爱华网2012年中考数学深度复习讲义——与圆有关的位置关系
?考点聚焦
1．?理解并掌握利用圆心到直线的距离和半径之间的关系来判断直线和圆的位置关系．
2．?能灵活运用圆的切线的判定定理和性质定理以及切线长定理解决有关问题，这也是本节的重点和中考热点，而综合运用这些定理则是本节的难点．
3．?能由两圆位置关系写出圆心距与两圆半径之和或差的关系式以及利用两圆的圆心距与两圆半径之和及差的大小关系判定两圆的位置关系．
?备考兵法
1．确定点与圆的位置关系就是确定该点到圆心的距离与半径的大小关系，?涉及点与圆的位置关系的问题，如果题目中没有明确点与圆的位置关系，应考虑点在圆内、上、外三种可能，即图形位置不确定时，应分类讨论，利用数形结合进行解决．
2．?判断直线与圆的位置关系的方法有两种：一是根据定义看直线和圆的公共点的个数；二是根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的关系．
3．证明一条直线是圆的切线的方法有两种：（1）当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“作半径，证垂直”；（2）当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，?再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂线，证半径．”
?识记巩固
1．设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点在圆内?______；点在圆上?_______；?点在圆外?_______．
2．直线与圆的位置关系：如果⊙O的半径为r，圆心O到直线L的距离为d，那么：
（1）直线和圆有_____个公共点时，叫做直线与圆相交，这时直线叫做圆的_____，公共点叫做_____，此时d_____r；
?（?2）?直线和圆有_____?个公共点时，?叫做直线与圆相切，?这时直线叫做圆的______，公共点叫做______，此时d_______r．
（3）直线和圆有____个公共点时，叫做直线与圆相离，此时d______r．
3．圆和圆的位置关系：如果两圆半径分别为R和r（R>r），圆心距为d，那么：
（1）两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在______，这时我们称两圆______，
d_____R+r．
? ? ?（?2）?两个圆有_____?公共点，?并且除了这个公共点外，?每个圆上的点都在_________，这时我们称两圆______，d____R+r．
（3）两个圆有两个公共点，我们称这两个圆_________，此时____________．
（4）?两个圆有_____?公共点，?并且除了这个公共点外，?一个圆上所有的点都在______，这时我们称两圆_______，d______R－r．
（5）两个圆没有公共点，?并且一个圆上所有的点都在_______，?这时我们称两圆_______，d_____R－r．
说明：两圆______和______统称为两圆相切，唯一的公共点称为______，?两个圆同心是两圆________的特例．
4．圆的切线的判定方法：
（1）定义法：与圆只有____个公共点的直线是圆的切线．
（2）数量关系法：到圆心的距离_________的直线是圆的切线；
（3）判定定理：过半径_______且与这条半径_______的直线是圆的切线．
5．切线的性质定理及推论：
定理：圆的切线_______于经过切点的________．
推论1：经过______且垂直于________的直线必经过切点．
推论2：经过______且垂直于________的直线必经过圆心．
6．经过圆外一点作圆的切线，这一点和_______之间的线段长，?叫做这点到圆的______；从圆外一点可以引圆的______条切线，它们的_______相等，这点和圆心的连线_________．
7．与三角形各边都相切的圆叫做三角形的_______，_______?的圆心叫做三角形的内心，它是三角形三条_______的交点．
识记巩固参考答案:
1．0≤d<r d=r d>r
2．（1）两 割线 交点 < （2）－ 切线 切点 = （3）0 >
3．（1）另一个圆的外部 外离 > （2）唯一 另一个圆的外部 外切 =
（3）相交 R－r<d<R+r （4）唯一 另一个圆的内部 内切 =
（5）?另一个圆的内部 内含 < 外切 内切 切点 内含
4．（1）－ （2）等于半径 （3）外端 垂直
5．垂直 半径 圆心 切线 切点 切线
6．切点 切线长 两 切线长 ?平分两条切线的夹角
7．内切圆 内切圆 角平分线
?典例解析
例1 （2011湖北黄石，24，9分）已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，点O1在⊙O2上，C
为O2上一点（不与A，B，O1重合），直线CB与⊙O1交于另一点D。
（1）如图（8），若AC是⊙O2的直径，求证：AC＝CD
（2）如图（9），若C是⊙O1外一点，求证：O1C⊥AD
（3）如图（10），若C是⊙O1内的一点，判断（2）中的结论是否成立。
【答案】（1）连接C O1，AB
∵AC是⊙O2的直径
∴AB⊥BD,AD⊥C O1
∴AD经过点O1
∵AO1＝DO1
∴AC＝CD
（2）连接O1 O2，AO1
∵O1 O2⊥AB
∴∠AO1O2+∠AG O1
∵∠O1AB=∠C
又∵∠D=1∠AO1B=∠AO1O2 2
∴∠C+∠D=90
∴O1C⊥AD （3）成立
例2 如图，⊙O与y轴交于A，B两点，交x轴于点
C，过点C的直线y=－
x－8与y?轴交于点P．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）在直线PC上是否存在点E，使得S△BOP=4S△CDO？
若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
AC交于点F（F（3）当直线PC绕点P转动时，与?
不与A，C重合），连结OF，设PF=m，OF=n，求m，n
之间满足的函数关系式，并写出自变量n的取值范围．
解析 （1）直线y=－
－8与x，y轴分别交于点C（－
，0），P（0，－8）． ∴cot∠
，cot∠
．
∴∠OCD=∠OPC．
∵∠OPC+∠PCO=90°，
∴∠OCD+∠PCO=90°，
∴PC是⊙O切线．
（2）设直线PC上存在一点E（x，y），使S△BOP=4S△CDO，
则11×8×│x│=4××1×
． 22
解得
．
由y=－
－8可知，
当
时，y=－12；当x=
时，y=－4．
∴在直线PC
，－12
，－4）．
（3）如图，作直线PF交AC于点F．
设F（x，y），作FM⊥y轴，M为垂足，连结DF，
由PF=m，OF=n得，
m2－（8+y）2=x2，n2－y2=x2，
∴m2－64－16y－y2=n2－y2，
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