例子，图中标“1”的16个格子是“好格”。
4. 解：
图中共有15个小三角形，为说明方便，我们给出了编号。这些小三角形中，边长相等的有5对，分别是4和5，7和8，9和10，11和12，14和15（分别填充了相同的颜色）。将6的左边延长（图中用细红线标出），可以看出13与14的边长之差等于1与2的边长之差，为26－24.7＝1.3。
设14、15的边长为a，用表示各三角形边长，则＝＝a，＝a＋1.3，＝2a＋1.3，＝＝3a＋1.3，＝3a＋2.6，＝4a＋1.3，＝4a＋3.9＝5a＋1.3，
∴ a＝2.6，＝9.1
从而＝24.7－9.1＝15.6
5. 解：列出一个组内参赛队数与比赛场数之间的关系，如下表：
队数
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
场数
1
3
6
10
15
21
28
36
45
55
因为，55加上3个表中所列的场数不能得到66，所以11个队的组不可能存在；
最多为10个队的组：45＋10＋10＋1＝66，45＋15＋3＋3＝66，有两种情况；
最多为9个队的组：36＋28＋1＋1＝66，36＋21＋6＋3，36＋10＋10＋10＝66，有三种情况；
最多为8个队的组不可能存在；
最多为7个队的组：21＋21＋21＋3＝66，21＋15＋15＋15＝66有两种情况；
最多为6个或6个以下队的组不可能存在。
以上可能的情况，总队数分别为：
10＋5＋5＋2＝22，10＋6＋3＋3＝22；
9＋8＋2＋2＝21，9＋7＋4＋3＝23，9＋5＋5＋5＝24；
7＋7＋7＋3＝24，7＋6＋6＋6＝25
即可能的球队数共有21、22、23、24、25五种情况。
6.解：第一圈刚好把能被3整除的取走，即第一圈最后取走编号为3000的，共取走1000枚，剩下2000枚，此时1号仍为第一个。再从这2000枚棋子中隔2隔取走1个，第二圈最后取走的是2000枚中的第1998枚，共取走666枚，第1999、2000枚没有取走。再取就是第1号了，取走第1号时1000＋666＋1＝1667枚棋子，还剩下1333枚棋子。
将第一圈取走的用绿色表示，将第二圈取走的用红色数字表示：
1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24，……
可见，每18个一循环，18个数去掉10个，剩下8个。拿走1后，剩下的最小编号是2，从2数第181枚，就是从1数第182枚。182÷8＝22余6，22×18＝396。
将366以后的数排列出来，并根据上述分析标上颜色：
397，398，399，400，401，402，403，404，405，406，407，408，409，……
可见，剩下的第6个数是407，即取走1号棋子后，从剩下的最小号数，第181枚棋子的编号是407。
第十三届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小学组）
姓名_________ 得分：______
一、选择题。（毎小题10分。以下毎题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在毎题的圆括号内。）
1．科技小组演示自制的机器人。若机器人从点A向南行走1.2米，再向东行走1米，接着又向南行走1.8米，再向东行走2米，最后又向南行走1米到达B点。则B点与A点的距离是（ ）米。
（A）3 （B）4 （C）5 （D）7
2．将等边三角形纸片按图1所示的步骤折迭3次（图1中的虚线是三边中点的连线），然后沿两边中点的连线剪去一角（图2）。
图1 图2
将剩下的纸片展开、铺平，得到的图形是（ ）。
（A） （B） （C） （D）
3．将一个长和宽分别是1833厘米和423厘米的长方形分割成若干个正方形，则正方形最少是（ ）个。
（A）8 （B）7 （C）5 （D）6
4．已知图3是一个轴对称图形。若将图中某些黑色的图形去掉，得到一些新的图形，则其中轴对称的新图形共有（ ）个。
图3
（A）9 （B）8 （C）7 （D）6
5．若a＝1515…15×333…3，则整数a的所有数位上的数字和等于（ ）。
（A）18063 （B）18072 （C）18079 （D）18054
6．若则有（ ）。
（A）a>b>c （B）a>c>b （C）a<c<b （D）a<b<c
二、填空题。（每小题10分，满分40分。第10题每空5分）
7．如图4所示，甲车从A，乙车从B同时相向而行。两车第一次相遇后，甲车继续行驶4小时到达B，而乙车只行驶了1小时就到达A。甲、乙两车的速度比为 。
图4
8．华杯赛网址是www.huabeisai.cn。将其中的字母组成如下算式：
w(—)w(—)w(—)w(—)w(—)w(—)＋h(—)h(—)u(—)u(—)a(—)a(—)＋b(—)b(—)e(—)e(—)i(—)i(—)＋s(—)s(—)a(—)a(—)i(—)i(—)＋c(—)c(—)n(—)n(—)＝2008。
如果每个字母分别代表0～9这十个数字中的一个，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，并且w＝8，h＝6，a＝9，c＝7，则三位数b(—)b(—)e(—)e(—)i(—)i(—)的最小值是 。
9．如图5所示，矩形ABCD的面积为24平方厘米。三角形ADM与三角形BCN的面积之和为7.8平方厘米，则四边形PMON的面积是 平方厘米。
图5
10．将一堆糖果全部分给甲、乙、丙三个小朋友。原计划甲、乙、丙三人所得糖果数的比为5：4：3。实际上，甲、乙、丙三人所得糖果数的比为7：6：5，其中有一位小朋友比原计划多得了15块糖果。那么这位小朋友是 （填“甲”、“乙”或“丙”），他实际所得的糖果数为 块。
第十三届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛
初赛试卷（小学组）
答案：
一、选择题（每小题10分，满分60分）
题号
1
2
3
4
5
6
答案
C
A
B
C
B
D
二、填空题（每小题10分，满分40分，第十题每空5分）
题号
7
8
9
10
答案
1：2或
103
1.8
丙，150
第十三届“华罗庚金杯”少年组数学邀请赛决赛试卷（小学组）
姓名_________ 成绩_______
一．填空（每题体10分，共80分）
1.计算：＝ 。
2.林林倒满一杯纯牛奶，第一次喝了，然后加入豆浆，将杯子斟满并搅拌均匀，第二次，林林又喝了，继续用豆浆将杯子斟满并搅拌均匀，重复上述过程，那么第四次后，林林共喝了一杯纯牛奶总量的 （用分数表示）。
3.图1是小明用一些半径为1厘米，2厘米，4厘米，
和8厘米的圆，半圆，圆弧和一个正方形组成的一个
鼠头图案，图中阴影部分的总面积为 平方厘米。
4.悉尼与北京的时差是3小时，例如：悉尼时间12：00时，北京时间是9:00。某日，当悉尼时间9：15时，小马和小杨分别乘机从悉尼和北京同时出发去对方所在地，小马于北京时间19：33分到达北京。小马和小杨路途上所用时间之比为7：6，那么小杨到达悉尼时，当地时间是 。
5.将六个自然数14，20，33，117，143，175分组，如果要求每组中的任意两个数都互质，则至少需要将这些数分成 组。
6.对于大于零的分数，有如下4个结论：
①两个真分数的和是真分数；
②两个真分数的积是真分数；
③一个真分数与一个假分数的和是一个假分数；
④一个真分数与一个假分数的积是一个假分数。
其中正确结论的编号是 。
7.记A=++++…+,那么比A小的最大自然数是 。
8.黑板上写着1至2008共2008个自然数，小明每次擦去两个奇偶性相同的数，再写上它们的平均数，最后黑板上只剩下一个自然数，这个数可能的最大值和最小值的差是 。
二．解下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9.小李应聘某公司主任职位时，要根据下表回答主任的月薪是多少，请你回答这个问题。
职位
会计与出纳
出纳与秘书
秘书与主管
主管与主任
主任与会计
月薪和
3000元
3200元
4000元
5200元
4400元
10.请将四个4用四则运算符号、括号组成五个算式，使它们的结果分别等于5，6，7，8，9。
11.图2中，ABCD和CGEF是两个正方形，AG和CF相
交与H，已知CH等于CF的三分之一，三角形CHG的
面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF的面积。
12.设六位数满足-f，请写出所有的这样的六位数。
三．解答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）
13.甲乙两人沿一个周长400米的环形跑道匀速前进，甲行走一圈需4分钟，乙行走一圈需7分钟，他们同时同地同向出发，甲走完10圈后，改为反向行走，出发后，每一次甲追上乙或和乙迎面相遇时，二人都击掌示意。问：当二人第15次击掌时，甲共走了多长时间？乙走了多少路程？
14.右图是一个分数等式：等式中的汉字代表数字1，2，3，
4，5，6，7，8和9，不同的汉字代表不同的的数字。如果
“北”和“京”分别代表1和9.请写出“奥运会”所代表
的所有的三位整数，并说明理由。
一、填空
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
2
65/81
64
20：39
3
②③
9
2005
二、解答
9----2900元
10----9
11----49.5
12----111111.102564
三、解答
13----甲走了66又2/11分钟，乙走了3781又7/11分钟
14----647、638、836
第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛
初赛试卷（小学组）
1、下面的表情中，没有对称轴的个数为（ ）
A 3 B 4 C 5 D 6
2、开学前6天，小明还没做寒假数学作业，而小强已完成了60道题，开学时，两人都完成了数学作业。在这6天中，小明做的题目是小强的3倍，他平均每天做（ ）道题。
A 6 B 9 C 12 D 15
3.按照中国篮球职业联赛组委会的规定，各队队员的号码可以选择的范围是0～55号，但选择两位数的号码时，每位数字均不能超过5.那么，可供每支球队选择的号码共（ ）个。
A 34 B 35 C 40 D 56
5、下面有四个算式：
其中正确的算式是: （ ）
A ①和② B ②和③ C ② 和③ D ①和④
6、A、B、C、D、E五个小朋友做游戏，每轮游戏都按照下面的箭头方向把原来手里的玩具传给另外一个小朋友：A→C,B → E,C → A,D → B,E → D.开始时A、B拿着福娃，C、D、E拿着福牛，传递完5轮时，拿着福娃的小朋友是（ ）
A C与D B A与D C C与E D A与B
7、下面的算式中，同一个汉字代表同一个数字，不同的汉字代表不同的数字，则“大熊猫”
代表的三位数是________.
团团×圆圆=大熊猫
8、从4个整数中任意选出3个，求出它们的平均值，然后再求出这个平均值
和余下一个数的和，这样可以得到4个数：4，6，
则原来给定的4个整数的和为_______
9、如下图所示，AB是半圆的直径，O还是圆心, 弧AC、CD、DB都相等，M是弧CD 的中点，H是弦CD的中点。若N是OB上一点，半圆的面积等于12平方厘米你，则图中的阴影部分的面积是_____平方厘米。
10、在大于2009的自然数中，被57除后，商与余数相等的数共有______个
答案：
1. C
2. D
3. C
4. C
5. B
6. A
7. 22×44=968
8. 10
9. 2
10. 22
第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A（小学组）
一、填空题(每小题10分，共80分)
2、如图所示，在边长为1的小正方形组成的4×4方格图中，共有25个格点．在以格点为顶点的直角三角形中，两条直角边长分别是1和3的直角三角形共有 个。
3、将七位数“1357924”重复写287次组成一个2009位数“13579241357924……”。删去这个数中所有位于奇数位(从左往右数)上的数字后组成一个新数；再删去新数中所有位于奇数位上的数字；按上述方法一直删除下去直到剩下一个数字为止，则最后剩下的数字是
。
4、如图所示，在由7个同样的小正方形组成的图形中，直线l将原图形分成面积相等的两部分，l与AB的交点为E，与CD的交点为F，若线段CF与线段AE的长度之和为91厘米，那么小正方形的边长是 厘米。
5、某班学生要栽一批树苗。若每个人分配k棵树苗，则剩下38棵；若每个学生分配9棵树苗，则还差3棵。那么k= 。
6、已知三个合数A，B，C两两互质，且A×B×C=11011×28，那么A＋B＋C的最大值为 。
7、方格中的图形符号“◇”，“○”，“ ▽”，“☆”代表填入方格中的数，相同的符号表示相同的数。如图所示，若第一列，第三列，第二行，第四行的四个数的和分别为36，50，41，37，则第三行的四个数的和为 。
8、1＋2＋3＋…＋n（n＞2）的和的个位数为3，十位数为0，则n的最小值是 。
二、简答题(每题l0分，共40分，要求写出简要过程)
9、六个分数 的和在哪两个连续自然数之间？
10、2009年的元旦是星期四，问：在2009年中，哪几个月的第一天也是星期四？哪几个月有5个星期日？
11、已知a，b，c是三个自然数，且a与b的最小公倍数是60，a与c的最小公倍数是270。求b与c的最小公倍数。
12、在51个连续的奇数l，3，5，…，101中选取k个数，使得它们的和为1949，那么k的最大值是多少？
三、解答下列各题 (每小题15分，共30分，要求写出详细过程)
13、如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O。已知AB=5，CD=3，梯形ABCD的面积为4，求三角形OAB的面积。
14、在如图所示的乘法算式中，汉字代表1至9这9个数字，不同汉字代表不同的数字。若“祝”字和“贺”字分别代表数字“4”和“8”，求出“华杯赛”所代表的整数。
第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A/B/C答案（小学组）
决赛答案(仅供参考）
A卷：
1.2 2. 64 3. 3 4. 26 5. 41 6.1626 7. 33 8. 37 9. 在1和2之间 10. 10月份的第一天是星期四 3、5、8、11月有5五个星期天 11. 108 , 540 12. 43 13. 25/16 14. 159
B卷:
1. 16 2. 64 3. 4 4. 2 5. 8 6. 222 7. 33 8. 37
9. 在1和2之间 10. 10月份的第一天是星期四 3、5、8、11月有5五个星期天 11.51 , 26 12.43 13. 1.2 14. 159
C卷：
1. 1/6 2. 8 3. 2 4. 26 5. 37 6. 222 7. 33 8. 37 9.在1和2之间 10.10月份的第一天是星期四, 3、5、8、11月有5五个星期天 11. 360米 12. 53 13.差不变PF-PE=336/25 14. 159
第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题B（小学组）
一、填空题（每小题10分，共80分）
1.计算：（105×95＋103×97）－（107×93＋101×99）=
2、如图所示，在边长为1的小正方形组成的4×4方格图中，共有25个格点．在以格点为顶点的直角三角形中，两条直角边长分别是l和3的直角三角形共有 个。
3、将七位数“ 2468135”重复写287次组成一个2009位数“24681352468135…”。删去这个数中所有位于奇数位(从左往右数)上的数字后组成一个新数；再删去新数中所有位于奇数位上的数字；按上述方法一直删除下去直到剩下一个数字为止，则最后剩下的数字是 。
4、A，B，C，D，E，F六个小朋友做游戏，每轮游戏都按照下面的箭头方向把原来手里的玩具传给另外一个小朋友：A→F，B→D，C→E，D→B，E→A，F→C。开始时，A，B，C，D，E，F拿着各自的玩具，传递完2002轮时，有 个小朋友又拿到了自己的玩具。
5、某班学生要栽一批树苗。若每个人分配k棵树苗，则剩下20棵；若每个学生分配9棵树苗，则还差3棵。那么k= 。
6、已知三个合数A，B，C两两互质，且A×B×C=1001×28×11，那么A＋B＋C的最小值为 。
7、方格中的图形符号“◇”，“○”，“ △”，“☆”代表填入方格中的数，相同的符号表示相同的数。如图所示，若第一列，第三列，第二行，第四行的四个数的和分别为36，50，41，37，则第三行的四个数的和为 。
8、1＋2＋3＋…＋n（n＞2）的和的个位数为3，十位数为0，则n的最小值是 。
二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9、六个分数的1/2，1/3，1/5，1/7，1/11，1/13和在哪两个连续自然数之间？
10．2009年的元旦是星期四，问：在2009年中，哪几个月的第一天也是星期四？哪几个月有5个星期日？
11、有同样的三个正方体纸盒，每个纸盒的六个面上都写有一个数字，它们的展开图如图1所示。若把这三个纸盒按图2所示摆放在不透明的桌面上，则所有能看到的纸盒面上的数字之和的最大值和最小值分别是多少？
12、在68个连续的奇数l，3，5，…，135中选取k个数，使得它们的和为1949，那么k的最大值是多少？
三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）
13、如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O。已知AB=6，CD=4，梯形ABCD的面积为5，求三角形OBC的面积。
14、在如图所示的乘法算式中，汉字代表1至9这9个数字，不同汉字代表不同的数字。若“祝”字和“贺”字分别代表数字“ 4”和“8”，求出“华杯赛”所代表的整数。
祝贺×华杯赛=第十四届
第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题C（小学组）
一、填空题（每小题10分，共80分）
1．计算：(1＋1/2＋1/4)×(1/2＋1/4＋1/6)－(1＋1/2＋1/4＋1/6)×(1/2＋1/4) ＝____________。
2．将七位数“9876543”重复写287次组成一个2009位数“98765439876543…”。删去这个数中所有位于奇数位（从左往右数）上的数字后组成一个新数；再删去新数中所有位于奇数位上的数字；按上述方法一直删除下去直到剩下一位数为止，则最后剩下的数字是___________。
3．A、B、C、D、E、F六个小朋友做游戏，每轮游戏都按照下面的箭头方向把原来手里的玩具传给另外一个小朋友：A→F，B→D，C→E，D→B，E→A，F→C。开始时，A、B、C、D、E、F拿着各自的玩具，传递完2002轮时，有___________个小朋友又拿到了自己的玩具。
4．如图1所示，图中有五个正方形和12个圆圈，将1～12填入圆圈中，使得每个正方形四角上圆圈中的数之和都相等，那么这个相等的和等于___________。
5．某班学生要栽一批树苗。若每个人分配k棵树苗，则剩下34棵；若每个学生分配9棵树苗，则还差3棵，那么学生共有____________人。
6．已知A、B、C是三个两两互质的合数，且A×B×C＝1001×4×77，那么A＋B＋C的最小值为____________。
7．方格中的图形符号“◇”，“○”，“▽”，“☆”代表填入方格中的数，相同的符号表示相同的数，如图2所示，若第一列，第三列，第二行，第四行的四个数的和分别为36，50，41，37，则第三行的四个数的和为_____________。
8．已知1＋2＋3＋……＋n（n>2）的和的个位数为3，十位数为0，则n的最小值是___________。
二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9．六个分数1/2，1/3，1/5，1/7，1/11，1/13的和在哪两个连续自然数之间？
10．2009年的元旦是星期四，问：在2009年中，那几个月的第一天也是星期四？那几个月有5个星期日？
11．甲、乙二人分别从A、B两地同时出发相向而行，在A、B两地间往返跑步，甲每秒跑5米，乙每秒跑7米。如果他们的第四次迎面相遇地点与第一次同向相遇地点的距离是150米，求A、B两地间的距离为多少米？
12．如图3所示，图中有__________不同的三角形。
三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）
13．如图4所示，已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝25，AD与BC垂直，PE与AC垂直，PF与AB垂直，AD＝24，BC＝14，问PF－PE的差是否不变？若差不变，请求出这个差；若不是，请说明理由。
14．如图5所示的乘法算式中，汉字代表1至9这9个数字，不同汉字代表不同的数字。若“祝”字和“贺”字分别代表数字“4”和“8”，求出“华杯赛”所代表的整数。
第九届华杯赛决赛试题及解答
2004年4月10日 10：00—11：00
一、填空（每题10分，如果一道题中有两个填空，则每个5分）
1.计算：2004.05×1997.05-2001.05×1999.05=( )
2.图１是一些填有数字的方形格子，一个微型机器人从图中阴影格子开始爬行，每爬进邻近一个格子后，它就将该格子也涂上阴影，然后再爬进与该格子有公共边的格子中，继续将该格子涂上阴影，…。依次将微型机器人所涂过的阴影格子中的数除以３得到的余数排成一列，结果是
０１２０１２０１２０１２０１２…… 阴影格子所组成的数字是（ ）。
3.等式：＝39×
恰好出现1、2、3、4、…、9九个数字，“潮州市”代表的三位数是（ ）。
4.一个半径为1厘米的圆盘沿着一个半径为4厘米的圆盘外侧做无滑动的滚动，当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动90度后（如图2），小圆盘运动过程中扫出的面积是（ ）平方厘米。（=3.14）
5.甲、乙、丙三只蚂蚁从A、B、C三个不同的洞穴同时出发，分别向洞穴B、C、A爬行，同时到达后，继续向洞穴C、A、B爬行，然后返回自己出发的洞穴。如果甲、乙、丙三只蚂蚁爬行的路径相同，爬行的总距离都是7.3米，所用时间分别是6分钟、7分钟和8分钟，蚂蚁乙从洞穴B到达洞穴C时爬行了（ ）米，蚂蚁丙从洞穴C到达洞穴A时爬行了（ ）米。
6.如图3，甲、乙二人分别在A、B两地同时相向而行，于E处相遇后，甲继续向B地行走，乙则休息了14分钟，再继续向A地行走。甲和乙到达B和A后立即折返，仍在E处相遇，已知甲分钟行走60米，乙每分钟行走80米，则A和B两地相（ ）米。
图3
二、解答下列各题，要求写出简要过程（每题10分）
7.李家和王家共养了521头牛，李家的牛群中有67%是母牛，而王家的牛群中仅有是母牛，李家和王家各养了多少头牛？
8.一个最简真分数，化成小数后，如果从小数点后第一位起连续若干位的数字之和等于2004，求M的值。
9.小丽计划用31元买每支2元、3元、4元三种不同价格的圆珠笔，每种至少买1支。问她最多能买多少支？最少能买多少支？
10.在3×3的方格纸上（如图4），用铅笔涂其中的5个方格，要求每横行和每竖行列被涂方格的个数都是奇数，如果两种涂法经过旋转后相同，则认为它们是相同类型的涂法，否则是不同类型的涂法。例如图5和图6是相同类型的涂法。回答最多有多少种不同类型的涂法？说明理由。
11.三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”。问所有的小于2008的“美妙数”的最大公约数是多少？
12.用455个棱长为1的小正方体粘成一个大的长方体，若拆下沿梭的小正方体，则尚余下371个小正方体，问所粘成的大长方体的棱长各是多少？拆下沿棱的小正方体后的多面体（图7是示意图）的表面积是多少？
答案一、填空（每题10分，如果一题中有两个填空，则每个5分）
题目
1
2
3
4
5
6
答案
1989．5
9
728
18．84
2．4;2．1
1680
二、解答下列各题，写出简要过程（每题10分）：
7．解答：李家和王家各养了300头和221头牛．
算术解法：
①李家养牛数的67%是母牛，母牛数应当是整数，67是质数，所以，李家养牛数应当是100的倍数，可能是500、400、300、200或100头，王家养牛数则可能是21、121、221、321和421头．
②王家的牛群中有是母牛，21、121、221、321和421中仅有221能为13整除，所以，王家养牛数是221头，李家养牛数是300头．
代数解法：
①李家的牛群中有67%是母牛，67是质数，可以设李家养牛头数为100x，王家的牛群中仅有是母牛，13是质数，可以设王家养牛数是13y，列出方程
100x+13y=521．…………………………………（*）
②x和y是整数，分别取x=1，2，3，4，5．可以得到x=3，y=13．或者解同余方程（*）．
（*）式两边除13，
-4x=1，Mod（13）．…………………………（**）
x=3是（**）式的解，得到y=13．
8．解答：M是3．
，
①把最简分数写成循环小数：，
，
②上面6个最简真分数的循环小数节的数字和都是27，2004被27除的余数是6，仅3/7符合要求．
9．解答：小丽最多能买14支圆珠笔，小丽最少能买9支圆珠笔．
方法一：
①买圆珠笔总费用是奇数，所以，买3元1支的圆珠笔的数量必须是奇数．
②高价格的笔买的越少，买圆珠笔的总数量就越多，若3元和4元的圆珠笔只各买1支，则小丽能买(31-4-3)÷2=12支单价2元的圆珠笔，最多能买12+2=14(支)
③类似，低价格笔买的越少，买圆珠笔总的数量就越少，如果小丽2元和3元的圆珠笔计划各买1支，余下的钱有26元，能买6支单价4元的笔，尚余2元，可以再买1支2元的圆珠笔．所以，小丽最少能买9支圆珠笔．
方法二：
①设2元、3元、4元的圆珠笔各买x、y、z支，则：2x+3y+4z=31，……………………(*)
②分析等式（*）的奇偶性，y必须是奇数．因为x，y，z≥1， 3y=31-2x-4z≤25，y≤7．列下表：
y=1
x 12 10 8 6 4 2
z 1 2 3 4 5 6
y=3
x 1 3 5 7 9
z 5 4 3 2 1
y=5
x 2 4 6
z 3 2 1
y=7
x 1 3
z 2 1
从上表，小丽最多能买14支圆珠笔，小丽最少能买9支圆珠笔．
方法三：
①因为x，y，z≥1，所以从(*)式，2x+2y+2z=31-y-2z≤31-3=28，得到x+y+z≤14．
②取x=12，y=1，z=1满足(*)式，且x+y+z=14．小丽最多能买14支圆珠笔．
③类似，4x+4y+4z=31+2x+y≥31+3=34，≥．
取x=2，y=1，z=6满足(*)式，并且，x+y+z=9．小丽最少可以买9支圆珠笔．
10．解答：不同类型的涂法有3种，如下图A．
说明：
①所涂5个阴影方格分布在3行中，只有一行涂有3个阴影方格．同样，仅有一列涂有3个阴影方格．
②所以，仅有一个方格，它所在的行和列均有3个阴影方格，有这种性质的方格称为“特征阴影方格”．“特征阴影方格”在3×3正方格纸中的位置，就唯一地决定了3×3的方格纸的涂法．“特征阴影方格”在方格纸的角上（图A左边）、外边中间的方格（图A中间）和中心的方格（图A右边）三个位置确定了只有3种类型的涂法．
11．解答：60
说明：
①任何三个连续正整数，必有一个能为3整除．所以，任何“美妙数”必有因子3．
②若三个连续正整数中间的数是偶数，它又是完全平方数，必定能为4整除；若中间的数是奇数，则第一和第三个数是偶数，所以任何“美妙数”必有因子4．
③完全平方数的个位只能是1、4、5、6、9和0，若其个位是5和0，则中间的数必能被5整除，若其个位是1和6，则第一个数必能被5整除，若其个位是4和9，则第三个数必能被5整除．所以，任何“美妙数”必有因子5．
④上述说明“美妙数”都有因子3、4、和5，也就有因子60，即所有的美妙数的最大公约数至少是60．60=3×4×5是一个“美妙数”，美妙数的最大公约至多是60．所有的美妙数的最大公约数既不能大于60，又至少是60，只能是60．
12．解答：多面体的表面积是358．
①设长方体长宽高分别为x、y、z无仿设x≥z≥y，它们只能取正整数．长方体的体积是455，则有x×y×z=455，分解455=5×7×13，即：x×y×z=5×7×13(1)
②沿棱拆下的小正方体有455-371=84个，若认为从“长”边拆下的小正方体为(x-1)个，则从每个“宽”边拆下的小正方体为(y-1)个，而从每个“高”边拆下的小正方体为(z-2)个，应当有下面关系式：
4×(x-1+y-1+z-2)=84，x+y+z=25．(2)
分析(1)和(2)，既然x，y，z只取正整数，验证x=13，z=7，y=5 是唯一解．
③计算表面积：
方法一：如右图B，拆下沿棱的小正方体后的多面体的表面积由两部分组成：
第一部分是突出在外面的6个平面，总面积是：2×(11×5+11×3+5×3)=206．
第二部分是24个宽都是1的长条，总面积是：8×(11+3+5)=152．
方法二：拆下沿棱的小正方体后的多面体的表面积和原长方体表面积去掉8个顶点处的小正方体的三个侧面的面积相同(想像一下为什么)．所以，2×(13×7+13×5+7×5)-3×8=358．
第九届华杯赛总决赛二试试题及解答
1.一正方形苗圃，栽种桃树和李树，一圈一圈地相间种植，即最外一圈种的是桃树，往内一圈是李树，然后是桃树，…，最内一圈种了4棵李树．已知树苗的的行距和列距都相等，桃树比李树多40棵．问：桃树和李树一共有多少棵？
2.如右图，在以AB为直径的半圆上取一点C，分别以AC和BC为直径在△ABC外作半圆AEC和BFC．当C点在什么位置时，图中两个弯月型（阴影部分）AEC和BFC的面积和最大．
3、甲、乙两家医院同时接受同样数量的病人，每个病人患x病或y病中的一种，经过几天治疗，甲医院治好的病人多于乙医院治好的病人．问：经过这几天治疗后，是否可能甲医院对x病的治愈率和对y病的治愈率均低于乙医院的？举例说明．（x病治愈率=）
4、完成某项工程，甲单独工作需要18小时，乙需要24小时，丙需要30小时．现甲、乙和丙按如下顺序工作：甲、乙、丙、乙、丙、甲、丙、甲、乙、…，每人工作一小时换班，直到工程完成．问：当工程完成时，甲、乙、丙各干了多少小时？
5、求同时满足下列三个条件的自然数a，b：1）a＞b； 2） 3）a＋b是平方数
6.如图，正方形跑道ABCD．甲、乙、丙三人同时从A点出发同向跑步，他们的速度分别为每秒5米、4米、3米．若干时间后，甲首次开始看到乙和丙都与自己在正方形的同一条边上，且他们在自己的前方．从此时刻算起，又经过21秒，甲乙丙三人处在跑道的同一位置，这是出发后三人第一次处在同一位置．请计算出正方形的周长的所有可能值．
答案
1．400棵2．当C点在通过圆心且与直径AB垂直的直线与半圆的交点处时，两弯月型的面积最大3．能4．当工程完成时，甲干了7．2小时；乙、丙各干了8小时5．6．正方形跑道的周长是210米或420米
1．解：下图画出苗圃的最里面3层，可以看出，苗圃所种果树的棵数为：4＋12＋20＋28＋……，每外一圈的桃树比相邻内一圈的李树多8棵，40÷8＝5，所以共有10圈，最外圈的桃树为4＋9×8＝76棵，果树总棵数为＝400（棵）
2．解：两弯月形面积＝＋×AC×BC＝×AC×BC
本题即AC×BC何时有最大值.因为，当时，有最大值，此时AC×BC有最大值，即AC＝BC时，阴影面积最大.
3．解：例如，甲、乙医院接收和治愈x，y病的人数如下表：
甲医院
x病
y病
合计
接收人数
20
80
100
治愈人数
1
40
41
治愈率
5%
50%
乙医院
x病
y病
合计
接收人数
80
20
100
治愈人数
20
20
40
治愈率
25%
100%
4．解：三人各干一小时完成，360÷47＝7，
即经过每人干7小时还剩工程的1－×7＝没有干完，
从题目所给的换班规则（每次3小时，各干1小时），
每三次一个周期，三人的工作顺序第8次换班应和第二次相同，
即按乙、丙、甲的顺序，＞，－＝，＞，－＝，
就是说，乙、丙又各干一小时，还剩的工作量，÷＝0.2（小时）
即当工程完成时，甲干了7．2小时；乙、丙各干了8小时．
5．解：由，可得：ab＝169a＋169b，ab－169a＝169b，
a＝，a＋b＝＝，
因为a＋b是平方数，所以b－169是平方数，设b－169＝，b＝＋169；
同理可得ab－169b＝169a，b＝，a＋b＝＝，a－169是平方数，
设a－169＝，a＝+169；于是，a＋b＝＋2×169＋.
2×169＝2×13×13，或2×169＝2×1×169，或2×169＝2×169×1，
因为a＞b，所以m＞n，a＋b是平方数，
所以，m＝169，n＝1，a＝＋169＝＋169＝169×170，b＝＋169＝＋169＝170.
6．解：甲跑5圈孤时间，乙跑4圈，再跑3圈，此时三人处在同一位置，都在A点．倒退21秒，
甲的位置距A点5×21=105（米），甲与丙相距（5-3）×21=42（米）．
因为此时甲首次看到乙、丙与自己在同一条边上，
所以甲此时应恰好在正方形的某一顶点上，即105米是正方形边长的整数倍，且正方形的边长不小于42米．
105÷1＝105＞42， 105÷2＝52.5＞42，105÷3＝35＜42.
所以正方形的边长是105米或52.5米，周长为420米或210米．
