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本科毕业设计（ 论文 ）
题 目：基 于ProModel的银
行叫号系统仿真分析
学 号： 084810417 姓 名：班 级： 08工业A1 专 业： 工业工程专业 学 院： 机电工程学院 入学时间： 2008级 指导教师：日 期： 2012年05月03日
上海第二工业大学毕业设计（论文）
摘要
本文利用排队论的知识对银行叫号系统仿真，建立数学模型进行分析优化，从而使系统达到最佳的运营状态。银行服务系统应以保证顾客满意为前提，要做到顾客延误时间最少，在通常服务方式已固定的条件下，合理设置服务窗口(服务台)的数量是关键环节。为探求此排队系统的规律，首先需确定顾客流在一定时间内到达的概率分布函数。为此，一般是通过样本，算出均值，方差等数值，对照有关统计分布函数的各项数值，确定某一分布函数。顾客流抵达银行便按先后顺序排队，进入单个或多个服务窗口，即一路排队单窗口或多窗口服务系统，也即排队论中的M/M/C/∞/∞系统。所谓M/M/c排队系统是指这样的一种排队模型：顾客的到达服从某种分布，银行对每位顾客的服务时间成独立分布，有C个服务台(服务窗口)，顾客按先到先服务(FCFS)规则排队，当顾客到达时，若有空闲的服务台就立即接受服务，若所有服务台都忙着，则顾客形成一个排队等待服务。M/M/C/∞/∞排队系统是指顾客源、系统容量均为无限的M/M/C系统，通常称之为标准的M/M/C系统。上述一路排队，单窗口(服务台)和多窗口(服务台)服务系统。
本文收集了上海市松江区某商业银行工作日及双休日的人流到达时间及服务时间，运用SPSS软件给予分析，统计分布。应用离散事件系统仿真的基本理论和方法，借助所收集分析得到的数据，采用ProModel仿真软件对银行中的叫号系统进行了模拟设计，得到该银行工作日及双休日的实际运营状况。最后根据
ProModel仿真系统分析得到的资源利用率和实体排队长度对该模型进行优化，确定该银行业务窗口的最佳个数。
关键词:排队论；叫号系统；M/M/C/∞/∞模型；ProModel仿真。
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基于ProModel的银行叫号系统仿真分析
ABSTRACT
By using the queuing theory knowledge to bank a station-to-station system simulation, the mathematical model to analyze optimization, which makes the system to achieve the best running status. Bank service system should be to ensure customer satisfaction as the premise, to do customer delay time at least, usually means already fixed in the service condition, setting up reasonable service window (service) is the number of key link. In order to research the law of the queue system, firstly needs to determine the customer in a certain time to arrive at the flow of probability distribution function. For this, the general is through the sample, and calculate the mean and variance and numerical and compared to the relevant statistical distribution function of the value, to determine a distribution function. Customer arrived in bank in the order of queue, into a single or multiple service window, that is, all the way in line or more single window service system, namely, queuing theory of M/M/C / ∞ / ∞ system The so-called M/M/c queuing system is a such a queuing model: the customer to obey a distribution, the bank to each customer service time into independent distribution, it has c desks (service window), customers according to first come first service (FCFS) rules queue, when customers arrived, if there is a free service desk immediately accept service, if all desk are all busy, the customer form a waiting for service. M/M/C /∞/∞ queuing system is a customer source, system capacity are infinite M/M/C systems, often called the standard M/M/C systems. The line up all the way, singles service window and much service window system.
This paper collected songjiang Shanghai a commercial banking days of people and double cease day arrival time and service time, SPSS software to give analysis, statistical distribution. Application of discrete event systems simulation of the basic theory and method, with the aid of the collected the data from the analysis, the ProModel simulation software of your turn to bank system simulation design, get the bank working days of the actual operation situation and weekends. According to ProModel simulation system analysis of resource utilization and get entity of the II
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model queue length is optimized, and determine the best number of banking window. Key words: queuing theory; your turn system; M/M/C / ∞ / ∞ model; ProModel Simulation.
III
基于ProModel的银行叫号系统仿真分析
目录
第一章 概述 ..................................................... 1
1.1 选题的背景和研究的意义 ........................................................................................... 1
1.2 研究的目的和内容 ....................................................................................................... 1
1.3 可行性分析 ................................................................................................................... 1
1.3.1 经济可行性 ................................................................................................................... 1
1.3.2 技术可行性 ................................................................................................................... 2
1.4 需求分析 ....................................................................................................................... 2
1.4.1 叫号机模块 ................................................................................................................... 2
1.4.2 用户模块 ....................................................................................................................... 2
1.4.3 工作人员模块 ............................................................................................................... 2
1.5 论文章节安排 ............................................................................................................... 3
第二章 排队系统介绍 ............................................. 4
2.1 排队论 ........................................................................................................................... 4
2.1.1 排队论的概述 ............................................................................................................... 4
2.1.2 银行排队论的主要研究内容指标 ............................................................................... 5
2.1.3 排队对系统的组成部分 ............................................................................................... 6
2.2 M/M/1/∞/∞排队系统 ................................................................................................. 8
2.3 M/M/C/∞/∞排队系统 ................................................................................................. 8
第三章 银行叫号系统仿真分析 ...................................... 9
3.1 仿真软件及其发展 ....................................................................................................... 9
3.1.1 ProModel软件介绍 ...................................................................................................... 9
3.1.2 ProModel四大元素 .................................................................................................... 10
3.2 银行叫号系统模型假设 ............................................................................................. 10
3.2.1 输入过程 ..................................................................................................................... 10
3.2.2 排队机构 ..................................................................................................................... 11
3.2.3 服务机构 ..................................................................................................................... 11
第四章 案例分析 .................................................. 12
4.1 银行叫号系统模型 ..................................................................................................... 12
4.1.1 仿真数据采集 ............................................................................................................. 12
4.1.2 仿真数据整理 ............................................................................................................. 13
4.2 仿真模型建模 ............................................................................................................. 17
4.2.1 模型结构输出与分析 ................................................................................................. 22
4.2.2 优化结果输出与分析 ................................................................................................. 30
第5章 总结 ...................................................... 35
5.1 论文总结 ..................................................................................................................... 35
5.2 问题展望 ..................................................................................................................... 35
致谢 ............................................................. 37
参考文献 ......................................................... 38
IV
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第一章 概述
1.1 选题的背景和研究的意义
银行客户排队等候时间长，一方面增加了客户的时间和精力成本，引发客户的投诉与抱怨，导致银行的客户资源流；另一方面也造成了银行前台柜员的超负荷工作，情绪紧张焦躁，工作效率下降甚至出现业务差错，影响银行自身的经济效益与企业形象。时问既是成本因素同时又具有潜在价值，提高排队系统的服务效率，缩短客户等待时间，绝不仅仅是客户所关注的问题，而是为双方实现增值的重要手段。
排队叫号系统的应用正是体现了科技以人为本的需要，是全社会文明发展的产物，也是人类文明发展的必然趋势。排队技术最早出现在欧美等西方国家，开始的排队系统仅限于工作人员的人工呼叫，随着现代技术的不断发展特别是计算机技术的应用，使排队技术的发展也突飞猛进，利用排队论的知识对叫号系统建立数学模型进行分析优化。
使用叫号系统可以让顾客在时间能够自由调配，当取得的号发现前面还有一定的顾客时可以先去处理其它事物不必为了在队列中等待而浪费时间；也减少了有“插队”可能性的抱怨，避免了排队时某些不必要的纷争，也为银行更好的管理、全面提高服务质量与企业形象提供了保障。另一方面，叫号机是运用计算机技术发展而来，它可以帮助银行统计每天的客流数据来调整业务分配、合理安排服务窗口，为顾客提供更好的服务、更高的效率。
现代银行业在服务水平和服务质量上迫切要求提高自身的软硬件环境，叫号系统作为银行排队设施的关键设备，如何有效的提供服务对服务水平的提高起到非常重要的作用，利用排队论的知识对叫号系统建立数学模型并使用ProModel软件对现有经营服务可能存在的问题进行解析、优化和改善，从而使系统达到最佳的运营状态，具有十分重要的经济价值和实际意义。
1.2 研究的目的和内容
在大家都在为排队等待而苦恼时，叫号机响应大众的需求应然而生。本课题的银行叫号机，模拟了取号叫号排队的功能，但可能在某些模块上还需要硬件与软件的密切配合。本次仿真此系统是在介于每次办理业务长时间等待下进行的，其目的是在叫号机的帮助下观察并分析该银行经营布局等的合理性以及得到最佳的运营状态，即开设服务窗口的最佳数量。
在现代计算机飞速发展的时代，有电脑软件控制实现的叫号系统，模拟了从用户到达直至办理完业务离开的整个流程。在此期间需要收集并分析实际的数据，包括顾客的平均到达时间间隔，平均服务时间等参数。对于分析得出的结论带入模型，开始进行仿真模拟。
1.3 可行性分析
1.3.1 经济可行性
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基于ProModel的银行叫号系统仿真分析
叫号机在现代生活中已成为服务型行业必不可少的“好帮手”，帮助银行有效的管理客流，提升企业形象。而对银行叫号的仿真只需采集一定的数据就能得到银行经营可能存在的问题，帮助银行改善现有状况；相对于花费大量人力与财力去发现改善，使用ProModel仿真更具实际意义，不需花任何财力，所以在经济方面可行。
1.3.2 技术可行性
银行柜台排队系统的研究属于运筹学排队论范畴，且就其柜台服务而言，当前一个顾客未被服务完毕时，后一个顾客必须等待，直到前一个顾客离开，后一个顾客才能被服务，完全符合排队系统中的动态模拟模型。由此，利用软件动态模拟可为上述矛盾提供解决思路。
1.4 需求分析
在叫号系统中，它对于顾客由二大模块组成：取号等待及叫号；相应的工作人员，它有：排号及叫号；而对于叫号系统本身，首先从它每天开始服务起按序发号码纸，对于后来的顾客整理现有的顾客人数并给出等待人数及号码。其各流程图如下：
1.4.1 叫号机模块
系统为用户自动生成票号，包含相应的信息（到达时间，等待人数等），在取完好号后系统又将此信息转入到工作人的计算机系统中，按照排队论的理念采取先到先服务的原则，按序排号叫号。
图1叫号机模块流程图
1.4.2 用户模块
从用户取号开始就已进入了银行叫号系统中等待服务，对于用户办理的类型不同，系统会在用户选择后给出相应的队伍信息，如：业务类型，号码，当前等待人数等。取号后到达指定的等待区域等待工作人员叫号，办理业务。
图2用户模块流程图
1.4.3 工作人员模块
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工作人员按下呼叫键，系统显示信息提示顾客前往柜台办理业务，此呼叫会重复播放几次若顾客错过将请下一位顾客前来办理；在工作人员服务完一位顾客后，又将重复此过程直至一天的工作结束。
图3工作人员模块流程图
1.5 论文章节安排
第一章讲述本课题的研究背景、研究目的与内容、可行性分析和需求分析。
第二章是对排队论的介绍，从它的发展、组成结构以及M/M/C模型的理念。
第三章对银行叫号系统仿真做出具体的研究分析。我从ProModel仿真软件开始介绍，运用SPSS软件得到的数据分析在进行实际模型前都做出了假设性的总结。ProModel仿真软件中的四大元素对其数据进行模拟，可以清晰的得到银行的排队现状，结合实际情况给予相应的优化和优化分析。
第四章是对本课题所得出结论的总结，给出某些现有技术还不能解决的问题并给予期望。
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基于ProModel的银行叫号系统仿真分析
第二章 排队系统介绍
2.1 排队论
排队论起源于20世纪初的电话通话。1909—1920年丹麦数学家、电气工程师爱尔朗（A.K.Erlang）用概率论方法研究电话通话问题，从而开创了这门应用数学学科，并为这门学科建立许多基本原则。20世纪30年代中期，当费勒(W.Feller)引进了生灭过程时，排队论才被数学界承认为一门重要的学科。
排队论(queuing theory), 或称随机服务系统理论, 是通过对服务对象到来及服务时间的统计研究，得出这些数量指标（等待时间、排队长度、忙期长短等）的统计规律，然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务对象，使得服务系统既能满足服务对象的需要，又能使机构的费用最经济或某些指标最优。它是数学运筹学的分支学科。也是研究服务系统中排队现象随机规律的学科。广泛应用于计算机网络, 生产, 运输, 库存等各项资源共享的随机服务系统。排队论研究的内容有3个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
评价一个排队系统的好坏要以顾客与服务机构两方面的利益为标准。就顾客来说总希望等待时间或逗留时间越短越好，从而希望服务台个数尽可能多些；但是，就服务机构来说，增加服务台数，就意味着增加投资，增加多了会造成浪费，增加少了要引起顾客的抱怨甚至失去顾客，增加多少比较好呢？顾客与服务机构为了照顾自己的利益对排队系统中的3个指标：队长、等待时间、服务台的忙期（简称忙期）都很关心。因此这3个指标也就成了排队论的主要研究内容。
排队论的应用非常广泛。它适用于一切服务系统。尤其在通信系统、交通系统、计算机、存贮系统、生产管理系统等发面应用得最多。排队论的产生与发展来自实际的需要，实际的需要也必将影响它今后的发展方向。
2.1.1排队论的概述
一般排队系统由输入过程与到达规则、排队规则、服务机构的结构、服务时间与服务规则组成。
图4排队系统
(1)输入过程与到达规则输入过程一般是由(顾客)到达间隔时间来描述的。根据到达间隔时间所服从的分布，输入过程可分为定长输入、(负)指数输入(Poisson输入)、爱尔朗输入、几何输入、负二项输入与一般输入。到达规则是在这些输入的每一种中又分为单个到达，成批到达、依时到达等。
(2)排队规则。排队规则一般分为等待制、损失制和混合制。在等待制与混合制中通常又可分为先来先服务(FCFS)、后来无服务(LCFC)、随机服务(ROS)、 4
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优先非抢占服务、优先抢占服务等。在混合制中又分为队长(容量)有限、等待时间有限。
(3)服务机构的结构。服务机构的结构可分为单服务台、有限个服务台与无限多个服务台。而在(有限)多个服务台中又可分为并联、串联两种。
(4)服务时间。服务时间是指服务一个顾客所用的时间。根据其分布，一般分为定长分布、指数分布、几何分布与一般分布等。
为了区别各种排队系统，根据输入过程、排队规则和服务机构的变化对排队模型进行描述或分类，给出很多模型。20世纪50年代初，堪道尔(D.G.Kendall)对排队论作了系统的研究，提出一个分类方法，称为Kendall符号，其形式是：X / Y /Z /A /B /C。他用嵌入马尔柯夫(A.A.Markov)链方法研究排队论，使排队论得到了进一步的发展。是他首先（1951年）用3个字母组成的符号A/B/C表示排队系统。
各符号的意义为：
(1) X：表示顾客相继到达时间间隔的概率分布
(2) Y：表示服务时间分布，所用符号与x相同。
(3) Z：表示服务台个数，取正整数。1表示单个服务台，s(x≥1)表示多个服务台。
(4) A：表示系统中顾客容量限额，或称等待空间容量。若系统中有K个等待位子(o<K<∞)；当K=0时，说明系统不允许等待，即为损失制；若K=∞时为等待制；K为有限整数时，表示为混合制系统。
(5) B：表示顾客源限额，可取正整数或∞，即有限与无限两种。
(6)C：表示服务规则，如F C FS、L C F S等。
2.1.2 银行排队论的主要研究内容指标
排队论(queuing theory)通过对服务对象的到来及服务时间进行统计研究，得出相关服务指标(等待时间、排队长度、忙期长短等)的统计规律，并据此改进服务系统的结构或重新组织被服务对象。排队论是分析、解决服务系统效率问题的重要方法之一。
排队问题的研究问题可分为三类；性能问题；统计问题；优化问题。在这边先介绍性能问题和优化问题，统计问题在第三章具体数据分析师介绍。
1.性能问题
排队论中的性能指标分为两种类型：一是瞬时性能指标，是指在任意时刻t时排队系统的状态特征；二是稳定性能指标，它是指在经过足够长的运行时间后，排队系统所处的状态，这时t~∞．各性能指标不再随时间t而发生变化，工作状态处于稳定。本文主要研究稳定性能指标，它们分别是：
La：平稳状态下系统的平均队长(包括正在接受服务的顾客)，是系统内顾客数的均值。Lq：系统的平均等待队长，是系统内排队等候的顾客的均值。W：顾客所能容忍的最长逗留时间。
Wa：平稳状态下顾客在系统中的平均逗留时间，即顾客在系统内逗留时间的均值。
Wq：平稳状态下顾客在系统中的平均等待时间，它是顾客排队等候服务时间 5
基于ProModel的银行叫号系统仿真分析
的均值.
银行顾客的平均到达率为入(入>0)，银行服务窗口平均服务率为μ。银行服务强度ρ，定义为ρ*λ/Z*μ，它标志着服务人员的劳动强度。其中，Z表示服务台的个数，Z越大，ρ越小，服务强度越低，工作人员越清闲；Z越小，ρ越大，服务强度越高，工作人员越忙；ρ=0表示工作人员没有事情干；ρ=1表示工作人员忙于应付，不得清闲；当ρ>l时，表示服务员已经忙不过来，排队的顾客会多于离队的顾客，排队人数越来越多。所以一般情况下我们假设0<p<l。
2．优化问题
优化研究包括优化设计和优化运营。优化设计是指按照寻求顾客的满意度和银行可以使用的各项资源之间的最优结合点，使商业银行以最优的成本获得最大的效益。顾客满意度的下限是顾客在正常情况下所能忍受而不会引发投诉的最长等待时间，银行在此下限下，必须动用一切资源满足顾客的需求；反之，如果银行过度投入，虽然顾客满意度较高，但会造成银行资源的浪费，增加营运成本。优化营运是指使排队系统最有效地运行，包括对顾客方面和银行方面的管理。对顾客方管理主要是通过充分利用网上银行、电话银行、ATM等技术手段和设备，分流现有到达柜面的顾客，减少顾客亲自到达银行柜面办理业务的次数，达到使顾客不排队或少排队的目的；对银行方面的管理，主要在网点选址和布置、网点规模、网点人力资源管理及如何提高员工的服务能力和平均服务率μ方面。
2.1.2.1 顾客的到达时间间隔
由于顾客是银行排队的主体，因此顾客的到达时间间隔决定银行的柜台工作压力以及排队的长度和时间。一般而言，顾客相继到达的间隔时间可以是确定型的，也可以是随机型的。如果描述顾客相继到达的间隔时间分布的所有参数(如期望值、方差等)都与时间无关，则称为平稳输入过程，否则称为非平稳输入过程。一般来说，平稳输入过程可利用数学模型求解，而非平稳输入过程难以进行数学处理，需要利用模拟模型求解。到达时间间隔的分布是刻画输入过程的最重要的内容。若设Tn表示第n个顾客到达的时刻，则必有：To<=Tt<=„<=Tn，其中令To=0。那么第n个顾客与第n-1个顾客到达时间的间隔可以表示为Tn- Tn-t，以Xn记之，则Xn=Tn - Tn-1一般情况下假设{Xn}满足i，j，d。
2.1.2.2 银行作业员的服务时间
在银行服务的环节中，银行作业员的素质直接影响到系统的流程。作业员的服务时间直接受到顾客所办理业务的影响，由于顾客办理的业务不同，所接受的服务时间也存在差异，但根据这次的时间观察，银行作业员的服务时间大致服从均匀分布。
2.1.3 排队对系统的组成部分
实际中的排队系统是各种各样的，但从决定排队系统主要因素看，它主要有三部分组成：到达模式（即输入过程）、排队规则和服务机构，以下为具体说明： 输入过程
输入过程考察的是顾客到达服务系统的规律。它可以用一定时间内顾客到达 6
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数或前后两个顾客相继到达的间隔时间来描述，一般分为确定型和随机型两种。例如，在生产线上加工的零件按规定的间隔时间依次到达加工地点，定期运行的班车、班机等都属于确定型输入。随机型的输入是指在时间t内顾客到达数 n（t）服从一定的随机分布。如服从泊松分布,则在时间t内到达n个顾客的概率为或相继到达的顾客的间隔时间T 服从负指数分布，即：
P (T<=t)
式中λ为单位时间顾客期望到达数，称为平均到达率；1/λ为平均间隔时间。在排队论中，讨论的输入过程主要是随机型的。
排队规则
排队规则分为等待制、损失制和混合制三种。
1. 损失制（Loosing System）:当顾客到达服务机构时，若所有服务机构都被占用，且服务机构不允许顾客等待，此时顾客只有自动离去到其他地方接受服务或被迫放弃服务要求。当即离去的称为即时制或称损失制。如旅店客满谢客，电影院客满拒绝售票等都属于损失制。2. 等待制（Waiting System）：当顾客到达服务机构，若所有服务台占用无空闲，这是顾客就自愿加入到队列排队等待服务完成后离开。在等待制中，为顾客进行服务的次序可以是先到先服务，或后到先服务，或是随机服务和有优先权服务（如医院接待急救病人）。
1）先到先服务（FCFS）:即顾客按到达的先后顺序接受服务。这是一般常规的服务规则。
2）后到先服务（LIFO）：即服务顺序与到达顺序相反。如情报系统总是后到的信息越重要，要优先处理。
3）有优先权的服务（PR）：即在排队等待的顾客中，由于某些类型的顾客具有特殊性，因而在服务顺序上要给予特别对待，让他们先得到服务。如旅客列车，到小孩者或老弱病残者优先乘车、医院对重症患者的优先治疗等。优先权又分为强拆型有限和非强拆型优先权。强制型优先权是指这类顾客到达时，无论正在接受服务的是否服务完毕，都必须立即终止服务而接受这类顾客予以服务。非强制性优先权是指这类顾客到达时，必须等待正在接受服务的顾客服务完毕才会得到服务。
4）随机服务（GIRO）：这是指窗口（如工作人员）随机选取其一顾客进行服务，不管顾客到达的先后顺序，如电话交换台接通呼叫电话的服务就是随机服务。在排队系统的研究中，排队的长度和服务规则无关，而顾客在系统中的等待时间及逗留时间的长短和服务规则有关，不同的服务规则直接影响到顾客在系统中的耗费时间的长短。
3. 混合制：这是损失制和等待制混合组成的系统。有些系统因留给顾客排队等待的空间有限，因此超过所能容纳人数的顾客必须离开系统，这种排队规则就是混合制。
服务机构
刻画服务机构的主要方面为：
1. 服务台的数目：可以是一个或多个服务台。多个服务台可以是平行排列的，
也可以是串连排列的。
2. 服务时间：一般也分成确定型和随机型两种。例如，自动冲洗汽车的装置对 7
基于ProModel的银行叫号系统仿真分析
每辆汽车冲洗（服务）时间是相同的，因而是确定型的。而随机型服务时间v 则服从一定的随机分布。如果服从负指数分布，则其分布函数是：
P (v<=t) (t=0)
式中μ为平均服务率，1/μ为平均服务时间。
综上所述，在银行叫号系统中我们有能力的话可以考虑先到先服务和后到先服务（VIP顾客）。在本文中暂不考虑后到先服务。
2.2 M/M/1/∞/∞排队系统
简单来说M/M/1/∞/∞排队系统的顾客到达时间间隔和服务时间分别服从参数为λ和μ的泊松分布及负指数分布。一个服务窗口、顾客源和排队空间无限，且顾客的到达和服务是随机的，服务规则是先到先接受服务。
2.3 M/M/C/∞/∞排队系统
M/M/C/∞/∞排队系统模型它表示系统有m个服务台，顾客的到达是服从参数为λ的泊松流，服务台相互独立，服务时间同负指数分布，参数为μ。
1) 到达模式：严格意义上讲是一个接一个到达，而且到达时间间隔服从负指数
分布；
2) 服务模式：服务台的数量为n，且每个窗口服务一个客户的服务时间服从负
指数分布；
3) 排队规则：满足先到先服务，服务快的先离开的原则。
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第三章 银行叫号系统仿真分析
3.1仿真软件及其发展
仿真语言与仿真软件的开始始于20世纪50年代中期。总体上，仿真建模软件系统大致可以分为三种类型：1）采用通用编程语言（如FORTRAN、BASIC、C、C++、Java等）编写仿真程序，建立仿真模型。在仿真技术早期，这种方法最为普遍。2）采用面向仿真的程序语言（如GPSS、SLAM等）编制仿真程序。3）采用商品化仿真软件包建立仿真模型，如AutoMod、Extend、Flexsim、ProModel、WAITNESS等。在这类系统通常具有独立的仿真建模、运行及仿真结果分析环境，提供图形化用户界面，并内嵌仿真编程语言，是目前系统仿真的主要形式。 人们在仿真建模的研究和应用中发现，由于实际系统之间存在很大的差异性，要提供一种具有普适性的仿真平台并不现实，反而会导致仿真软件系统功能、模块、结构及其使用过程的复杂化。因此，开发面向特定应用领域的仿真软件或模块既是仿真软件开发的必然选择，也是促进仿真技术应用的有效途径。目前，市场上已有大量的商品化仿真软件，他们面向制造系统、物流系统或机械产品开发的某些特定领域，成为提高产品或系统性能、提高企业竞争力的有效工具。
3.1.1 ProModel软件介绍
ProModel（Production Modeler）是由美国PROMODEL公司开发的离散事件系统仿真软件，它可以构造多种生产、物流何为服务系统模型，是美国和欧洲使用最广泛的生产系统仿真软件之一。
ProModel基于Windows操作系统、采用图形化用户界面，并向用户提供人性化的操作环境。用户根据项目需求，利用键盘和鼠标选择所需的建模元素，就可以建立仿真模型。
在定义系统的输入输出、作业流程和运行逻辑是，ProModel提供了多种手段，既可以借助参数或利用条件变量进行弹性调整，也可以利用程序语言实现控制，从而改变系统的设置和运行逻辑。对制造很物流系统中的人员、机器、物料、机器手、传输带等动态建模元素，可以设定元素的速度、加速度、容量、运作顺序、方向等属性。
在规划设定好系统后，于仿真执行前，ProModel会先行测试系统，检查各相关工作站输入、输出是否平衡。假如有忘记设定的容量、速度等，系统都能自动帮使用者假设并询问意见，如果不满意可以再修改。真正在模拟的时候又可随时观察各资源（Resource）使用情形。使用者可追踪系统运作流程，随时中断仿真，并藉系统仿真后，所产生的运作过程统计数据，统计各工作站、资源使用率等。此外ProModel也提供简单且易读的统计图、统计报表文件，因而可方便的了解全部资料利用的情形。一些常见的ProModel应用包括：
1.产能规划
2.瓶颈分析
3.厂房布置规划
4.生产排程
5.〝日本JIT〞系统规划
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基于ProModel的银行叫号系统仿真分析
6.生产周期分析
此外ProModel又可让设计者调整工作站数量、速度、输入方式、输出方式（如：批次），以作整体系统的各种可能状况下的评估，以作为将来真正建造设计时的参考，使用及分析弹性相当宽广。
3.1.2 ProModel四大元素
ProModel的基本要素有四个：Location; Entities; Arrivals; Processing。当然还包括其它元素，如Path network(路径)、Resource(资源)等。而我们此次只需这四大元素。
1. Location
“场所”是指实体进行处理、停留、存储或进行决策等活动的系统中某个固定的地方。在不同的环境下，我们需要结合实际的情况去建立这么一个场所去设置分配处理这些机器、布局等，这就要在模型中建立一个Location，即“场所”。
2. Entities
模型在加工处理中的任何事物即为“实物”，不同的实体具有各自独特的性质。如外形、质量、条件等。它可以是生命体，就如我们此次仿真的顾客；也可以是非生命体，如机械加工的零件等。
3. Arrivals
“到达”是定义实体如何进入模型的机制。实体可以成批进入，也可以是单独的个体进入，每次进行的实体数量称之为批量，用Qty Each来表述，相邻两次实体进入系统的时间称为时间间隔，用Frequency来表述，进入模型的实体总数用户Occurrences来表述，第一次进入系统的时间用First time来表示。
4. Processing
“过程”描述了在某一场所上实体从进入程序开始到结束的整个流程，我们需要定义实体的运作的每个步骤，它从一个场所改换另一个场所所需的时间、资源，以及实体如何选择要到达的下一个场所。可能在ProModel软件中，Processing你会觉得它很难构建处理，因为他是整个模型中最重要的一个环节。
3.2银行叫号系统模型假设
建立数学模型的过程就是对系统进行分析、假设、归纳的过程，其中最重要的一点就是要做一些合理的假设把一些实际因素合理化。该服务系统模式属于M/M/N模型，我们根据排队系统的三要素对银行叫号系统做如下假设。
3.2.1 输入过程
1.顾客源
由于银行的服务对象是一切到达银行并取得号码牌办理业务的顾客，而顾客到达时随机的，因此顾客源可以是无限的，且系统运行较长时间达到稳态。针对此次数据采集由于一个人所能采集的数据能力有限，在本文中就只针对办理现金业务的顾客进行分析。
2.顾客到达的方式
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顾客的到达时随机的。我们加大单个、随机的到来，并且顾客的到达时相互独立的。假设顾客的到达时间间隔服从指数分布，从而[t,0）内到达的顾客数X(t)服从泊松分布，其参数λ，（即单位时间顾客到达的平均数）。
其中满足下列四个条件的到达分布称为泊松分布：
1） 平稳性：在区间[a, a + t]内有k个动态实体到来的概率与a无关，而只与t，k有关此概率为Vk(t)。
2） 无后效性：不相交区间到达的动态实体数量是相互独立的。
3） 普通性：令φ（t）为时间t内至少有两个动态实体到达的概率，则φ（t）=0，当t趋向0时。即表示排队系统不存在两个动态实体同时到达的情形。
4） 有效性：任意区间内到达有限个动态实体的概率值和为1，即
对于这种到达分布，在时间t内到达k各动态实体的概率Vk(t)遵从泊松分
布，即
令第i个动态实体到达时刻为Ti（i=1,2,„）To=0，并令Ti=Tj-Tj-1，i=1,2,„，则令顾客相继到达时间间隔Ti是相互独立相同分布的，其分布
函数为负指数分布Ao(t)=P{T>=t} (2)
式（2）中当t>0时，值为,当t<0时，只为1。
在泊松分布中，动态实体到达时刻完全是随机的，仅仅受到给定的平均到达速率的限制。该泊松分布式一种很重要的概率分布，许多排队系统中的到达模式都属于这些重分布。
3.2.2 排队机构
当顾客到达时，如果有空闲的窗口，则叫号机进行叫号接受工作人员服务；若所有窗口都在忙碌状态，则顾客取号后需进行等待。即该服务系统是先到先服务的等待制随机服务系统。
3.2.3 服务机构
系统中有n个相互独立的窗口，并且假设每个窗口的服务能力是相同的，每个窗口只接受一位顾客直至完成此次业务。工作人员的服务时间服从参数为μ的负指数分布。
在我们学过的概率论与数理统计中，指数分布（exponential distribution）是一种连续概率分布。指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔等等。
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基于ProModel的银行叫号系统仿真分析
第四章 案例分析
4.1 银行叫号系统模型
4.1.1 仿真数据采集
仿真系统主要有以下几种类型：
1） 离散系统：当所有能引起系统状态发生变化的事件都是离散事件时，该系统称为离散系统；
2） 连续系统：当所有能引起系统状态发生变化的事件都是连续事件时，该系统称为连续系统；
3） 混合型系统：若这些事件部分为离散部分为连续，则称为混合型系统。具体来说，分两种情况：离散事件导致连续状态变量发生离散变化；连续状态变化达到阀值是，会产生一个离散事件。
4） 蒙特卡洛模拟系统：（也叫随机模拟法）当系统中各个单元的可靠性特征量已知，但系统的可靠性过于复杂，难以建立可靠性预计的精确数学模型或模型太复杂而不便应用则可用随机模拟法近似计算出系统可靠性的预计值。 因为银行系统的状态变量—如顾客总数、在某一时刻顾客到达的人数，都在顾客结束服务离开系统时发生变化。而离散事件就是一类状态变量随时间在一组离散值上跳转的系统。所以得出银行叫号系统是一个离散系统。
要进行建模必须有一定的实际数据作为依据反映真实情况来发现和解决这些存在的问题，而我们的目的是为了对银行客服窗口的数量是否达到最大利用率进行分析。
数据的搜集与整理时进行统计研究基础，统计研究所需的基础资料就是通过数据的收集和对这些数据进行分析整理后建立的。有了这些基础资料，我们才能对总体数量特征和数量关系作进一步描述和推断。
统计数据的搜集是统计整理和分析，。以及统计退单和预测的基础。统计数据和搜集就是根据统计研究的目的和要求，有组织有计划的向调查对象搜集原始数据和刺激资料的过程。而我们这次采取直接观测法，通过分时段对仿真对象进行观察，搜集了每个时间段顾客的数量和到达时间。
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表2 服务时间收集
4.1.2 仿真数据整理
表3 工作日顾客到达时间统计
根据到达人数以及平均到达时间间隔数据表得到以下相应的数据折线图：
图5 工作日各时间段到达人数图
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图6 到达时间间隔直方图
根据上述表中的数据我们可以分析得到：
每分钟到达人数：1.2人/分
平均到达时间间隔的平均数为：1.24m
平均到达时间间隔的标准差为：3.45
根据上述前文中的假设，理论上来说顾客的到达时间应满足泊松分布，原因有：
（1） 在不相重叠的时间内人流的到达时相互独立的个体，即无后效性；
（2） 对于充分小的时间区间内有一个顾客到达的概率与时间无关，而与区间长
成正比；在我们将时间段分开后分析也满足这点；
（3） 对于充分小的时间区间，有2个及2个以上顾客到达的概率极小。
顾客流到达满足上述三个条件，即形成泊松流；但根据实际情况并结合我用SPSS软件所分析得到的直方图我们可以看到，顾客流的到达时间在随着时间的增加而明显减少，所以我们可以认为工作日顾客的到达时间间隔满足正态分布分布，即（单位已转换为分钟）X~N(1.24,3.45)
可以说成是正态分布理由如下：
正态分布（normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都有重要贡献的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布，记为X~N(μ,σ2)
正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形，因此人们又爱称之为钟形曲线。而我们通常所指的标准正态分布式μ=0，σ=1的正态分布。结合上述的分析，我们可以认为顾客的到达时间间隔是
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服从正态分布的。
有理论知识我们知道：正态分布的期望值等于其平均数，标准方差就等于其平均数算出的方差，即X~N(1.24,3.45)
图7 工作日平均服务时间折线图
上述为工作日服务时间的直方图，粗看下可能很难判断出它的分布，在14分钟和2分钟之间出现峰值，其他峰值之间分布均匀。但结合实际观察和图8所示，平均每窗口服务一人的时间在2-14分钟之间分布，所以符合均匀分布，即U~（5,14）。出现峰值可能的原因是大家所办的业务都不麻烦，无需太多时间的等待，如存款等可能事前已填好了存款单减去了很多不必要的服务等待时间。
设连续型随机变量X的分布函数为
F(x) = (x-a)/ (b-a), a<=x<=b
则称随机变量X服从[a, b]上的均匀分布，记为X~U[a, b] 若[x1, x2]是[a, b]的任一子区间，则 P{x1<=x<=x2} =(x2-x1)/ (b-a)
这表明x落在[a, b]的子区间的概率只与子区间的长度有关，而与子区间位置无关，因此X落在[a, b]的长度相等的子区间内的可能性是相等的，所谓的均匀指的就是这种可能性。
在实际问题中，当我们无法区分在区间[a, b]内取值的随机变量x取不同值的可能性有所不同时，我们就可以假定x服从[a, b]上的均匀分布。
表4 双休日顾客到达时间统计
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根据到达人数及平均到达时间间隔数据表得到相应数据的折线图：
图8 双休日各时间段到达人数
根据上述表中的数据我们可以分析得到：
每分钟到达人数：0.97人/分
平均到达时间间隔的平均数为：0.95m
平均到达时间间隔的标准差为：
3.48
图9 双休日到达时间间隔直方图
有上图我们发现相较于工作日，双休日的人流明显上升，它的概率密度是相当密集的，短时间到达叫号机的频率很高，而根据上文中工作日所涉及到的分析理由在结合图6所示，得到的数据大致接近指数分布曲线，所以顾客流的平均到达时间间隔服从指数分布X~N(0.95,3.48)。（单位为已转换为分钟）
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图10 双休日平均服务时间折线图
由实际考察的数据结合软件分析得到上图所示，其图形分布接近均匀向前，我们可以轻易地判断出它是满足均匀分布的，即X~U(5,17)
综合上述的数据分析得到，无论在双休日还是在工作日，顾客的到达时间间隔满足概率统计中的正态分布，区别在于概率的密集性，由于双休日大家都休假，来银行办理业务的客流明显增多，银行的负荷也相应的加大。对于银行的作业员而言，各自的能力都是一定的，差别就在于顾客所需办理的业务性而耽误的时间，比如存款事前没有填写存款单、信息了解不详的咨询、同时办理了一份以上的业务，这些都是导致窗口长时间逗留的主要原因，但总体上而言是满足均匀分布的。
4.2 仿真模型建模
银行叫号系统模型的建立主要是通过对实际数据收集、整理，对到达系统的顾客数的概率分布及其窗口对各科的服务时间的概率分布进行研究，从而建立起一个排队模型。
本次离散系统仿真建模的步骤如下图所示。
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图11 仿真建模步骤
结合实际情况以及本文前半部分的数据分析等前序工作。在ProModel建立的相应的模型。
具体仿真建模过程如下：
Step 1:打开ProModel软件，选择新建，将其title命名为bank service，其它部分采取默认设置，主要是对模型需要的单位进行设置，设置的长度为meter、时间单位为minutes。为方便后续的运行操作进行设置，如图所示： 18
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图12 新建程序设置
Step 2:（为了美观，我们自己可以事先去网上下载一张银行的布局图作为背景，具体步骤在此省略。）在上方菜单栏上点击building调出location模块，根据实际自己考察银行的情况对此系统进行布局。
单窗口服务布局有一条queue模拟顾客排队等待的区域，一个窗口（一位作业员），一个叫号机，如图：
图13 单窗口服务布局图
多窗口服务布局中放置了一条queue模拟顾客排队等待的区域，四个窗口（四位作业员），一个叫号机，如图：
图14 多窗口服务布局图
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为了更清楚地看到银行的运营状况，我在这个基础上增加了已更新的模
块，操作如下：在Build菜单下选择variable(global)模块，如图所示：
图15 variable(global)模块设置
它清楚地记载了当前服务的顾客数，顾客的平均等待时间及完成服务后离开所花的时间。如图所示：
图16 variable(global)模块在模型中的显示
Step 3:在building菜单中调出entities模块，根据需求设置entity，如表所示：
表5 代表图标对应表
图17 entities模块设置
Step 4:建立模型中，考虑到每个窗口的人员，初步想法如下。每个窗口只需8小时处于接受服务状态，顾客、工作人员的忙闲、利用率与该窗口的机器一样。所以在仿真中简化省去了工人的设置，也就是说resource的设置在这个模型中不予考虑，而与resource对应的path network也将省略设置。
Step 5:模块分别在building菜单栏调出arrival模块，选择适当的实体，设置QTY、occurrences和frequency的参数，如图所示：
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图18 Arrival参数设置
在非节假日和节假日中每次的都到达一个，到达频率分别是和1.2min和0.95min，所以需要在qty中填入相应的数值。
Step 6:在building菜单栏中调出processing模块，根据实际情况设置相应的顾客业务办理路线，如图所示：
图19 业务办理仿真路线
首先，如图所示，顾客到达银行在叫号机对应自己所需办理的业务进行取号就表示已经进入了该银行的叫号系统。如此时窗口空闲，叫到号的顾客可以立即办理业务直至完成业务后离开，下位叫到号的顾客前来接受服务，如此循环下去，直到它的工作时间结束。
各模块的路径都相同，就是窗口的数量不同而已，所以其他模型就不在做说明了。
而后是针对时间对于模型的生产工艺进行时间设定，采用wait语句模拟业务办理时间，保证各个变量能够动态显示实时系统状况。为了更清楚地看到服务的情况，我在之前的设置中放置了模块，所以在这边需要编写段小程序让此模块运作起来，如图所示：
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图20 procession模块具体设置
图21 用于计算数据的编程
Step 7:模块已经基本建立，我们需要设置仿真参数，调出菜单栏simulation的options选项，主要保留默认设置，根据实际工作情况，每班工作时间应为8h，一共让它运行8次运行。如图所示：
图22 option选项设置
最终建立好的模型需要保存后边可以运行模拟了。
4.2.1 模型结构输出与分析
1.工作日单窗口服务
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图23 工作日单窗口资源设备利用率
图24 工作日单窗口服务状态
从上图我们可以看到：在单窗口的服务状态下，工作人员的服务效率高达92.68%，有点超乎情理，因为在仿真时没有涉及工作人员的休息时间，所以这个结果就意味着工作人员一刻不停的在为顾客服务。
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图25工作日单窗口实体仿真活动结果
根据上述几幅由ProModel仿真所截的图表我们可以了解到工作日单窗口服务时，虽然服务率是很高，但实际在接受服务的只有10.08%，顾客的等待时间长达197.16分钟，这是非常不合理的。所以，结合现场的情况和软件得出结论可见，工作日单窗口是不可行的。
2. 双休日单窗口服务
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双休日单窗口资源设备利用率
图27 双休日单窗口服务状态
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图28 双休日单窗口实体活动仿真结果
银行双休日的单窗口服务结果分析得到只有5.2%的客户接受到了服务，其他的客户多半是在队伍中等待，而此时窗口的利用率一高达96%，这样的银行服务状态根本就不可能运营的下去。所以，我们可以有此得到结论：无论在工作日还是双休日，银行如果只开一个窗口来服务大家是根本不可行的，这无法满足顾客的实际需求。
3. 工作日实际窗口
图29工作日实际窗口资源设备利用率
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图30 工作日实际窗口服务状态
5个窗口全开的状态下，平均的利用率为90.85%，其他显示空闲的状态应该是刚服务完一个顾客等待下一位顾客的接力状态。由此可见，工作人员是很忙碌的。
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图31 工作日实际实体活动仿真结果
由上述的仿真结果，我们可以看到：在到达速率为50人/小时，服务器强度为6人/小时，银行开放5个服务窗口的情况下，根据上述图表所示服务器忙碌概率在90％以上，25.54%的顾客接受到了服务，67.23%的顾客在等待接受服务，
3.86%的顾客正准备去接受服务，只有3.37%的顾客却被堵在了队伍中。可见，即使工作人员一刻不停地在为顾客服务可还是不能满足顾客的实际需求，顾客满意度较低，极可能造成顾客的流失，此服务状态还有待优化。
4. 双休日实际窗口
图32 双休日实际资源设备利用率
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图33 双休日实际服务状态
双休日银行在不改变规模的情况下，人流量却在增加，窗口的平均利用率高达92.12%（其中还不包含他们去吃饭的时间，连续的工作的情况下还是爆满的状态）。
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图34 双休日实际实体活动仿真结果
由上述的仿真结果，我们可以看到：在到达速率为63人/小时，服务器强度为5人/小时，银行开放5个服务窗口的情况下，根据上述图表所示服务器忙碌概率在90％以上，11.55%的顾客接受到了服务，1.61%的顾客正准备去接受服务，而85.26%的顾客却要接受在队伍中等待的命运。可见，即使工作人员一刻不停地在为顾客服务可还是不能满足顾客的实际需求，顾客满意度较低，极可能造成顾客的流失，此银行在双休日的服务状态应该改善。
5. 对策与建议
在众多衡量排队指标优劣的标准中，等待时间是和顾客最息息相关的探准，因此，在确定单服务窗口服务强度的情况下，银行可以设定一定的等待时间阀值，随着到达速率的上升，当顾客等待时间到达一定情况，则加开更多的窗口。提高效率具体建议如下：
（1）提高服务效率。从而增大服务器总服务强度，使服务顾客数上升，队列人数和等待时间下降。
（2）服务弹性制：通过模型的分析，增开一个窗口对顾客平均等待时间的影响非常显著，比如到达速率为50人/小时，服务器强度为6人/小时的情况下,当开设的服务器为6个时，顾客的平均等待时间相比较减少了5分钟，而增开一个同样的服务器时，顾客的平均等待时间就变成23分钟，差异显著。因此，建议针对客户金融需求的季节性、阶段性特点，需要深入调查排队现象涉及的业务种类、客户类别、特定时段，从而统筹银行柜台资源，实施“弹性工作时问”和“弹性岗位制”，根据网点业务繁忙程度、客户流量等情况合理调配对外服务窗口的数量，确定每个窗口的营业时间，做到忙时多开柜，闲时少开柜。
（3）引导顾客改进业务时间。主要是合理选择业务时间。
一般来说，每日银行开门、中午12点～l点以及下午3点-3点30分都会出现客户高峰排队现象。合理的引导客户选择合适的“冷僻”时段去银行办理业务，将能节约不少时间
（4）在银行窗口服务的实际操作上，可以采取预约的方式，而不是单纯的接受现场取号排队的方式接受业务。
4.2.2 优化结果输出与分析
1. 工作日理想的服务窗口（优化后）
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图35 工作日优化后资源设备利用率
图36 工作日优化服务窗口状态
在优化得到的仿真结果显示，开设8个窗口，平均利用率有所下降，这应该
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也是共工作人员比较能够接受的状态，不会导致疲劳作业，能有些许缓冲的时间去吃饭喝水等，是比较能让工作人员接受的状态。
图37 工作日优化后实体仿真结果
由于之前设立的5个窗口，服务状态不是很理想，为了达到理想化的状态，经过了窗口的调整以及优化的调试最终结果显示，银行在工作日开设8个服务窗口是最佳的运营状态。顾客的总体接受服务的趋势从25.54%上涨到了85.25%；所需的等待概率也下降到了0.66%，顾客的总体满意度上升，银行的收益也就会提升。
2．双休日理想的窗口服务（优化后）
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图38 双休日优化后资源设备利用率
图39 双休日优化服务窗口状态
由上图我们可以看到：10个窗口的前提下，平均的利用率有所缓解为72.46%。相较于工作日开设的8个窗口利用率还是比较高的。当然这十是与人流量直接成正比的。银行在此状态下不会造成资源浪费的问题。
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图40 双休日优化后实体仿真结果
在双休日，为了达到最优化的服务窗口，使顾客不在等待（即顾客一到达就能接受服务），模型经过调整优化后，得到了一个大家都能接受的状态。我
分别尝试了来设10个和12个窗口后发现，开设12个窗口，顾客的等待率明显减少，只有0.04%，但窗口的利用率平均只有63%；而开设10个窗口后，顾客等待的概率为2.18%，但窗口的平均利用率却能保持在72.46%左右，我认为这是个比较理想的状态。优化所得结果如上图所示，最终的结论是在双休日10个窗口是最佳服务状态。
综上所述，仿真模型优化调整后工作日8个窗口是最佳的；双休日10个窗口是最佳的。
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第5章 总结 5.1论文总结
系统仿真时一门新兴的技术科学，在我们工作、生活等领域中如果遇到由于时间资源限制、资金短缺、技术或安全性等问题时，对于时间系统进行真实的物理实验变得非常困难，或者根本不可能进行（这也往往是很多企业为之困扰的事）；这时，系统仿真技术就成了我们一个很好的选择，以至于是必不可少的技术工具。
本文从商业银行排队问题的现象分析入手，结合商业银行服务质量管理，运用排队模型，探讨改善银行服务质量的方法和措施。首先从服务型企业特点和服务质量管理特性分析商业银行组织、员工和顾客的关系。在服务接触过程中，树立一切想着顾客、一切为了顾客，形成以“以市场为导向、顾客为中心”的经营理念，才能达到提高服务质量的目的。第二从服务质量管理理论分析商业银行的服务质量管理系统。由五大差距反映顾客对服务传递过程和感知程度与顾客期望值的满意度。第三根据客户允许等待时间最少的优化原则，调整窗口数量，设置弹性工作时间。在不同的工作段，不同的工作日设置不同数量的窗口。以费用最少为原则的窗口优化有待进一步研究。
经过将近一个学期的学习和研究，对于ProModel仿真软件有了一定的实际操作动手能力，对于数据的分析，也粗略掌握了如何使用SPSS软件进行数据分析与汇总。我在这两项的基础上对于收集到的银行数据进行分析，并进行模型检验。模拟了实际的运营情况的基础上又模拟得出了理想化的运营状态。分析得出了工作日与双休日被调查银行最佳的窗口开设数来满足顾客需求。
最后根据所涉及到的一些知识，进行了整理汇总，并且撰写成论文。
5.2 问题展望
本文运用离散型随机服务系统中的M/M/1/∞/∞和M/M/C/∞/∞排队模型的知识来研究生活中的实际问题，对随机服务系统有了进一步的认识，对排队论的知识以及系统建模研究的科学方法有了更成熟的应用。但受到时间和熟练度的限制，只能是一个简略版的模型，作者认为，需要做以下进一步的研究。
1)虽然本文是在银行的开放日间断性的采用随机的方式调查抽取得到的实际数据，但终因个人能力有限，在调查得到的数据上存在很大的主观因素，如在观察叫号机的人流到达数是，可能所观察的窗口上一位接受服务的顾客已经结束了服务离开等。因此在数据的采集和分析上还需要更严谨的数学研究过程。
2）在模型优化后，虽然模型能完整的跑完整个流程，但其中存在些许瑕疵，如窗口利用Unit单元的方式来的应该是所开设窗口的利用率相等的，而实际在模型中，窗口的利用率呈阶梯型递减，有些层次不齐，其中的原因还有待进一步的研究。
3）希望得到更准确地通用数学模型能对银行系统的设计和优化提供科学的依据，是系统在开放适当的服务窗口时达到最佳的运营状态。
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4)该模型简易却不失依据，在显示生活中具有一定的普遍性，能运用到其他领域，减少了某些不必要的付出与损失，具有一定的启示作用。
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致谢 本文是在王小刚老师的指导下完成的，从开题到构思、以及建模过程中遇到的问题解答，都得到了王老师的细心指点和提携。同时也得到了同组同学的帮助和支持，仅此献上我最真挚的感谢。
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