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同调论
homology theory
代数拓扑学中的一个主要组成部分，研究与同调概念有关的课题。
考虑带有方向的曲面（块）与曲线（段）,如图1[圆盘]" class=image>、图2[圆盘]" class=image>中的圆盘均由旋转箭头定向。圆周与是比与低一维的图形,作为曲线，它们各按所标的箭头定向。规定的边缘为，记作＝；对于,则应有=-。无底圆筒 与它的上下边界与按所标箭头定向后有＝-（图3[无底圆筒]）。
在图 4[环面]环面中，圆圈为曲面块 的边缘，＝，这时称闭曲线在环面上同调于零，记作～0。闭曲线在上不同调于零，但=-,这时称闭曲线同调于，记作～。同调概念就是在这种定向图形之间的边缘关系上建立起来的。
在图5[曲面]的曲面上,、、都不同调于零,～0，不同调于、中的任何一个，但～。
将图6[圆盘]中圆盘边界上的每一对对径点（诸如与,与）粘合,得到的曲面叫做射影平面。[664-01]与[664-02]在中为同一定向圆圈可以看出,在中有+=2～0，但不同调于零。
H.庞加莱从1895年起，为了对同调概念做一般的讨论,引进了可剖分为复形的空间,从此产生了组合拓扑学。
维单形 0维单形是一个点，一维单形是一条线段，二维单形是一个三角形，三维单形是一个四面体,维单形是一个具有+1个顶点的广义四面体。
定向单形 除0维单形不给定向外,其他维的单形可以有两个定向。例如，一维单形的定向可以用从起点到终点的箭头给出，二维单形的定向可以用一个旋转方向给出(图7[一维单形、二维单形定向]),等等。一般对于维单形有两个定向,可以用顶点的顺序来给出它的定向。彼此相差一个偶排列的两个顺序代表同一个定向。例如，线段的一个定向可以用(,)表示,另一个定向则可用(,)表示;三角形的一个定向可用(,,)或(,,)或(,,)表示,另一个定向可用(,,,)或(,,)或(,,)表示。
单纯复形 是由有限个单形很好地拼凑起来而组成的。例如，图8[单纯复形]之a这个单纯复形是由4个0维单形,，，；4个一维单形，，，和1个二维单形按照图8[ 单纯复形]之a中所画的关系拼凑而组成的。图8[单纯复形]之b这个单纯复形是由6个0维单形，，，，,,12个一维单形,,,B,，，，，，，，，6个二维单形，，，，，按照图8[单纯复形]之b中所画的关系拼凑而组成的。
单纯复形的维链 形如[664-03]的线性组合叫一个维链,其中{[664-06]}取遍单纯复形的所有单形，且每个单形取好了定向（0维单形不取定向）,为整数（即线性组合中的每一项是中的一个维定向单形，且附一个整系数）。两个维链之和定义为一个维链，其每项的系数是两个链的相应项的系数之和。容易验证:的所有的维链组成一个交换群,这个交换群叫的维链群，记作()。例如，图8[单纯复形]之a 中的单纯复形,3(,)+2(,)-(,)-5(,)为一个一维链;图8[单纯复形]之b中的单纯复形,4(,,)-2(,,)+(，,)为一个二维链。
边缘算子 规定0维单形的边缘为零,一维定向单形(,)的边缘为-，二维定向单形(,,)的边缘为(,)-(,)+(,),三维定向单形(,,,)的边缘为(,,)-(,,)+(,,)-(,,),等等。可类似地定义维定向单形的边缘。以符号写在定向单形的前面表示它的边缘。对于每一个维链[664-04]，规定它的边缘[664-05]（即先取它的每一个定向单形的边缘再乘上它的原来系数然后求和）。不难看出,一个维链的边缘是一个-1维链。由此得到从维链群到-1维链群的同态，这个同态叫做（下）边缘算子，记作:()→-1()。边缘算子具有=0的性质。
维闭链 满足=0的维链叫维闭链例如,图8[单纯复形]a中的单纯复形，一维链(,)-(,)+(,)就是一个一维闭链。单纯复形的所有维闭链所组成的交换群叫的维闭链群，记作()。
维边缘链 如果一个维链是某一个 +1维链的边缘,则称此链为维边缘链（即一个维图形是+1维图形的边缘）。例如图8[单纯复形]a中的单纯复形，一维链(,)-(,)+(,)=(,,)就是一个一维边缘
链单纯复形的所有维边缘链所组成的交换群叫的维边缘链群，记作()。由于边缘链一定是闭链，因而()是()的子群。
维同调群 由于()是 ()的子群，把商群()/()叫做单纯复形的维（下）同调群，记作()()中的每一个元素叫做一个维同调类如果两个维闭链,的差为一个边缘链时,就叫与同调。如果是边缘链，则称同调于零。例如,图8[单纯复形]b中的单纯复形,2个一维闭链(,)+(,)+(,)，(,)+(,)+(,)有((,,)+(,,)+(,,)-(,,)-(,,)-(,,))=((,)+(,)+(,))-((,)+(,)+(,))。因而这两个闭链同调（而它们都不同调于零）。同调群 ()的秩叫做的维贝蒂数。如果在维链群的定义中,用任意的一个交换群中的元素代替整数，可以得到以为系数的维链群 (;)。相似地有以为系数的维边缘群(;),维闭链群(;)。由此定义以为系数的维同调群(;)。
多面体 单纯复形 的全体单形的并集叫做一个多面体，记作││。对于多面体的同调群(｜｜;)可以用(;)来定义，即令(｜｜;)=(;)。
单纯映射 给定了两个单纯复形，,且指定了的每一个顶点（0维单形）到的某个顶点的一个对应，并把中的属于同一个单形的所有顶点对应到的同在一个单形中的顶点，这个对应叫从到的单纯映射。单纯映射:→把 中的每一个定向单形(顶点的一个顺序)映射到中的一个定向单形（得到对应顶点的一个顺序,若有两个顶点的像重合，则理解为对应到0）,由此产生了一个从(;)到 (;)的同态，并且可以证明它把(;)映射到(;)，(;)映射到(;)。从这个同态可以导出一个从(;)到(;)的同态。
连续映射导出的同态 给了两个多面体||、||之间的一个连续映射：││→││，可以将适当重分成另一复形,并用一个单纯映射去逼近。利用这个单纯映射导出的同调群之间的同态得到(││；)到(││；)的同态，并且可以证明，H(││；)与(||;)自然地同构 于是记此同态为：(||;)→(││;)。
上同调群 为任一交换群，Hom(()，)为所有从()到的群同态所组成的群，这个群叫做的以为系数的 维上链群，记作(；)。利用 的边缘算子:()→-1()可得对偶同态:((;)→(;)。定义如下:设[kg2][kg2]((；),规定=:()→。这个叫上边缘算子,具有=0的性质。与同调群的定义相似，可以定义以为系数的上闭链群(;)，上边缘链群(;),上同调群(;)。当为整数加群时，省去符号，简单记为 ()，(),()，()，等等。对于连续映射：││→││,利用单纯映射去逼近，可得到同态[665-01][665-02]。上同调群的构造可以由同调群完全确定当多面体││为定向流形时，同调群和上同调群之间还有对偶关系（流形的庞加莱对偶定理）,即(｜｜;)同构于-(││;)，其中为流形││的维数。
J.W.亚历山大在1915年证明了多面体的同调群的拓扑不变性，即如果两个多面体││，││同胚，那么这个同胚诱导它们的上同调群、同调群的同构。实际上，如果││，││伦型相同，其同伦等价也诱导它们的上同调群、同调群的同构。
利用同调群可以解决不少几何问题。例如，布劳威尔不动点定理（见不动点理论），可以找到欧拉示性数与贝蒂数之间的关系式：
[665-03]其中为复形的维单形个数,为多面体││的维贝蒂数,[662-0]()即的欧拉示性数从而证明了欧拉示性数是││的拓扑不变量。
单纯复形的整系数同调群是个有限生成的交换群。因此，它同构于[665-04],其中代表整数加群，(1,)，…，(，)为一串自然数，每个可整除后一个,[2kg]表示直和。前面的个数即为维贝蒂数;后面这串有限群的阶数(1,),…,(，)称为 维挠系数。确定一个单纯复形（及其多面体）的各维贝蒂数与挠系数，也就算出了同调群。
简单的单纯复形的同调群的计算,可以通过叫做“挤到边上去”的方法直观地解决一般单纯复形同调群的计算，可以用矩阵变换的方法经有限多次的算术运算解决，不过具体实现这种计算是非常困难的。
带系数群的同调群的构造，可由
整系数同调群与按照“泛系数”公式来求。上同调群的计算也有其相应的公式。
同调论的公理 S.艾伦伯格和N.E.斯廷罗德提出了同调群、上同调群满足的公理，并证明了在多面体的情形下满足公理的同调群、上同调群是惟一的。
在一般的拓扑空间上引进同调群主要有两种方式。利用有序单形映射到拓扑空间，来定义这个拓扑空间的同调群，称为这个拓扑空间的奇异同调群；利用单纯复形来逼近一个拓扑空间，用极限来定义这个拓扑空间的同调群，称为这个拓扑空间的切赫同调群。在紧多面体的情况，这两种同调群都同构于按单纯剖分得到的同调群。
在以某种环为系数的上同调群中可以引入乘法使之成为上同调环。为了更好地利用上同调群，在其上引入了所谓上同调运算的额外结构，例如斯廷罗德幂，庞特里亚金幂等等。由斯廷罗德幂发展成为斯廷罗德代数的研究，大大丰富了同调论的内容。
参考书目
江泽涵著：《拓扑学引论》,上海科学技术出版社,上海，1978。
R.M. Switzer, Alebraic Topoloy-Homotopy andHomoloy, Springer-Verlag, New York, 1975.
吴振德
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