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数学模型方法
mathematical modelling
对过程进行研究，以得到表示过程各有关参数与变量之间的关系的数学表达式的方法，是化学工程研究方法之一。一般来说，对过程进行如实的数学描述，也是一种数学模型方法，但其用途是很有限的，特别是对化学工程，因为过程比较复杂，往往难以进行如实的数学描述。因此，研究者设法对复杂过程作必要的、合理的简化，使之易于数学描述。简化了的过程称为实际过程的物理模型，由此得到过程各有关参数与变量之间关系的数学表达式，称为过程的数学模型，简称模型。通过实验，检验和修正模型并确定模型参数。这是现代广为应用的数学模型方法。
另一种研究方法，不从实际过程的分析、概括和简化着手，完全从实际测得的数据出发，按误差最小的原则，归纳出该过程各有关参数和变量间关系的数学表达式，这种方法有时也被称为数学模型方法，这是对数学模型方法的另一种理解。因此，习惯上将前一种方法得到的数学模型称为机理模型，将后一种方法获得的数学模型称为经验模型，以资区别。
数学模型方法在化学工程中的广泛应用，始于20世纪50年代，其原因是：①化学反应工程研究的需要。化学反应工程研究化学反应与传递过程（物理过程）之间的交互影响。但是，理论可以证明，化学过程与物理过程并存时，不可能同时满足化学相似和物理相似条件。因而，化学工程中传统的因次分析和相似论方法不再适用，研究者必须寻找新的研究方法。②计算机的普及使数学模型方法所需的数值计算成为可能。
数学模型方法对化学反应工程学科的建立起过重要的作用，目前已广泛应用于化学工程各个领域。
模型的建立 数学模型方法的关键是对过程作出合理的简化。例如，固定床反应器中，流体通过乱堆的催化剂颗粒层时，对各个颗粒作绕流流动，不断地分流和汇合，造成一定程度的返混，影响反应结果。研究返混现象，要对复杂的几何边界内发生的各种随机的分流和汇合，作出如实的数学描述极为困难。然而研究者发现，这种返混现象在一定范围内可以近似地以斐克扩散定律（见分子扩散）描述。因此，在考察返混时，流体流经乱堆颗粒层的流动，可以简化为在均匀的流动上，叠加了一个虚拟的扩散流。此返混模型称为分散模型（见流动模型）。用分散模型描述返混，则等温下固定床反应器内的反应过程，可经物料衡算用下式表示：
[593-01]式中[kg2]为反应物浓度；为轴向距离；为流速；为分散系数；-为反应速率。分散系数不是某种物性，而与颗粒的形状和堆置方式，以及流体的性质和流动条件等因素有关，须经实验测定。这种在建立数学模型时引入的待定参数称为模型参数。
上例指出，数学模型方法中所作的简化是某种概括。颗粒特性、流体性质和流动状态、分流和汇合等均未出现于数学模型中，而被概括在分散系数中。这种概括建立在等效性的基础上，即实际的返混现象等效于某个扩散现象。
模型检验和参数估值 数学模型建立以后，应进行专门的实验，以检验所作简化的合理性，并确定模型参数值。最早使用的方法是线性化法：将模型的数学表达式作某些数学变换，使之线性化。再由实验结果是否符合线性来检验模型的正确性，从斜率和截距值求取模型参数值。这种方法适用于模型参数和变量的数目较少的情况。变量较多，特别是模型参数较多时，则常采用最小二乘估计法、极大似然估计法和贝叶斯法等统计方法。这些方法都可编成程序，在计算机上实施。
主要优点 数学模型方法是一种半理论、半经验的方法，与纯经验的实验研究方法相比较，它有两个优点：①促使并帮助研究过程的实质。由于反映了过程较为本质的规律，研究结果较为可靠。②实验工作量可大幅度地减少实验的任务不再是全面测定各变量间的关系,而只是检验模型和测定模型参数。但是，当过程过于复杂，一时尚未能找到有效简化途径时，数学模型方法就难以奏效。
陈敏恒
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