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［学习目标］
1. 掌握圆与圆的五种位置关系，类比于点与圆，直线与圆的位置关系，能通过两圆半径r1，r2及圆心距d三者的数量关系，判断两圆位置关系，或通过位置关系，判断数量关系。
2. 在数轴上表示当d在不同位置时，两圆的位置关系。
3. 在证明两圆的或多圆的图形时，常加的辅助线：公共弦、公切线；圆心距，连心线。
4. 当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦。
当两圆内切时，连心线垂直于公切线。
当两圆外切时，连心线垂直于内公切线。
5. 公切线是指两个圆公共的切线，如果两圆在公切线同旁则称外公切线，如果两圆在公切线两旁则称内切线。公切线上两切点间线段的长叫公切线长。
6. 如图内公切线长（外离时）
外公切线长（外离、外切、相交时）
d 圆心距 R 大圆半径 r 小圆半径 R≥r
7. 公切线条数
①内含 0条
②内切 1条
③相交 2条
④外切 3条
⑤外离 4条
8. 圆的全章复习
（1）圆的基础知识
①圆的有关概念：
弦，弧，半圆，弓形，弓形高，等弧（隐含同圆等圆），弦心距，直径等。
②圆的确定
圆心决定位置，半径决定大小，不共线的三点确定一个圆。
注意：作图（两边中垂线找交点），外心的位置，外心到三角形各顶点距离等
③圆的对称性：轴对称，中心对称，旋转不变性
（2）圆与其它图形
<1>点与圆 三种
<2>直线与圆
①一条直线与圆 三种
②两条直线与圆
③三条直线与圆
三角形内切圆与圆外切三角形
三角形内心（角平分线交点）位置永远在三角形内部
到三角形各边距离相等
④四条直线与圆
圆外切四边形两组对边的和相等
<3>两圆与直线
两圆外切时连心线过内公切线切点与该切线垂直。
两圆内切时连心线过切点，垂直于过切点的切线。
两圆相交时，连心线垂直于公共弦，并且平分公共弦。
（3）定理
<1>垂径定理及推论：过圆心；垂直弦；平分弦（非直径）；平分优弧；平分劣弧；知2求3。
<2>圆心角，弦，弦心距，弧之间关系：同圆等圆中知1得3。
<3>与圆有关的角：圆心角，圆周角，弦切角，圆内角，圆外角，圆内接四边形外角，内对角，对角
<4>切线的判定、性质：
①判定：常见的证法连半径，证垂直，判断切线，
“连垂切”
或作垂直证d＝r
②性质：若一条直线满足过圆心、过切点，垂直于切线中任意两条，可得另外一条。
常见“切连垂”
<5>和圆有关的比例线段：
相交弦定理及推论，切割线定理及推论，圆幂定理
（4）和圆有关的计算
<1>求线段
①直径、半径
②垂径定理：求弦长、弦心距、拱高
③切线长、公切线长（外公切线长，内公切线长）
④直角三角形内切圆半径
⑤任意三角形内切圆半径与面积、周长的关系
⑥等边三角形内切圆半径：外接圆半径=1：2
⑦与圆有关的比例线段、弦长、切线长等
<2>求角
圆心角，圆周角，弦切角，两切线夹角，公切线夹角
（5）常见辅助线
半径、直径、弦心距、“切连垂”、连心线、公共弦、公切线
（6）圆中常见图形
直角三角形 等腰三角形 圆内接四边形 相似三角形
【典型例题】
例1. 已知半径分别为R和r（R＞r）的两圆外切，它们的两条外公切线互相垂直，则R：r等于（ ）
A. B.
C. D.
解：连结O1A、O2B、O1O2（如图所示），则O1A⊥AB，O2B⊥AB，O1O2过点P且平分∠APC，过点O2作O2E⊥O1A，则O2E∥AB
∴∠O1O2E=∠O1PA=45°，
∴△O1O2E是等腰直角三角形。
∴，
∵，
∴
∴，
∴，故选C。
点拨：本题涉及的知识点较多，要认真审题，理清思路，解决问题。
例2. 如图所示，⊙O1与⊙O2内切于点A，并且⊙O1的半径是⊙O2的直径，O1B为⊙O1的半径，交⊙O2于点C，AD是公切线，∠O1AC=50°，则∠BAD=（ ）
A. 50° B. 40° C. 25° D. 20°
解：∵O1A是⊙O2的直径，
∴∠ACO1=90°
又∵∠O1AC=50°
∴∠O1=40°
又∵DA是两圆的公切线，∠DAB和∠DAC分别是⊙O1、⊙O2的弦切角，
∴
故选D。
点拨：利用学过的知识解决两圆位置关系问题是解决本题的关键，要学以致用，温故而知新。
例3. 已知两圆的半径分别为8和6，如果两圆的圆心距为14，则两圆的公切线条数有____________。
解：由题意知两圆的圆心距等于两圆的半径之和，则两圆外切，共有3条公切线，故应填3。
例4. 两圆的一条外公切线与连心线成30°的角，它们的圆心距是10cm，则外公切线长为_____________。
解：如图所示，连结O1A、O2B，过点A作AC∥O1O2，则∠BAC=30°，AC=O1O2=10cm，
在Rt△ABC中，
，
故应填cm。
点拨：公切线、两圆的半径之差（或和）和圆心距构成直角三角形，是解决这部分题的关键。
例5. 已知两圆外离，圆心距为25cm，两圆的周长分别为15和，则其内公切线和连心线所夹的锐角等于_____________。
解：如图所示，过点O1作O1C∥AB，交O2B的延长线于C，
∵两圆的周长分别为15πcm和10πcm，
∴两圆的半径分别为，
∴，
又∵
∴在Rt△O1CO2中，
sin∠O2O1C=，
∴∠O2O1C=30°，故应填30°。
例6. 如果两圆外切，切点为M，外公切线AB，切点为A、B，则∠AMB＝_________。
解：如图所示，过点M作两圆的公切线交AB于点C，
∵AB是两圆的公切线，
∴CA=CM=CB
∴∠CAM=∠CMA
∠CBM=∠CMB，
∵∠CAM+∠CMA+∠CBM+∠CMB=180°
∴∠CMA+∠CMB=90°
即∠AMB=90°，故填90°
点拨：本题是一道典型题，可作为一般的结论记忆。
例7. 如图所示，⊙O和⊙O'相交，且点O在⊙O'上，公切线AC、BD分别切两圆于A、B、C、D四点，求证：AB是⊙O的切线。
证明：连结OA、OB、OC、OD，过点O作OE⊥AB于E，
∵AC、BD是公切线，
∴AC=BD
又∵OC=OD，∠ACO=∠BDO=90°
∴△AOC≌△BOD，∴∠CAO=∠DBO
∵∠DBO=∠EAO，∴∠CAO=∠EAO
又∵AO=AO，∠ACO=∠AEO=90°
∴△ACO≌△AEO，∴OE=OC
∴AB是⊙O的切线。
点拨：本题利用圆心到直线的距离等于半径判定直线是圆的切线。
例8. 两圆外切，两条外公切线所成的角是60°，公切线长等于，求两圆的半径。
解：如图所示，过点A作AE∥O1O2，设⊙O1和⊙O2的半径分别为r和R。
在Rt△ABE中，AB=
∠BAE=30°，AE=O1O2=R+r，BE=R－r，
∴
解这方程组，得R=3cm，r=1cm，
∴两圆的半径分别为3cm和1cm。
点拨：本题涉及的知识点较多，要注意各知识点之间的联系，正确解题。
例9. 如图所示，⊙O1与⊙O2内切于A，过A作大圆的弦AD、AE分别交小圆于B、C，求证：AB·AE=AC·AD
证明：过点A作两圆的外公切线AF，
∵∠FAB=∠ACB，
∠FAB=∠AED，
∴∠ACB=∠AED
∴BC∥DE，
∴AB：AD=AC：AE，
即AB·AE＝AC·AD
点拨：当两圆外切或内切时，公切线是常添的辅助线，然后利用有关的角相等，找到解题思路。
例10. 如图所示，两圆内切于点C，⊙O1的弦AB切⊙O2于点E，CE的延长线交⊙O1于D，求证：AE·CD＝BD·AC
证明：过点C作两圆的公切线CF，
则∠FCE＝∠DBC
又∵AB是⊙O2的切线，
∴∠FCE=∠AEC，
∴∠AEC=∠DBC，
又∵∠A=∠D，
∴△AEC∽△DBC，
∴AE：BD=AC：CD，
即 AE·CD=BD·AC
点拨：作公切线，通过相似，证明结论。
例11. 如图所示，半径分别为r和R的两圆⊙O1和⊙O2互相外切，从切点到两圆外公切线的距离为d，求证：
证明：过点O1作O1E∥AB，交O2B于E，交PC于D，
由题意知，
∵PD∥O2E，
∴
∵，
∴，
∴，
，
两边同时除以dRr，得
，
即
点拨：通过引辅助线，构造相似三角形，找到证题思路
例12. 如图所示，设两圆交于P、Q两点，过Q作一直线交两圆于A、B，过A、B各作所在圆的切线，设它们相交于一点M，求证A、M、B、P四点共圆。
证明：连结PQ、PA、PB，则
∠MAB=∠APQ，
∠MBA=∠BPQ，
∵∠M+∠MAB+∠MBA=180°
∴∠M+∠APQ+∠BPQ=180°
即∠M+∠APB=180°
∴A、M、B、P四点共圆。
点拨：证明四点共圆的方法有许多种，请同学们自己总结一下。
例13. 如图所示，以△ABC的一边BC为弦的圆交AB、AC于点D、E，经过A、D、E三点的圆的圆心为O，求证：AO⊥BC。
证明：连结DE，过A作⊙O的切线AM，则AO⊥AM，∠MAD=∠AED。
又∵四边形BCED内接于圆，
∴∠AED=∠B
∴∠MAD=∠B
∴AM∥BC
∴AO⊥BC
点拨：本题是一个富于思考的问题，还有很多推广。例如，设N是△ABC的外心，其余条件不变，则有AN⊥DE，此时，所作切线是△ABC的外接圆上经过点A的切线。
【模拟试题】（答题时间：90分钟）
一、选择题（本题共60分，1-4题每题3分，5-16题每题4分）
在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，考生要按规定要求在机读答题卡上作答，题号要对应，填涂要规范。
（1）方程化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A. 2，0，1 B. 2，8，1
C. 2，8，－1 D. 2，0，－1
（2）一元二次方程的根为
A.
B.
C.
D.
（3）若点A（x，y）在坐标轴上，则下列式子正确的是（ ）
A. B.
C. D.
（4）正比例函数的图象经过点（1，2），则k的值为（ ）
A. 2 B. 1 C. D. －2
（5）方程的两个根为，那么的值为（ ）
A. －3 B.
C. D. 3
（6）关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的最小整数值是（ ）
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
（7）点P关于原点对称的点的坐标为（－3，1），则点P的坐标为（ ）
A. （－3，1） B. （－3，－1）
C. （1，－3） D. （3，－1）
（8）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
（9）直线在平面直角坐标系中大致的位置是（如图1）
图1
（10）在Rt△ABC中，∠C=90°，若，则（ ）
A. B. C. D. 3
（11）在Rt△ABC中，∠C=90°，若，则cosA=（ ）
A. B. 1 C. D.
（12）下列命题中，正确命题的个数为
①等弧对等弦
②平分弦的直径垂直于这条弦
③直径是圆中最长的弦
④同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
（13）如图2，⊙O中，直径AB⊥弦CD于点E，AE=8cm，EB=2cm，则弦CD的长为（ ）
图2
A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm
（14）如图3，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD切⊙O于点D，∠A=30°，则∠C=（ ）
图3
A. 40° B. 30°
C. 20° D. 10°
（15）如图4，⊙O中，弦AB、ED的延长线交于点C，∠C=45°，的度数为30°，则的度数为（ ）
图4
A. 60° B. 75°
C. 105° D. 120°
（16）如图5，向高为a的圆柱状的水瓶中匀速注水，注满为止。下面图象中（图6）能表示出注水量v与水深h之间的函数关系的是（ ）
图5
图6
二、填空题（本题共12分，每小题4分）
（1）如图7，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，∠APB=90°，OP=2，则⊙O的半径长为____________。
图7
（2）如图8，ABCD是⊙O的内接四边形，AD是直径，∠CBE=50°，则∠COD=____________。
图8
（3）一根弹簧的原长是12cm，它能挂的重量不能超过15kg，并且每挂重1kg，弹簧就伸长，则弹簧长度y(cm)与挂重x(kg)之间的函数关系式为_____________，自变量x的取值范围是_____________。
三、（本题共17分，第1题5分，第2题7分，第3题5分）
（1）计算：
（2）用换元法解方程：
（3）解方程组：
四、列方程或方程组解应用题（本题6分）
某企业响应政府号召，为节约用水，自建污水净化站。1月份净化污水3000吨，3月份净化污水增加到3630吨，求这两个月污水净化量平均每月增长的百分率是多少？
五、（本题5分）
如图9：有一位同学用一个自制的有30°角的直角三角板估测学校旗杆的高度。他将30°角的直角边水平放在高1.2m的支架CD上，使得三角板的斜边与旗杆的顶点A在一条直线上，此时量得支架到旗杆的底部的水平距离BD长为18m。
图9
求：旗杆AB的高度（精确到0.1m，）
六、（本题7分）
在平面直角坐标系xOy内，点A的坐标为（2，0），点B是正比例函数上的一点。
（1）求出使△OAB为轴对称图形的点B的坐标；
（2）对于（1）中所得的△OAB是否存在对称轴与y轴平行的情况，若存在，你能找到一点C，使以O、A、B、C为顶点的四边形为中心对称图形吗？若能，求出点C的坐标，写出直线AC的解析式；若不能，请你说明理由。
七、（本题6分）
锐角三角形ABC中，BC=2，△ABC的面积为2，tanB、tanC是一元二次方程的两个根。
求：m的值。
八、（本题7分）
已知：如图10，AB为⊙O的直径，点D是圆上一点，点C是的中点，且DE⊥AB于E，交弦AC于F，分别延长线段ED和AB，与过点C的⊙O的切线交于点H、G。
图10
（1）找出图中与线段CH相等的线段，并证明；
（2）证明：AD·HE=HG·AE；
（3）若BG=2，，求：HD的长。
【试题答案】
一、选择题（本题共60分，1-4题每题3分，5-16题每题4分）
1. A 2. C 3. D 4. A 5. A
6. C 7. D 8. D 9. B 10. A
11. C 12. B 13. C 14. B 15. D
16. B
二、填空题（本题共12分，每小题4分）
（1）
（2）80°
（3）
三、（本题共17分，第1题5分，第2题7分，第3题5分）
（1）解：原式
（2）解：设，
则原方程可化为
去分母得
解得
当
解得
经检验是原方程的根。
（3）
解：由②得 ，③
把③代入①整理得
解之得
把；
把
所以原方程组的解是
四、列方程或方程组解应用题（本题6分）
解：设这两个月污水净化量平均增长的百分率是x
根据题意得
解之得
但不合题意，故舍去。
答：这两个月净化污水的量平均增长的百分率为10%
五、（本题5分）
解：过C作CE⊥AB于E，
∴四边形CDBE是矩形
∵CE=BD=18，∠ACE=30°
∴在Rt△ACE中，
∵CD=BE=1.2，
∴
答：旗杆AB的高度约为11.6m。
六、（本题7分）
（1）解：如图1所示，符合题意的B点有四种情况。
图1
（I）等腰三角形以点B1为顶点，即B1O=B1A
过点B1作B1D⊥x轴于点D，则OD=DA=1
∵点B1在正比例函数的图象上，
∴点B1的坐标为（1，）
（II）等腰三角形以O为顶点，即OA=OB2=2
过点B2作B2D1⊥x轴于点D1，
∵点B2在正比例函数的图象上，
∴设点B2的坐标为（x，）
在Rt△OB2D1中，
解得
∴点B2的坐标为，点B3坐标为
（III）等腰三角形以A为顶点，即
过点B4作B4D2⊥x轴于点D2，
∵点B4在正比例函数图象上，
设点B4的坐标为
在Rt△AB4D2中，，
解得（舍）
∴点B4的坐标为（）
（2）对于（1）中存在对称轴与y轴平行的情况，如图2所示，存在点C使以O、A、B、C为顶点的四边形为中心对称图形。由中心对称图形的性质可得点C的坐标为（3，）、（－1，）或（1，）。所求直线AC的解析式为或
图2
七、（本题6分）
解：过A点作AD⊥BC于D
图3
∵BC=2，△ABC的面积为2
∴
在；
在Rt△ACD中，。
∵BC=2，BC=BD+CD=2，
∴
又∵
∴
∵
∴
又∵
∴舍去
∴
八、（本题7分）
（1）解：CH=FH
连结OC。∵HG是⊙O的切线，切点为C，
图4
∴∠OCA+∠HCA=90°
又∵DE⊥AB于E，
∴∠CAG+∠AFE=90°
∵AO=CO
∴∠CAG=∠OCA
∴∠HCA=∠AFE
又∵∠AFE=∠HFC，
∴∠HCA=∠HFC
∴CH=FH
（2）证明：∵点C是的中点，
∴∠DAC=∠GAC
又∵∠CAG=∠OCA
∴∠DAC=∠OCA
∴AD∥OC
∴∠COG=∠DAG
又∵∠COG+∠G=90°，且∠G+∠H=90°
∴∠COG=∠H
∴∠DAG=∠H
∴△AED∽△HEG
∴
即AD·HE=HG·AE
（3）解：∵HG切⊙O于C，
∴
∴AB=4，OB=2，OG=4
∴在Rt△OCG中，可知∠G=30°，∠COG=60°
∴∠ADE=30°，连结OD，可知△ADO为等边三角形
∴AE=1，BE=3，∵DE⊥AB于E，AB是⊙O的直径
∴
∵△AED∽△HEG，
∴
说明：本题只给出一种解法，其他解法相应给分。
